垂直于弦的直径
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文档简介
(共46张PPT)
过已知点A、B作圆，可以作无数个圆．
圆心在线段AB的垂直平分线上．
各圆心的分布有什么特点
与线段AB有什么关系？
新课导入
大胆猜想
A
B
教学目标
【知识与能力】
理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．
通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．
【过程与方法】
【情感态度与价值观】
培养通过动手实践发现问题的能力．
渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法．
教学重难点
垂径定理及其运用．
什么是轴对称图形？
我们学过哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．
回 顾
线段
角
等腰三角形
矩形
菱形
等腰梯形
正方形
圆
圆也是轴对称图形吗？
探究
动画——沿着圆的任意一条直径对折
圆是轴对称图形．
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
圆有哪些对称轴？
O
O
A
B
C
D
E
是轴对称图形．
大胆猜想
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦，
CD⊥AB，垂足为E．
下图是轴对称图形吗？
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB，垂足为E．
求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．
⌒
⌒
⌒
⌒
证明：连结OA、OB，则OA＝OB．∵ 垂直于弦AB的直径CD所在的直线
既是等腰三角形OAB的对称轴又
是⊙ O的对称轴．
∴ 当把圆沿着直径CD折叠时，
CD两侧的两个半圆重合，
A点和B点重合，
AE和BE重合，
AC、AD分别和BC、BD重合．
∴ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
叠合法
D
O
A
B
E
C
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
知识要点
D
O
A
B
E
C
垂径定理
AE＝BE
AC＝BC
AD＝BD
⌒
⌒
⌒
⌒
CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB
①直径过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
题设
结论
D
O
A
B
E
C
垂径定理
将题设与结论调换过来，还成立吗？
这五条进行排列组合，会出现多少个命题？
① 直径过圆心
③ 平分弦
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论1
D
O
A
B
E
C
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB
求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
⌒
⌒
⌒
⌒
一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．
O
A
B
M
N
C
D
注意
为什么强调这里的弦不是直径？
① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧
③ 平分弦
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
垂径定理的推论1
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
已知：CD是直径，AB是弦，并且AC＝BC
求证：CD平分AB，CD ⊥AB，AD＝BD
⌒
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D
O
A
B
E
C
① 直径过圆心
⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧
② 垂直于弦
垂径定理的推论1
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD
求证：CD平分AB，CD ⊥AB，AC＝BC
⌒
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⌒
⌒
D
O
A
B
E
C
② 垂直于弦
③ 平分弦
① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
（3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论1
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB，
求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC
⌒
⌒
⌒
⌒
D
O
A
B
E
C
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心
③ 平分弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．
③ 平分弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心
② 垂直于弦
③ 平分弦
（6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心，并且垂直平分弦．
∴AM＝BM，
CM＝DM
⌒
⌒
⌒
⌒
垂径定理的推论2
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
M
O
A
B
N
C
D
证明：作直径MN垂直于弦AB
∵ AB∥CD
∴ 直径MN也垂直于弦CD
∴AM－CM ＝BM－DM
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
即 AC＝BD
A
B
C
D
两条弦在圆心的同侧
两条弦在圆心的两侧
垂径定理的推论2有这两种情况：
O
O
A
B
C
D
C
D
A
B
E
已知：AB．
求作：AB的中点．
⌒
⌒
点E就是所求AB的中点．
⌒
作法：
1． 连结AB．
2． 作AB的垂直平分线 CD，交AB于点E．
⌒
小练习
A
B
C
D
E
已知：AB．
求作：AB的四等分点．
⌒
⌒
作法：
1． 连结AB．
3． 连结AC．
2． 作AB的垂直平分线 ，交AB于点E．
⌒
4． 作AC的垂直平分线 ，交AC于点F．
⌒
5． 点G同理．
点D、C、E就是AB的四等分点．
⌒
A
B
C
作AC的垂直平分线
作BC的垂直平分线
等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线．
×
C
A
B
O
你能确定AB的圆心吗？
⌒
作法：
1． 连结AB．
2． 作AB的垂直平分线 ，交AB于点C．
⌒
3． 作AC、BC的垂直平分线．
4． 三条垂直平分线交于一点O．
点O就是AB的圆心．
⌒
你能破镜重圆吗？
A
B
C
m
n
O
作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．
作法：
依据：
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理三角形
d + h = r
d
h
a
r
有哪些等量关系？
在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．
你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m．
赵州桥主桥拱的半径是多少？
实际问题
垂径定理的应用
用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．
经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高．
解：
AB=37.4，CD=7.2，
OD=OC－CD=R－7.2
B
O
D
A
C
R
解得 R≈27.9（m）
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即 R2=18.72+（R－7.2）2
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m．
OA2=AD2+OD2
课堂小结
1． 圆是轴对称图形
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
O
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
2． 垂径定理
D
O
A
B
E
C
条件 结论 命题
①③ ②④⑤
①④ ②③⑤
①⑤ ②③④
②③ ①④⑤
②④ ①③⑤
②⑤ ①③④
③④ ①②⑤
③⑤ ①②④
④⑤ ①②③
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧．
