5.5 角平分线的性质
教学目标
【知识与技能】
1、通过学生操作，使学生学会用对称的观点来理解角平分线性质。
2、使学生理解三角形内心的性质及其证明方法。
3、使学生能能活运用角平分线性质解决一些简单的几何推理问题。
【过程与方法】
经历操作、推理等活动，探索角平分线的性质，发展空间观念，在解决问题的过程中，进行有条例的思考和表达。
【情感态度与价值观】
在运用角平分线解决实际问题中，体会数学与实际生活的联系，发展运用数学知识的意识。
重点、难点
重点：角平分线性质的探索
难点：角平分线性质的运用。
教学过程
一创设情境，导入新课
1、什么叫点到直线的距离？
过直线外一点作已知直线的垂下，这点和垂足之间的线段的长叫这点到这条直线的距离。
如图，PC⊥AB,C为垂足，则线段PC的长，就是P到AB的距离。
2、什么叫角平分线？
从角的顶点出发的一条射线如果把角分成相等的两个角，那么这条射线就叫这个角的平分线。
如图，∠AOC=∠BOC,则射线OC是∠AOB的平分线。
导语：角平分线既然是一条特殊的射线，特殊在哪里呢？
这节课我们来学习------5.5 角平分线的性质
二 合作交流，探究新知
主题一、角平分线的性质
如图， （１）用折纸法画出∠ＡＯＢ 的平分线OC；
（２） 在∠ＡＯＢ 的平分线OC上任取一点Ｐ，过P画PE⊥OA,PF⊥OB,E、F为垂足，量一量PE、PF的长度，线段PE、PF有什么关系？
（3）在OC上再取点Q，过Q作QM⊥OA,QN⊥OB，量一量QM、QN的长度，看看QM、QN有什么关系？
出示几何画板制作的角平分线上的点到角的两边的距离相等的动画
（4）通过上面操作，你有什么猜想？
角平分线上的点到角的两边的距离相等
（5）这是为什么呢？
设P点是∠AOB的平分线上任意一点，PD⊥OA,PE⊥OB ,D、E为垂足，那么沿着OC翻折，射线OA、OB能够重合，因为∠3与∠1互余，∠4与∠2互余，由于∠3=∠4,所以，射线PD与射线PE也能重合，因此D、E能重合，所以PD=PE.
（6）怎样用符号表达这个结论？
如果点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA,PE⊥OB,D、E为垂足，那么PD=PE
考考你：
1、如图，下面判断中正确的是（ ）
A ∵P是∠AOB平分线OC上一点，∴PD=PF.
B ∵P是OC上一点，PD⊥OA,PE⊥OB,D、E是垂足，∴PD=PF.
C ∵P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OA,PE⊥OB,，∴PD=PF.
D ∵P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OA,PE⊥OB,D、E是垂足，∴PD=PF.
2、如图，△ABC中，∠C=90 ,BD平分∠ABC，CD=3cm,则点D到AB的距离是（ ）
A 1cm, B 2cm , C 3cm, D 4cm.
主题二、三角形内心的性质
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，试问点P到三边AB，BC，CA的距离相等吗？为什么？
【解】作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，
∵BM是∠ABC的平分线，∴PD=PE,
∵CN是∠ACB的平分线，∴PE=PF
∴PD=PE=PF
三 应用迁移，巩固提高
【例1】 如图，P为△ABC中∠A的外角平分线上任意一点，且
PE⊥BA，PD⊥AC，E、D为垂足。试探索BE+PD与PB的大小关系
探索方法：
【分析】BE+PD与PB的大小关系，我们可以通过量一量BE，PD、PB的长度，然后算一算BE+PD，就能知道BE+PD与PB的关系。
【解】
∵AP平分∠CAE，PE⊥BE,PD⊥AC，∴PD=PE,(角平分线上的点到角的两边的距离相等)
∵PE+BE>PB,（三角形任何两边之和大于第三边）
∴PD+BE>PB（等量代换）
【点评】判断两条线段的和与第三条线段的关系，往往要考虑“三角形任何两边之和大于第三边”的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等是判断两条线段相等的一个依据。
【例2】 如图，有两条河流，两个工厂A，B，现要在这个区域内建一个中转站P，要求P到两工厂的距离相等，同时到两河流的距离也相等，请你在图中标出P点的位置。
【分析】点P到A、B两点的距离相等，则P在AB的垂直平分线上，点P到l1,l2的距离相等，则P在∠α的平分线上，所以点P 就是线段AB的垂直平分线和∠α的平分线的交点。㎎
【解】：（1）画AB的垂直平分线MN，（2）画∠α的平分线交直线MN于P,则P点就是中转站的位置。
三、 课堂练习，巩固提高
1、已知：如图所示，BD是∠ABC平分线，DE⊥AB于E，DF ⊥ BC于F，△ABC的面积为30 ,AB=18cm,BC=12cm,则DE的长是________.
【解】作DF⊥BC于F，
∵ (
F
)BD平分ABC，DE⊥AB于E，
∴DE=DF
设DE=DF=xcm,根据三角形ABC的面积=30cm2得：
0.5×18x+0.5×12x=30,15x=30,x=2.
∴DE=2cm.
2 如图，已知AO、CO分别是△ABC的外角∠MAC，∠NCA的平分线，它们交于点O，OD⊥BM于D，OF⊥BN于F，
试说明OD=OF.
