(共16张PPT)
5.6等腰三角形（2）
湖南省新邵县酿溪中学王军旗制作
复习提问：
等腰三角形有什么性质？
1、等腰三角形的顶角平分线也是底边上的________________（通常简称为“三线合一” ）
2、等腰三角形关于底边上的垂直平分线________， 从而它是________图形．
3、等腰三角形的两底角_____
中线和底边上的高
成轴对称
轴对称
相等
新课引言
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边是否也相等呢？
主题讲解
主题一、等腰三角形的判定方法
第一步：画有两个角相等的三角形
第二步：量一量相等的角所对的边，看看它们有什么关系？
你有什么猜想？
做
一
做
有两个角相等
的三角形是等腰三角形
这是为什么？
如图，三角形ABC中，
∠B=∠C,作∠BAC的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD,
∠ADB=∠ADC=90
因此沿着AD折叠，射线AB与射线AC能互相重合，
射线DB与射线DC能互相重合，从而点B与点C能互
相重合。因此AB=AC.
有两个角相等的三角形是等腰三角形
D
填空：△ABC中，
（1）∵AB=AC, ∴∠____=∠____.
(2) ∵∠B=∠C, ∴______=________.
有两个角相等的三角形是等腰三角形
符号语言
B
C
AB
AC
在一个三角形中，相等的边所对的角相等，相等的角所对的边相等。简称为：
等角对等边，等边对等角
注意：
前提是同一个三角形中，如下图：
BD=DC,
但∠BAD≠∠DAC.
有两个角相等的三角形是等腰三角形
2、 等腰三角形判定方法的应用
【例1】如果三角形一个外角平分线平行于三角形的第三边，那么这个三角形是等腰三角形吗？为什么？
【解】：如图，∠CAE是△ABC的外角，
∠1＝∠2，AD//BC，
因为AD//BC，
所以∠1＝∠B
（两直线平行，同位角相等），
∠2＝∠C（两直线平行，内错角相等）
因为∠1＝ ∠2，所以∠B＝ ∠C（等量代换），
因此 AB＝AC，即△ABC是等腰三角形
注意！文字语言表
达的题目，先要用
符号语言表述出来。
【点评】
判断一个三角形是等腰三角形，可以考虑判断其有两条边相等，或有两个角相等。
【例2】 上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝40 ，∠NBC＝80 ，求从B处到灯塔C的距离
【解】： ∵ ∠NBC＝∠A+∠C
（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和） ∴ ∠C=80 - 40 ＝40 ，
∴ ∠A= ∠C, ∴ BA＝BC
（等角对等边）
∵ AB＝20×（12－10）＝40（海里），
∴ BC＝40（海里）．
答：B处到灯塔C的距离是40海里
3、 按要求作等腰三角形
【例3】 已知：线段a, h
求作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h，
作法：
（1）作线段BC＝a
（2）作线段BC的垂直平分线
MN，MN与BC相交于点D；
（3）在射线DN上截取线段DA＝h；
（4）连结AB，AC
△ABC为所求作的等腰三角形，
B
C
D
M
N
A
按上面方法作出的三角形是否满足要求呢？
因为线段垂直平分线上任意
一点到线段两端点的距离相等，
所以AB＝AC,
又因为BC＝a，
AD⊥BC，AD＝h，
所以△ABC是所求作的等腰三角形．
课堂练习
1 、如图，已知AB=AC,D为AB上一点,DE⊥BC,ED的延长线交CA的延长线于点F，试说明△ADF是等腰三角形。
【解】∵AB=AC,(已知) ∴∠B=∠C (等边对等角)
∵DE⊥BC (已知)
∴△FEC、△DBE是直角三角形。
∴∠F+∠C=90 ,∠BDE+∠B=90
(直角三角形两锐角互余)
∴∠BDE=∠F (等角的余角相等)
∵∠BDE=∠ADF (对顶角相等)
∴∠ADF=∠F (等量代换) ∴AF=AD. (等角对等边)
2、 已知线段ａ， ｂ， 如图． 求作等腰△ＡＢＣ，使腰ＡＢ ＝ ａ， 底边ＢＣ ＝ ｂ．
作法：
（1）作∠MDN＝90 ，
在射线DM上截取线段DA＝b；
（2）以A为圆心，以a为半径
作弧交DN于B，连结AB；
（3）延长BD至C，
使DC＝BD
（4）连结AC
△ABC为所求作的等腰三角形，
反思小结
这节课你有什么收获？
1、等腰三角形的判定方法：
判两边相等，或判两角相等。
2、作图题的步骤:
（1）作法，
（2）作图（保留痕迹），
（3）说明理由。
作业：P 136 A1、 2,3，B 1,2
5.6 等腰三角形（2）
教学目标
【知识与技能】
1、 掌握等腰三角形的判定；
2、会用尺规作出符合已知条件的等腰三角形；
【过程与方法】
