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5.6等腰三角形（1）
复习提问
什么叫轴对称图形？
如果一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够__________，那么这个图形叫轴对称图形。
互相重合
新课引言
2、观察下面图形，它们中的三角形有什么特别的地方？
这些三角形都是等腰三角形
主题讲解
主题一、 等腰三角形的概念
有两边相等的三角形
叫等腰三角形。
什么叫等腰三角形？
腰
腰
底边
底角
顶
角
相等的两边叫腰。另
一条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角。
主题二、 等腰三角形的性质
等腰三角形具有普通三角形的性质，
如：
（1）任意两边之和大于第三边，
任意两边之差少于第三边；
（2）三个内角的和等于180 ；
（3）任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
等腰三角形还有没有特殊性质呢？
主题二、 等腰三角形的性质
第一步：在一张纸上作一个等腰三角形。使AB=AC,并剪下来；
第二步：把三角形对折，使两腰AB、AC重合，折痕与BC的交点为D
你发现了什么？
（1）∠B=∠C；
（2）AD是底边BC上的高也是底边BC的中线，还是顶角的平分线。
这是为什么呢？
【解】：作∠BAC的平分线交
BC于D。沿着AD所在的直线
折叠，由于∠1=∠2,AB=AC,
所以，线段AB与线段AC重合，
点B、C关于直线AD对称，从而，AD垂直平分BC
，又BD与DC重合，所以∠B、∠C重合.
所以∠B=∠C.
已知：△ABC中，AB=AC,试说明∠B=∠C,BC边上的高、中线、顶角平分线互相重合。
D
1
2
等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线和底边上的高。（简称为“三线合一”）
（2）等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在的直线是它的对称轴。
（3）等腰三角形两底角相等。
怎样用符号表达等腰三角形的性质？
如图，填空：
（1）、∵AB=AC,∴____________
（2）∵AB=AC,AD⊥BC,
∴__________________________
∵AB=AC,DB=DC,
∴_______________________
∵AB=AC, ∠BAD=∠CAD,
∴_____________________________
∠B=∠C
BD=DC, ∠BAD=∠CAD
AD⊥BC, ∠BAD=∠CAD
BD=DC,AD ⊥BC
应用迁移
1、等腰三角形两底角相等的性质的应用
【例1】 △ABC中，AB=AC, ∠A=30 ,DE垂直平分AC，则∠BCD的度数是（ ）
A 80 B 75 C 65 D 45
【解】：∵DE垂直平分AC，
∴DA=DC,
∴∠A=∠ACD=30
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=75 -30 =45
【分析】由三角形内角和性质求出∠B与∠ACB，由线段垂直平分线性质和等腰三角形性质求出∠ACB。
【变式练习】
1、已知等腰三角形的的一个底角为80 ，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A 20 , B 40 C 50 D 80
【解】等腰三角形的一个底角等于80 ，另一个底 角也等于80 ，
所以顶角的度数为：180 -2×80 =20
A
2、等腰三角形的顶角为n ,则底角为
___________度
3、等腰三角形有一个角的度数为50 ,那么另外两个角的度数为____________.
65 、65 或80 、50
2、等腰三角形“三线合一性质”的应用
【例1】 如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，BD与CE相等吗？为什么？
【解】：作AF⊥BC,垂足为F，
则AF为等腰△ABC，
等腰△ADE底边上的高，
也是底边上的中线，
∴BF=CF, DF=EF, (等腰三角形“三线合一”）
∴BF-DF=CF-EF,（等式性质）
即：BD=CE.
F
【变式练习】等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？为什么？
【解】：连结AD，
∵ AB=AC,D是BC的中点
DE⊥AB,DF⊥AC（已知）
则AD平分∠BAC（等腰三角形“三线合一”）
∴DE=DF
(角分线上点到角的两边的距离相等)
已知：____________________________
则_____________吗？为什么？
△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,
DE=DF
3 等腰三角形性质的实际运用
如图的三角测平架中， ＡＢ ＝ ＡＣ， 在ＢＣ 的中点Ｄ 挂一个重锤， 自然下垂， 调整架身， 使点Ａ恰好在重垂线上．
（１） ＡＤ与ＢＣ是否垂直， 试说明理由；
（２） 这时ＢＣ 处于水平位置， 为什么？
【解】（1）AD⊥BC
理由：∵AB=AC,BD=DC(已知)
∴AD⊥BC
(等腰三角形“三线合一”)
（2）这时BC处于水平位置，因为DA垂直水平线，又垂直BC，所以BC平行水平线（两条直线都垂直第三条直线，那么这两条直线互相平行）
1、已知： 如图， 在△ABC 中， BA=BC， BD 是∠ABC 的平分线， 其中AD=4 cm. 求DC的长.