【解】作OE⊥AC于E，
∵AO平分∠MAC, ∴OD=OE(角平分线上的点到角的两边的距离相等)
∵CO平分∠NCA, ∴OF=OE, (角平分线上的点到角的两边的距离相等)
∴OD=OE=OF.(等量代换)
四 反思小结，拓展提高
这节课你有什么收获？
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
在用符号表达的时候要注意它有三个条件。
若OP平分∠AOB，PD⊥OA,PE⊥OB,那么PD=PE.
五作业
P 130 A B(共16张PPT)
复习提问
1、什么叫点到直线的距离？
过直线外一点作已知直线的垂线，这点和垂足之间的线段的长叫这点到这条直线的距离。
如图，PC⊥AB,C为垂足，则线段PC的长，就是P到AB的距离。
2、什么叫角平分线？
从角的顶点出发的一条射线如果把角分成相等的两个角，那么这条射线就叫这个角的平分线。
如图，∠AOC=∠BOC,
则射线OC是∠AOB的平分线。
角平分线既然是一条特殊的射线，特殊在哪里呢？
5.5 角平分线的性质
二、主题讲解
主题一、角平分线的性质
（１）用折纸法画出∠ＡＯＢ
的平分线OC；
（２） 在∠ＡＯＢ 的平分线
OC上任取一点Ｐ，过P画PE⊥OA,PF⊥OB,E、F为垂足，量一量PE、PF的长度，线段PE、PF有什么关系？
（3）在OC上再取点Q，过Q作QM⊥OA,QN⊥OB，量一量QM、QN的长度，看看QM、QN有什么关系？
几何画板演示
设P点是∠AOB的平分线上任意一点，
PD⊥OA,PE⊥OB ,D、E
为垂足，那么沿着OC翻折，
射线OA、OB能够重合，
因为∠3与∠1互余，∠4与∠2互余，∠1=∠2
所以∠3=∠4,所以，射线PD与射线PE也能重合，因此D、E能重合，所以PD=PE.
.
猜想
角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号怎样表示？
如果点P在∠AOB的平分线OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,D、E为垂足，
那么，PD=PE
注意！三个条件：
（1）OC是角平分线，
（2）P在OC上，
（3）PD⊥OA,PE⊥OB,D、E为垂足。
1、如图，下面判断中正确的是（ ）
A ∵P是∠AOB平分线OC上一点，∴PD=PE.
B ∵P是OC上一点，PD⊥OA,PE⊥OB,D、E是垂足，∴PD=PE.
C ∵P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OA,PE⊥OB,，∴PD=PE.
D ∵P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OA,PE⊥OB,D、E是垂足，
∴PD=PE.
考考你
D
2、如图，△ABC中，∠C=90 ,BD平分∠ABC，CD=3cm,则点D到AB的距离是
（ ）
A 1cm, B 2cm , C 3cm, D 4cm.
C
主题二、三角形内角平分线的交点的性质
【解】作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
∵BM是∠ABC的平分线，
∴PD=PE,
∵CN是∠ACB的平分线，
∴PE=PF
∴PD=PE=PF
如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，试问点P到三边AB，BC，CA的距离相等吗？为什么？
应用迁移
【例1】 如图，P为△ABC中∠A的外角平分线上任意一点，且PE⊥BA，PD⊥AC，E、D为垂足。试探索BE+PD与PB的大小关系
【解】
∵AP平分∠CAE，PE⊥BE,PD⊥AC，
∴PD=PE,
(角平分线上的点到
角的两边的距离相等)
∵PE+BE>PB,
（三角形任何两边之和大于第三边）
∴PD+BE>PB（等量代换）
【分析】BE+PD与PB的大小关系，我们可以通过量一量BE，PD、PB的长度，然后算一算BE+PD，就能知道BE+PD与PB的关系。
【点评】
判断两条线段的和与第三条线段的大小关系，往往要考虑“三角形任何两边之和大于第三边”的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等是判断两条线段相等的一个依据。
【例2】 如图，有两条河流 ，两个工厂A，B，现要在这个区域内建一个中转站P，要求P到两工厂的距离相等，同时到两河流的距离也相等，请你在图中标出P点的位置。
【解】：
（1）画AB的垂直平分线MN，
（2）画∠α的平分线交直线MN于P,
则P点就是中转站的位置。
【分析】点P到A、B两点的距离相等，则P在AB的垂直平分线上，点P到l1,l2的距离相等，则P在∠α的平分线上，所以点P 就是线段AB的垂直平分线和∠α的平分线的交点。
P
M
N
课堂练习
1、已知：如图所示，BD是∠ABC平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积为30cm2 ,AB=18cm,BC=12cm,则DE的长是________.
【解】作DF⊥BC于F，
∵ BD平分∠ ABC，DE⊥AB于E，
∴ DE=DF
设DE=DF=xcm,
根据三角形ABC的面积=30cm2得：
0.5×18x+0.5×12x=30,15x=30,x=2.
∴DE=2cm.
F
2 、如图，已知AO、CO分别是△ABC的外角∠MAC，∠NCA的平分线，它们交于点是O，OD⊥BM于D，OF⊥BN于F，
试说明OD=OF.
【解】作OE⊥AC于E，∵OD⊥BM于D
∵AO平分∠MAC,
∴OD=OE
(角平分线上的点到角的两边的距离相等)
∵CO平分∠NCA,
∴OF=OE,
(角平分线上的点到角的两边的距离相等)
∴OD=OE=OF.(等量代换)
E
反思小结
这节课你有什么收获？
角平分线的性质：
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
在用符号表达的时候要注意它有三个条件。
若OC平分∠AOB，
PD⊥OA,PE⊥OB,
D、E为垂足，点P在OC上
那么：PD=PE.
作业
P 130 A B
