第02讲 有理数的相关概念 讲义（含答案）

教师讲义
年 级： 辅导科目： 数学 课时数：
课 题
有理数的有关概念
教学目的
对于有理数的相关概念能够清楚掌握.
理解相反数和绝对值的概念和意义，会用数轴表示已知数并比较大小.
会利用绝对值和数轴比较大小.
教学内容
一、日校回顾
二、上节课知识点回顾
三、知识梳理
（一）正数与负数
1.___________________________________________________是正数.
2.___________________________________________________是负数.
3.零既不是________也不是_________.
(二)有理数及其分类
1.整数与分数统称为_________.整数包括三类：________、________、_______.分数包括两类______、________.
2.有理数的分类：
按符号分类： 按定义分类:

(三）数轴
1.数轴的概念：____________________________________叫做数轴
2.数轴的三要素：________、__________、__________.
3.数轴上的点与实数是___________的.
4. 数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。如图1所示.
(四)相反数
1.相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，与原点距离相等的两个点所表示的数，互为相反数。
2.在数轴上，表示互为相反数的两点，位于原点的_______,并且到原点的距离________.
3.相反数的代数定义：如果这两个数只是符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.特别的，0的相反数是_______.
4.相反数的表示方法：表示一个数的相反数，只要在这个数的前面添加一个________即可.
5.利用数轴比较有理数的大小：数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的_______.正数大于0.负数小于0，正数大于负数.
6.相反数是成对出现的.
(五)绝对值
1.绝对值的几何定义：在数轴上，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，记作
2.绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
即①若a＞0，则|a|=a； ②若a＜0，则|a|=–a；③若a=0，则|a|=0；或写成：false。
3.绝对值的求法：要求一个数的绝对值，应先判断这个数是正数、负数还是0.再求这个数的绝对值。
4.比较两个负数的大小：对于两个负数，由于它们都位于原点的左侧，因而，绝对值越大的，在数轴上的位置就越靠左，而在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数____，所以两个负数比较大小，绝对值越大的反而______.
5.比较两个负数的大小的步骤：
（1）先分别求出两个负数的_______；
（2）比较这两个_________的大小；
（3）根据“两个负数,_________大的反而小”作出判断.
6.有理数大小的比较法则：正数大于0；负数小于0；正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
四、典型例题
(一)、有理数及其分类
【例1】在:0、1、-2、-3.5这四个数中，是负整数的是（　　）
A.0 B.1 C.-2 D.-3.5
【例2】下列各数中：+6，-8.25，-0.4， -23，9， 75，-28，负有理数有（　　）个
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【例3】下列说法中，不正确的是（　　）
A.零是有理数 B.零是整数 C.零是正数 D.零不是负数
(二)、数轴
【例4】数轴上的点A到原点的距离是6，则点A表示的数为（　　）
A.6或-6 B.6 C.-6 D.3或-3
【例5】如图，在数轴上点A表示（　　）
A．-2 B.2 C. D.0
【例6】数轴上的点A，B位置如图所示，则线段AB的长度为（　　）
A.-3 B.5 C.6 D.7
(三)、相反数
【例7】- 34的相反数是（　　）
A.43 B.-34 C.-43 D.34
【例8】如图，数轴上的点A、B、C、D、E分别表示什么数？其中哪些数是互为相反数？
【例9】-（+5）表示______的相反数，即-（+5）=____；-（-5）表示____的相反数，即-（-5）=______.
