科学命题同步练习之24.3 正多边形和圆（含解析）

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科学命题同步练习之24.3正多边形和圆
一、选择题
已知正六边形的边长为
，则它的内切圆的半径为
A．
B．
C．
D．
如图，
是正五边形
的外接圆，则正五边形的中心角
的度数是
A．
B．
C．
D．
如图，边长为
的正五边形
，顶点
，
在半径为
的圆上，其他各点在圆内，将正五边形
绕点
逆时针旋转，当点
第一次落在圆上时，则点
转过的度数为
A．
B．
C．
D．
如图，在圆内接正六边形
中，，
分别交
于点
，．若该圆的半径为
，则线段
的长为
A．
B．
C．
D．
下列是关于四个图案的描述．
图
所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称；
图
所示是一个正三角形内接于圆；
图
所示是一个正方形内接于圆；
图
所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二．
这四个图案中，阴影部分的面积不小于该图案外圈大圆面积一半的是
A．图
和图
B．图
和图
C．图
和图
D．图
和图
尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为
的
六等分，依次得到
，，，，，
六个分点；
②分别以点
，
为圆心，
长为半径画弧，
是两弧的一个交点；
③连接
．
问：
的长是多少？
大臣给出的正确答案应是
A．
B．
C．
D．
二、填空题
同一个圆的内接正方形和正三角形的内切圆半径比为
．
有一个边长为
的正方形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正方形，则这个圆形纸片的半径最小是
．
颐和园是我国现存规模最大，保存最完整的古代皇家园林，它和承德避暑山庄、苏州拙政园、苏州留园并称为中国四大名园．该园有一个六角亭，如果它的地基是半径为
米的正六边形，那么这个地基的面积是
．
如图，正六边形
中，
是边
的中点，连接
，则
．
边长为
的等边三角形，记为第
个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第
个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点顺次连接，又得到一个等边三角形，记为第
个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第
个正六边形（如图），按此方式依次操作，则第
个正六边形的边长是
．
如图，
是
的内接正三角形，四边形
是
的内接正方形，，则
．
已知
的半径为
，作
的内接正方形
．
（）正方形
的边长为
；
（）在图中，用一把圆规和一把无刻度的直尺画出正方形
的四个顶点，并简要说明四个顶点的位置是如何找到的（不要求证明）
．
三、解答题
如图，在
中，，，点
在边
上，且
，
平分
．
(1)
求
和
的度数．
(2)
以
为边，在
的左侧作正五边形
，求
的度数．
如图，已知正三角形
内接于
，
是
的内接正十二边形的一条边长，连接
，若
，求
的半径．
用圆规可以作出许多美丽的图案，传说拿破仑曾考他的大臣：只用圆规把圆四等分．有位大臣是这样回答的：
①将半径为
的
六等分，依次得到
，，，，，
六个分点；
②分别以点
，
为圆心，
长为半径画弧
是两弧的一个交点；
③
．
(1)
根据大臣的作法，
的长是多少．
(2)
请在图
中，只用圆规把圆四等分．（不写作法，保留作图痕迹）
答案
一、选择题
1.
【答案】B
【解析】由题意得，，
，
．
【知识点】正多边形与圆
2.
【答案】A
【解析】
是正五边形
的外接圆，
．
【知识点】正多边形与圆
3.
【答案】A
【解析】设点
第一次落在圆上时的对应点为
，连接
，，，如图，
五边形
为正五边形，
，
正五边形
绕点
逆时针旋转，点
第一次落在圆上
点，
，
，
，
都为等边三角形，
，
，
，
当点
第一次落在圆上时，则点
转过的度数为
．
【知识点】正多边形与圆、旋转及其性质
4.
【答案】B
【解析】
在圆内接正六边形
中，，
，
，
，，
，
，
连接
，，
交
于
，
则
，，
，
，
，
．
【知识点】解直角三角形、正多边形与圆、等腰三角形的判定
5.
【答案】A
【解析】设外圈大圆的半径为
，则外圈大圆的面积
，
图
所示是太极图，俗称“阴阳鱼”，该图案关于外圈大圆的圆心中心对称，
阴影部分的面积
大圆面积一半；
图
所示是一个正三角形的面积
；
图
所示是一个正方形的面积
；
图
所示是两个同心圆，其中小圆的半径是外圈大圆半径的三分之二，
小圆的面积
，
故选：A．
【知识点】正多边形与圆
6.
【答案】D
【知识点】正多边形与圆
二、填空题
7.
【答案】
【解析】设
的半径为
，
的内接正方形
，
如图，过
作
于
，连接
，，
即
为正方形
的边心距，
四边形
是正方形，
是正方形
的外接圆，
为正方形
的中心，
，
，，
，，
，
设
的内接正
，
如图，过
作
于
，连接
，
即
为正
的边心距，
正
是
的外接圆，
，
，
．
【知识点】正多边形与圆
8.
【答案】
【知识点】正多边形与圆
9.
【答案】
【解析】如图所示，连接
，，过点
作
于
．
六边形
是正六边形，
．
，
是等边三角形．
．
．
．
．
【知识点】正多边形与圆
10.
【答案】
【解析】如图，连接
，设
，
正六边形
，
，
为等腰三角形，
，，，
，
，
．
【知识点】正多边形与圆、勾股定理、30度所对的直角边等于斜边的一半
11.
【答案】
【解析】如图
，连接
，，．
六边形
是正六边形，
，，，，
，
，
，
在
和
中，
，
，
，
，
，
分别为
，
中点，
，
，
六边形
是正六边形，
是等边三角形，
，
，
同理
，
即
，
等边三角形
的边长是
，
第一个正六边形
的边长是
，即等边三角形
的边长的
．
如图
，过
作
于
，过
作
于
，
则
，
，
四边形
是平行四边形，
，
，（已证），
，
，
同理
，
，即第二个等边三角形的边长是
，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是
；
同理第第三个等边三角形的边长是
，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是
；
同理第四个等边三角形的边长是
，第四个正六边形的边长是
；
第五个等边三角形的边长是
，第五个正六边形的边长是
；
第
个正六边形的边长是
，
第七个正六边形的边长是
．
【知识点】正多边形与圆、平行四边形的判定、用代数式表示规律、斜边、直角边
12.
【答案】
【解析】连接
，，
是
的内接正三角形，
，
，
，，
，
，
四边形
是
的内接正方形，
，，
，
，
，
．
，
．
【知识点】弧、弦、圆心角的关系定理、正多边形与圆
13.
【答案】；如图所示：
作法：①以圆上任意一点
为圆心，以
为半径画圆，交
于
和
，
②以
为圆心，以
为半径画圆，与
交于
和
，与
交于另一点
，
③作直线
，交
于
，，顺次连接
，，，，四边形
即为所求.
【知识点】尺规作图原理、正多边形与圆
三、解答题
14.
【答案】
(1)
在
中，
，，
，
，
，
，
平分
，
，
，
综上可知，
的度数为
，
的度数为
．
(2)
五边形
是正五边形，
正五边形
的内角和为
，
，
，
即
的度数为
．
【知识点】三角形的内角和、多边形的内外角和、正多边形与圆
15.
【答案】连接
，，，如图所示：
等边
内接于
，
为内接正十二边形的一边，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
即
的半径为
．
【知识点】等腰直角三角形、正多边形与圆
16.
【答案】
(1)
由题意知：，，
，
，
故答案为：．
(2)
以
为圆心，
为半径作弧交
于点
，，即
，，，
为
的四分点．
【知识点】勾股定理、正多边形与圆
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