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
3．垂径定理的推论
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．
4． 解决有关弦的问题
1． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧． （ ）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧． （ ）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦． （ ）
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行．
（ ）
（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．
（ ）
√
√
随堂练习
2． 在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
·
O
A
B
E
解：
答：⊙O的半径为5cm．
3． 在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
求证：四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形．
4． 在直径是20cm的⊙O中， 的度数是60°，那么弦AB的弦心距是________．
cm
5． 弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为________．
cm
6． 已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3cm，，那么过P点的最短的弦等于____________．
cm
7． 一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD垂足为F，EF=90m．求这段弯路的半径．
解:连接OC．
●O
C
D
E
F
┗
8． 已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：连结OA．过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3cm，AE＝BE．
∵AB＝8cm ∴AE＝4cm
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5cm
∴⊙O的半径为5cm．
．
A
E
B
O
9． 在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
求证：AC＝BD．
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BD
E
．
A
C
D
B
O
10． 已知：⊙O中弦AB∥CD．
求证：AC＝BD
⌒
⌒
证明：作直径MN⊥AB．
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD．
则AM＝BM，CM＝DM
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
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．
M
C
D
A
B
O
N
过已知点A、B作圆，可以作无数个圆．
圆心在线段AB的垂直平分线上．
各圆心的分布有什么特点
与线段AB有什么关系？
新课导入
大胆猜想
A
B
教学目标
【知识与能力】
理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．
通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．
【过程与方法】
【情感态度与价值观】
培养通过动手实践发现问题的能力．
渗透“观察→分析→归纳→概括”的数学思想方法．
教学重难点
垂径定理及其运用．
什么是轴对称图形？
我们学过哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形．
回 顾
线段
角
等腰三角形
矩形
菱形
等腰梯形
正方形
圆
圆也是轴对称图形吗？
探究
动画——沿着圆的任意一条直径对折
圆是轴对称图形．
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
圆有哪些对称轴？
O
O
A
B
C
D
E
是轴对称图形．
大胆猜想
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦，
CD⊥AB，垂足为E．
下图是轴对称图形吗？
已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB，垂足为E．
求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．
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证明：连结OA、OB，则OA＝OB．∵ 垂直于弦AB的直径CD所在的直线
既是等腰三角形OAB的对称轴又
是⊙ O的对称轴．
∴ 当把圆沿着直径CD折叠时，
CD两侧的两个半圆重合，
A点和B点重合，
AE和BE重合，
AC、AD分别和BC、BD重合．
∴ AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD
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叠合法
D
O
A
B
E
C
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
知识要点
D
O
A
B
E
C
垂径定理
AE＝BE
AC＝BC
AD＝BD
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CD是直径，AB是弦，
CD⊥AB
①直径过圆心
②垂直于弦
③平分弦
④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧
题设
结论
D
O
A
B
E
C
垂径定理
将题设与结论调换过来，还成立吗？
这五条进行排列组合，会出现多少个命题？
① 直径过圆心
③ 平分弦
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论1
D
O
A
B
E
C
已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB
求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC
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一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．
O
A
B
M
N
C
D
注意
为什么强调这里的弦不是直径？
① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧
③ 平分弦
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
垂径定理的推论1
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
已知：CD是直径，AB是弦，并且AC＝BC
求证：CD平分AB，CD ⊥AB，AD＝BD
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D
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A
B
E
C
① 直径过圆心
⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧
② 垂直于弦
垂径定理的推论1
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD
求证：CD平分AB，CD ⊥AB，AC＝BC
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A
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② 垂直于弦
③ 平分弦
① 直径过圆心
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
（3）弦的垂直平分线 经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论1
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB，
求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC
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A
B
E
C
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心