(四)、绝对值
【例10】若|x-3|=x-3，则下列不等式成立的是（　　）
A.x-3＞0 B.x-3＜0 C.x-3≥0 D.x-3≤0
【例11】如图数轴中的O是原点，A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．根据图中各点的位置，下列各数的絶对值的比较何者正确（　　）
A.|b|＜|c| B.|b|＞|c| C.|a|＜|b| D.|a|＞|c|
【例12】已知|a|=3，|b|=5，且a＜b，求a-b的值．
五、课堂练习
(一)选择题
1、下列说法中，正确的是（　　）
A、整数一定是正数 B、有这样的有理数，它既不是正数，也不是负数
C、有这样的有理数，它既是正数，也是负数 D、0是最小的正数
2、如果水位下降3m，记作﹣3m，那么水位上升4m，记作（　　）
A、+1m B、+7m
C、+4m D、﹣7m
3、下列四个数中，在﹣1和2之间的整数是（　　）
A、0 B、﹣2
C、﹣3 D、3
4、下列说法正确的是（　　）
A、没有最大的正数，却有最大的负数 B、数轴上离原点越远，表示数越大
C、0大于一切非负数 D、在原点左边离原点越远，数就越小
5、下列结论正确的有（　　）个：
①规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴；②最小的整数是0；
③正数，负数和零统称有理数；④数轴上的点都表示有理数
A、0 B、1
C、2 D、3
6、在数轴上，A点和B点所表示的数分别为﹣2和1，若使A点表示的数是B点表示的数的3倍，应把A点（　　）
A、向左移动5个单位 B、向右移动5个单位
C、向右移动4个单位 D、向左移动1个单位或向右移动5个单位
7、点A为数轴上的表示﹣2的动点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B所表示的有理数为（　　）
A、2 B、﹣6
C、2或﹣6 D、不同于以上答案
8、下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A、|﹣|与﹣ B、|﹣|与﹣
C、|﹣|与 D、|﹣|与
9、下列各式中，正确的是（　　）
A、﹣|﹣4|＞0 B、|0.2|＞|﹣0.2|
C、﹣ D、|﹣6|＜0
10、在﹣1，﹣2，1，2四个数中，最小的一个数是（　　）
A、﹣1 B、﹣2
C、1 D、2
11、若a=﹣3，则﹣a=（　　）
A、﹣3 B、3
C、3或﹣3 D、以上答案都不对
（二）填空题
1、某人存入银行1000元，记作+1000元，取出600元，则可以记为：　_________　．
2、向东走5米记作5米，那么向西走10米，记作：　_________　．
3、一潜艇所在的高度是﹣50m，一条鲨鱼在潜艇的上方20m，那么鲨鱼所在的高度为　_________　m．
4、请举出三对具有相反意义的词语：　_________　．
5、一个同学前进100米．再前进﹣100米，则这个同学距出发地　_________　米．
6、气象局预报某天温度为﹣5℃～12℃，则这天的最低气温是　_________　．
7、预测某地区人口到2005年将出现负增长，“负增长”的意义是：　_________　．
8、把下列各数分别填在对应的横线上：3，﹣0.01，0，﹣2，+3.333，﹣0.010010001…，+8，﹣101.1，+，﹣100
其中：
正数有：　_______ __　； 负数有：　___ __ ____　；
整数有：　____ _____　； 正分数有：　__ _______　；
负分数有：　_________　．
9、在一种零件的直径在图纸上是10±0.05（单位：㎜），表示这种零件的标准尺寸是　_________　
㎜，加工要求最大不能超过　_________　㎜，最小不能超过　_________　㎜．
10、到目前为止，同学们学过的数有：　_________　．
11、我市冬季某一天的最高气温为﹣1℃，最低气温为﹣6℃，那么这一天的最高气温比最低气温高　_________　℃．
12、在数轴上表示的两个数中，　_________　的数总比　_________　的数大．
13、在数轴上，表示﹣5的数在原点的　_________　侧，它到原点的距离是　_________　个单位长度．
14、在数轴上，表示+2的点在原点的　_________　侧，距原点　_________　个单位；表示﹣7的点在原点的
　_________　侧，距原点　_________　个单位；两点之间的距离为　_________　个单位长度．
15、在数轴上，把表示3的点沿着数轴向负方向移动5个单位，则与此位置相对应的数是　_________　．