【解】∵BA=BC， BD 是∠ABC 的平分线（已知）
∴AD=DC=4cm
(等腰三角形“三线合一”)
课堂练习
2、如图AB=AC,BD=BC,若∠A=40 ，则∠ABD的度数是（ ）
A 20 B 30 , C 40 D 50
【解】∵AB=AC, ∠A=40
∴ ∠ABC=∠C
=0.5(180 -40 )=70
∵BD=BC, ∠C=∠BDC=70 ,
∴∠DBC=180 -2×70 =40 ,
∴∠ABC=∠ABC-∠DBC=70 -40 =30 ,选B。
反思小结
这节课你有什么收获？
1、等腰三角形的三条性质：两底角相等，“三线合一”，是轴对称图形
2、“三线合一”的含义是：等腰三角形底边上的
高是等腰三角形的中线也是顶角平分线，等腰三
角形的底边上的中线是底边上的高也是顶角的平
分线，等腰三角形顶角平分线是底边的垂直平分
线。
作业：
1 如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB, ∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，作EF∥BC,交AB于E，交AC于F，那么图中所有的等腰三角形有_____个，它们是____________.
2 如图，在△ABC中，∠ABC=45 , ∠ACB=62 ,延长BC到E，使CE=AC，延长CB到D，使DB=AB，则∠DAE=_____.
3 等腰三角形的顶角是 84 ，则一腰上的高与底边所成的角的度数是_____.
4、(2011，张家界)如图，△ABC中，AB=AC,点D为BC中点，∠BAD=20 ,则∠C=________.
5.6等腰三角形（1）
教学目标
【知识与技能】
1、了解等腰三角形的有关概念；
2、探索等腰三角形的性质，并能运用等腰三角形性质解决一些生活中的有关问题。
3、探索等腰三角形的轴对称性及相关性质。
【过程与方法】通过折叠探索等腰三角形的对称性及“三线合一”性质，进一步发展空间观念，提高推理能力和语言表达能力。
【情感态度与价值观】
通过实践激发学生的学习兴趣，培养学生积极探索的学习态度。
重点、难点
重点：等腰三角形的性质
难点：等腰三角形”三线合一”
教学过程
一 创设情境，导入新课
1 、什么叫轴对称图形？
如果一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。
2、观察下面图形，它们中的三角形有什么特别的地方？
这些三角形都是等腰三角形，等腰是特殊的三角形，它有什么性质呢？怎样判断一个三角形是等腰三角形呢？下面我们学习----5.6等腰三角形。
二 合作交流，探究新知
1、 等腰三角形的概念
有两边相等的三角形叫等腰三角形，相等的两边叫腰，另一条边叫底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角。
2、 等腰三角形的性质
探索结论
等腰三角形具有普通三角形的性质，如：任意两边之和大于第三边，任意两边只差少于第三边。三个内角的和等于180 ，任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。它是特殊的三角形，会不会有特殊的性质呢？下面我们来探究。
第一步：在一张纸上作一个等腰三角形。使AB=AC,并剪下来；
第二步：把三角形对折，使两腰AB、AC重合，折痕与BC的交点为D。
第三步：你发现了什么？（交流讨论）
发现：∠B=∠C,AD是底边BC上的高也是底边BC的中线，还是顶角的平分线。
（2）寻找理论依据
这是为什么呢？我们先把同学们发现的结论写成一个数学问题：
已知：△ABC中，AB=AC,。试说明∠B=∠C,BC边上的高、中线、顶角平分线互相重合。
【解】：作∠BAC的平分线交BC于D。沿着AD所在的直线折叠，
由于∠1=∠2,AB=AC,所以，线段AB与线段AC重合，点B、C关于直线AD对称，从而，AD垂直平分BC，又BD与DC重合，所以∠B、∠C重合，所以∠B=∠C.