③ 平分弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧
（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧
① 直径过圆心
② 垂直于弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．
③ 平分弦
⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心
② 垂直于弦
④ 平分弦所对优弧
④ 平分弦所对优弧
⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心
② 垂直于弦
③ 平分弦
（6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心，并且垂直平分弦．
∴AM＝BM，
CM＝DM
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垂径定理的推论2
圆的两条平行弦所夹的弧相等．
M
O
A
B
N
C
D
证明：作直径MN垂直于弦AB
∵ AB∥CD
∴ 直径MN也垂直于弦CD
∴AM－CM ＝BM－DM
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即 AC＝BD
A
B
C
D
两条弦在圆心的同侧
两条弦在圆心的两侧
垂径定理的推论2有这两种情况：
O
O
A
B
C
D
C
D
A
B
E
已知：AB．
求作：AB的中点．
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点E就是所求AB的中点．
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作法：
1． 连结AB．
2． 作AB的垂直平分线 CD，交AB于点E．
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小练习
A
B
C
D
E
已知：AB．
求作：AB的四等分点．
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作法：
1． 连结AB．
3． 连结AC．
2． 作AB的垂直平分线 ，交AB于点E．
⌒
4． 作AC的垂直平分线 ，交AC于点F．
⌒
5． 点G同理．
点D、C、E就是AB的四等分点．
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A
B
C
作AC的垂直平分线
作BC的垂直平分线
等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线．
×
C
A
B
O
你能确定AB的圆心吗？
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作法：
1． 连结AB．
2． 作AB的垂直平分线 ，交AB于点C．
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3． 作AC、BC的垂直平分线．
4． 三条垂直平分线交于一点O．
点O就是AB的圆心．
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你能破镜重圆吗？
A
B
C
m
n
O
作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．
作法：
依据：
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理三角形
d + h = r
d
h
a
r
有哪些等量关系？
在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．
你知道赵州桥吗 它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥， 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m．
赵州桥主桥拱的半径是多少？
实际问题
垂径定理的应用
用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．
经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高．
解：
AB=37.4，CD=7.2，
OD=OC－CD=R－7.2
B
O
D
A
C
R
解得 R≈27.9（m）
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
即 R2=18.72+（R－7.2）2
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m．
OA2=AD2+OD2
课堂小结
1． 圆是轴对称图形
任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．
O
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
2． 垂径定理
D
O
A
B
E
C
条件 结论 命题
①③ ②④⑤
①④ ②③⑤
①⑤ ②③④
②③ ①④⑤
②④ ①③⑤
②⑤ ①③④
③④ ①②⑤
③⑤ ①②④
④⑤ ①②③
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧．
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
3．垂径定理的推论
经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件．
4． 解决有关弦的问题
1． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两弧． （ ）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一弧． （ ）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦． （ ）
（4）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行．
（ ）
（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．
（ ）
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随堂练习
2． 在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
·
O
A
B
E
解：
答：⊙O的半径为5cm．
3． 在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
求证：四边形ADOE是正方形．
D
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A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形．
4． 在直径是20cm的⊙O中， 的度数是60°，那么弦AB的弦心距是________．
cm
5． 弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为________．
cm
6． 已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3cm，，那么过P点的最短的弦等于____________．
cm
7． 一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD垂足为F，EF=90m．求这段弯路的半径．
解:连接OC．
●O
C
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8． 已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解：连结OA．过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝3cm，AE＝BE．
∵AB＝8cm ∴AE＝4cm
在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5cm
∴⊙O的半径为5cm．
．
A
E
B
O
9． 在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．
求证：AC＝BD．
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE．
AE－CE＝BE－DE．
所以，AC＝BD
E
．
A
C
D
B
O
10． 已知：⊙O中弦AB∥CD．
求证：AC＝BD
⌒
⌒
证明：作直径MN⊥AB．
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD．
则AM＝BM，CM＝DM
AM－CM＝BM－DM
∴AC＝BD
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．
M
C
D
A
B
O
N
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