16、与原点距离为3个单位长度的点有　_________　个，它们分别表示有理数　_________　和　_________　．
17、到原点的距离不大于3的整数有　_________　个，它们是：　_________　．
18、如图，数轴上的点A所表示的是实数a，则点A到原点的距离是　_________　．
19、在数轴上，离原点距离等于3的数是　_________　．
20、（1）|+|=　_________　；|3.5|=　_________　；|0|=　_________　；
（2）﹣|﹣3|=　_________　；﹣|+3.7|=　_________　；
（3）|﹣8|+|﹣2|=　_________　；|﹣6|÷|﹣3|=　_________　；|6.5|﹣|﹣5|=　_________　．
21、﹣3的绝对值是　_________　；绝对值等于3的数是　_________　，它们互为　_________　．
22、绝对值最小的数是　_________　，绝对值最小的整数是　_________　．
23、绝对值小于4的整数有　_________　．
（三）解答题
1、（1）|﹣1|；（2）|0|；（3）绝对值是1.5的负数；（4）绝对值是的负数．
2、已知|a|=2，|b|=2，|c|=3，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，计算a+b+c的值．
3、某制衣厂本周计划每日生产100套西服，由于工人实行轮休，每日上班人数不一定相等，实行每日生产量与计划量相比情况如下表（增加的套数为正数，减少的套数为负数）：
请问产量最少的是星期几？生产量是多少？
七、课后作业
一、选择题
1、下面说法中正确的是 （ ）
A．“向东5米”与“向西10米”不是相反意义的量；
B．如果汽球上升25米记作+25米，那么-15米的意义就是下降-15米；
C．如果气温下降6℃记作-6℃，那么+8℃的意义就是零上8℃；
D．若将高1米设为标准0，高1.20米记作+0.20米，那么-0.05米所表示的高是0.95米．
2、0是（ ）
A. 正数 B. 负数 C. 整数 D. 正有理数
3、 下列说法中正确的是（ ）
A.整数又叫自然数 B. 0是整数
C.一个数不是正数就是负数 D. 0不是自然数
4、下面说法中，不正确的是 （ ）
A.在有理数中，零的意义仅表示没有； B.0不是正数，也不是负数，但是有理数；
C.0是最小的整数； D.0不是偶数．
5、互为相反数是指（ ）
A.具有相反意义的两个量 B.一个数的前面添上“–”号所得的数
C.数轴上原点两旁的两个点表示的数 D.只有符号不同的两个数
6、在数轴上距离原点4个单位长度的点所表示的数是（ ）
A、4 B、–4 C、4或–4 D、2或–2
7、大于–2.5而不大于3的整数（ ）
A、4个 B、5个 C、6个 D、7个
8、如图2–2所示，根据有理数a，–b，–c，在数轴上的位置，比较a，b，c，的大小， 则有（ ）
A、a B、a C、bb填空题：
1、用正数或负数表示下列各题中的数量：
(1)如果火车向东开出400千米记作+400千米，那么火车向西开出4000千米，记作______；
(2)球赛时，如果胜2局记作+2，那么-2表示______；
(3)若-4万表示亏损4万元，那么盈余3万元记作______；
(4)+150米表示高出海平面150米，低于海平面200米应记作______；
2、最小的自然数是 ，最大的负整数是 ，最小的非负整数是 。
3. 将下列各数分别填入相应的大括号里：5，，2003，，6.8，0，，，，。
正数集合{ } 整数集合{ }
负数集合{ } 分数集合{ }
4. 不用负数，请讲出下列各题的意义。
（1）某公司在2003年上半年营销情况是-50万元。
（2）向西走了-150米。
（3）运走-80吨大米。
三、解答题
1、 把下列各数分别填在题后相应的集合中：，0，，0.73，2，，，，+28。
（1）正数集合：
（2）负数集合：
（3）整数集合：
（4）分数集合：
（5）正整数集合：
（6）负整数集合：
（7）正分数集合：
2、某地一天中午12时的气温是6°C，傍晚5时的气温比中午12时下降了4°C，凌晨4时的温度比傍晚5时还低4°C，问傍晚5时的气温是多少？凌晨4时的气温是多少？
附答案
典型例题：
例1：C例2：D例3：C例4：A例5：A 例6： D 例7：D
例8：解：由数轴上各点到原点的距离的大小可知各点所表示的数大致为：
A、-3.8；B、-2.2 ；C、-0.8；D、0.8；E、2.2．
故互为相反数的数有B和E；C和D两组．
例9：+5，-5；-5，+5.