(3)得出结论：
等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线和底边上的高。（简称为“三线合一”）
等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在的直线是它的对称轴。
等腰三角形两底角相等。
（4）用符号表达结论，加深对结论的理解
试试看：
如上图填空：
∵AB=AC,AD⊥BC, ∴_________,②∵AB=AC,DB=DC, ∴___________
∵AB=AC, ∠1=∠2, ∴______________
三 应用迁移，巩固提高
等腰三角形两底角相等的性质的应用
【例1】 △ABC中，AB=AC, ∠A=30 ,DE垂直平分AC，则∠BCD的度数是（ ）
A 80 B 75 C 65 D 45
【分析】由三角形内角和性质求出∠B与∠ACB，由线段垂直平分线性质和等腰三角形性质求出∠ACB。
【解】：∵DE垂直平分AC，∴DA=DC, ∴∠A=∠ACD=30
∵AB=AC, ∴∠B=∠C=
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=75 -30 =45
【变式练习】
1、已知等腰三角形的的一个底角为80 ，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A 20 , B 40 C 50 D 80
【解】等腰三角形的一个底角等于80 ，另一个底角也等腰80 ，
所以顶角的度数为：180 -2×80 =20
2、等腰三角形的顶角为n ,则底角为________ .
3、等腰三角形有一个角的度数为50 ,那么另外两个角的度数为____________.
【解】若顶角为50 ，则底角为65 ，若底角为50 ，则顶角为80
2、等腰三角形“三线合一性质”的应用
【例1】 如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，BD与CE相等吗？为什么？
【解】：作AF⊥BC,垂足为F，则AF为等腰△ABC，等腰△ADE底边上的高，也是底边上的中线，∴BF=CF,DF=EF, ∴BF-DF=CF-EF,即：BD=CE.
【变式练习】
等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？为什么？
【解】：如图，△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，DE⊥AB,DF⊥AC,连结AD，则AD平分∠BAC，∴DE=DF(角分线上点到角的两边的距离相等)
3 等腰三角形性质的实际运用
如图５－47 的三角测平架中， ＡＢ ＝ ＡＣ， 在ＢＣ 的中点Ｄ 挂一个重锤， 自然下垂， 调整架身， 使点Ａ恰好在重垂线上．
（１） ＡＤ与ＢＣ是否垂直， 试说明理由；
（２） 这时ＢＣ 处于水平位置， 为什么？
【解】（1）AD⊥BC
理由：∵AB=AC,BD=DC(已知)
∴AD⊥BC(等腰三角形“三线合一”)
（2）这时BC处于水平位置，因为DA垂直垂直水平线，又垂直BC，所以BC平行水平线（两条直线都垂直第三条直线，那么这两条直线互相平行）
四、 课堂练习，巩固提高
1、如图AB=AC,BD=BC,若∠A=40 ，则∠ABD的度数是（ ）
A 20 B 30 , C 40 D 50
【解】∵AB=AC, ∠A=40 ∴ ∠ABC=∠C=0.5(180 -40 )=70
∵BD=BC, ∠C=∠BDC=70 , ∴∠DBC=180 -2×70 =40 ,
∴∠ABC=∠ABC-∠DBC=70 -40 =30 ,选B。
2、已知： 如图， 在△ABC 中， BA=BC， BD 是∠ABC 的平分线， 其中AD=4 cm. 求DC的长.
【解】∵BA=BC， BD 是∠ABC 的平分线（已知）
∴AD=DC=4cm(等腰三角形“三线合一”)
五反思小结，拓展提高
这节课你有什么收获？
1、等腰三角形的三条性质：两底角相等，三线合一，是轴对称图形
2、“三线合一”的含义是：等腰三角形底边上的高是等腰三角形的中线也是顶角平分线，等腰三角形的底边上的中线是底边上的高也是顶角的平分线，等腰三角形顶角平分线是底边的垂直平分线。
作业：
1 如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB, ∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，作EF∥BC,交AB于E，交AC于F，那么图中所有的等腰三角形有_____个，它们是____________.
2 如图，在△ABC中，∠ABC= 45 , ∠ACB=61 ,延长BC到E，使CE=AC，延长CB到D，使DB=AB，则∠DAE=_____.
3 等腰三角形的顶角是，则一腰上的高与底边所成的角的度数是_____.
4、(2011，张家界)如图，△ABC中，AB=AC,点D为BC中点，∠BAD=20 ,则∠C=________.