经历猜想、操作、思考、推理等活动，探索的等腰三角形的判定方法，发展空间观念、推理能力，和有条理的表达能力。
【情感态度与价值观】
通过探索等腰三角形的判定方法，激发学生学习数学逻辑推理的兴趣。
重点、难点
重点：等腰三角的的判定与等腰三角形的作图
难点：根据已知条件作等腰三角形。
教学过程
一创设情境，导入新课
1 复习：等腰三角形有什么性质？
等腰三角形两底角相等，即：若AB=AC,那么, ∠B=∠C
等腰三角形底边上的高是底边上的中线也是顶角的平分线。即：
若AB=AC,AD⊥BC,那么∠BAD=∠CAD,BD=DC,可以把结论和条件AD⊥BC一一对换
等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在的直线是它的对称轴。
提出问题
如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边是否也相等呢？
这节课我们学习-----等腰三角形的判定
二 合作交流，探究新知
1 动手操作，探索等腰三角形的判定方法
利用三角板画有两个角相等的三角形（底角分别为60 、30 、45 ），
量一量相等的角所对的边，看看它们有什么关系？
你有什么猜想？
有两个角相等的三角形是等腰三角形
寻找理论依据
如图，三角形ABC中，∠B=∠C,作∠BAC的平分线AD，则∠BAC=∠CAD,
∠ADB=∠ADC=90 ,因此沿着AD折叠，射线AB与射线AC能互相重合，射线DB与射线DC能互相重合，从而点B与点C能互相重合。因此AB=AC.
填空：△ABC中，
（1）∵AB=AC, ∴∠____=∠____.(2) ∵∠B=∠C, ∴___=_____.
在一个三角形中，相等的边所对的角相等，想等的角所对的边相等。简称为：等角对对等边，等边对等角
注意：前提是同一个三角形中，如图：BD=DC,但∠BAD≠∠DAC.
2 等腰三角形判定方法的应用
【例1】如果三角形一个外角平分线平行于三角形的第三边，那么这个三角形是等腰三角形吗？为什么？
解：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD//BC，因为AD//BC，所以∠1＝∠B（两直线平行，同位角相等），∠2＝∠C（两直线平行，内错角相等）因为∠1＝ ∠2，所以∠B＝ ∠C，因此 AB＝AC即△ABC是等腰三角形
【例2】 上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝40 ，∠NBC＝80 ，求从B处到灯塔C的距离
【解】：因为∠NBC＝∠A+∠C（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和）所以 ∠C=80 - 40 ＝40 ，因此 BA＝BC（等角对等边，因为 AB＝20×（12－10）＝40，所以BC＝40（海里）．
答：B处到灯塔C的距离是40海里
3 按要求作等腰三角形
【例3】 已知：线段a, h
求作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h，
作法：
（1）作线段BC＝a
（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；
（3）在射线DN上截取线段DA＝h；
（4）连结AB，AC
△ABC为所求作的等腰三角形，为什么？
因为线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等，所以AB＝AC, 又因为BC＝a，AD⊥BC，AD＝h，所以△ABC是所求作的等腰三角形．
三 课题练习，巩固提高
1 如图，已知AB=AC,D为AB上一点,DE⊥BC,ED的延长线交CA的延长线于点F，试说明△ADF是等腰三角形。
【解】∵AB=AC,(已知)
∴∠B=∠C(等边对等角)
∵DE⊥BC(已知)
∴△FEC、△DBE是直角三角形。
∴∠F+∠C=90 ,∠BDE+∠B=90 (直角三角形两锐角互余)
∴∠BDE=∠F(等角的余角相等)
∵∠BDE=∠ADF(对顶角相等)
∴∠ADF=∠F(等量代换)
∴AF=AD.(等角对等边)
2、 已知线段ａ， ｂ， 如图． 求作等腰△ＡＢＣ，使腰ＡＢ ＝ ａ， 底边ＢＣ ＝ ｂ．
作法：
（1）作∠MDN＝90 ，在射线DM上截取线段DA＝b；
（2）以A为圆心，以a为半径作弧交DN于B，连结AB；
（3）延长BD至C，使DC＝BD
（4）连结AC
△ABC为所求作的等腰三角形，为什么？
由作法可知BD＝DC，直线AD为线段BC的垂直平分线，又AB＝a，所以AC＝AB＝a，又因为AD⊥BC，AD=h，所以△ABC为所求作的等腰三角形．
四 反思小结，拓展提高
这节课你有什么收获？
等腰三角形的判定方法：判两边相等，或两角相等。
作图题的步骤:作法，作图（保留痕迹）、说明理由。
作业：P 136 A 2,3 B 1,2