例10：C
例11：A
例12：解：∵|a|=3，|b|=5，
∴a=±3，b=±5．
∵a＜b，
∴当a=3时，b=5，则a-b=-2．
当a=-3时，b=5，则a-b=-8．
课堂练习：
一、选择题
1、B 2、C 3、A 4、D 5、C 6、B 7、C 8、A 9、C 10、B 11、B
二、填空题
1、-600元 2、-10米 3、-30 4、上升与下降，前进与后退，收入与支出 5、0 6、﹣5℃
7、自2005年开始，这个地区人口将逐年下降
8、正数有：　3，+3.333，+8，+　；负数有：　﹣0.01，﹣2，﹣0.010010001…，﹣100，﹣101.1　；
整数有：　3，0，+8，﹣100，　；正分数有：　+3.333，+，　；
负分数有：　﹣0.01，﹣0.010010001…，﹣101.1，　．
9、10；10.05；9.95
10、有理数（或正数，零，和负数；或整数和分数） 11、5
12、右边；左边. 13、左；5 14、右；2；左；7；9. 15、-2
16、2；+3；-3. 17、7；±1，±2，±3，0. 18、-a 19、±3
20、（1）|+|=　　；|3.5|=　3.5　；|0|=　0　；
（2）﹣|﹣3|=　﹣3　；﹣|+3.7|=　﹣3.7　；
（3）|﹣8|+|﹣2|=　10　；|﹣6|÷|﹣3|=　2　；|6.5|﹣|﹣5|=　1　．
21、3；3或﹣3；相反数.
22、0；0 23、0，±1，±2，±3
（三）解答题
1、解：（1））|﹣1|=1；
（2）|0|=0；
（3）∵绝对值是1.5的数为：±1.5，
∴绝对值是1.5的负数为﹣1.5．
（4）∵绝对值是的数为：±，
∴绝对值是的负数为：﹣．
2、解：由数轴上a、b、c的位置知：b＜0，0＜a＜c；
又∵|a|=2，|b|=2，|c|=3，
∴a=2，b=﹣2，c=3；
故a+b+c=2﹣2+3=3．
3、解：∵﹣5＜﹣3＜﹣2＜+4＜+7，
∴星期五生产的西服产量最小，
∵本周计划每日生产100套，
∴星期五的生产量为：100﹣5=95套．
答：产量最少的是星期五，生产量是95套．
课后作业：
选择题
1、D；2、C；3、B；4、A 5、B 6、C 7、B 8、A
填空题
1（1）－4000米；（2）负2米；（3）＋3万元；（4）－200米
2、0；－1；0
3、正数集合{5，2003，6.8，}；负数集合{，，，，}
整数集合{5，2003，0，，}；分数集合{，，6.8，，}
4、（1）亏损50万元 （2）向东走了150米 （3）运进80吨大米
三、解答题
1、（1）正数集合：0.73，2，，+28
（2）负数集合：，，，
（3）整数集合：0，，2，，+28
（4）分数集合：，0.73，，
（5）正整数集合：2，+28
（6）负整数集合：，
（7）正分数集合：0.73，
（8）负分数集合：，
2、2°C；－2°C.2、2°C；－2°C.