科学命题同步练习之24.4 弧长及扇形的面积（含解析）

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24.4弧长及扇形的面积
一、选择题
在半径为
的圆中，弧长等于
的弧所对的圆心角是
A．
B．
C．
D．
如果
的半径为
，扇形的面积为
，则扇形的圆心角度数是
A．
B．
C．
D．
如图，分别以等边三角形
的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若
，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为
A．
B．
C．
D．
如图，
是
的直径，，
是
（异于
，）上两点，
是
上一动点，
的平分线交
于点
，
的平分线交
于点
．当点
从点
运动到点
时，则
，
两点的运动路径长的比是
A．
B．
C．
D．
如图，有一圆
通过
的三个顶点．若
，，且
的长度为
，则
的长度为
A．
B．
C．
D．
如图，
是
的直径，，，，则阴影部分的面积为
A．
B．
C．
D．
二、填空题
如图，
是
的直径，点
在
上，连接
，，
的平分线
交
于点
，若
的半径是
，则
的长是
．
用半径为
，圆心角为
的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是
．
如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥底面圆的半径
，扇形的圆心角
，则该圆锥的母线长
为
．
用一个圆心角为
，半径为
的扇形围成一个圆锥侧面，则圆锥的高是
．
用圆心角为
，半径为
的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的底面圆的半径是
．
如图，
为
上一点，过点
的切线与直径
的延长线交于点
．若
，，则劣弧
的长为
．
三、解答题
如图，在
中，，以
为直径作
，分别交
，
于点
，．
(1)
求证：；
(2)
当
时，求
的度数；
(3)
过点
作
的切线，交
的延长线于点
，当
时，求图中阴影部分的面积．
如图，
内接于
，且
，
是
的直径，
与
交于点
，
在
的延长线上，且
．
(1)
试判断
与
的位置关系，并说明理由；
(2)
若
，，求阴影的面积．
如图，以
为直径的
经过
的中点
，
于点
．
(1)
求证：
是
的切线；
(2)
当
，
时，求图中阴影部分的面积．
答案
一、选择题
1.
【答案】C
【解析】设圆心角为
，，
，解得
．
【知识点】弧长的计算
2.
【答案】B
【解析】
，
解得
．
【知识点】扇形面积的计算
3.
【答案】D
【解析】莱洛三角形的面积实际上是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相加减去两个等边三角形的面积，即
．
由题意可得，．
如图，作
垂直
于
，
可知，
在
中，，
所以
，
所以
．
所以
．
【知识点】扇形面积的计算
4.
【答案】A
【解析】方法一：
如图，连接
．
设
．
是直径，
，
是
的内心，
，
，
，
，
，
易知点
在以
为圆心
为半径的圆上，运动轨迹是
，点
的运动轨迹是
，
，设
，则
，
．
方法二：
如图所示，连接
，，
点
是
的平分线与
的平分线的交点，
，．
，
，即
，
，
点
在以
为圆心，以
为半径的圆上．
又
是
的直径，
是
的平分线，
，
．
设
的半径为
，
，
点
的运动路径长是
．
点
是
上一动点，
点
的运动路径长是
，
，
两点的运动路径长的比是
．
【知识点】弧长的计算
5.
【答案】B
【知识点】弧长的计算
6.
【答案】A
【解析】连接
．
，
，
故
，即可得阴影部分的面积等于扇形
的面积，
又
，
，
，
，
，即阴影部分的面积为
．
【知识点】扇形面积的计算
二、填空题
7.
【答案】
【知识点】弧长的计算
8.
【答案】
【解析】设圆锥底面圆的半径为
，
则
，
解得：，
故圆锥的底面半径为
．
【知识点】圆锥的计算
9.
【答案】
【解析】根据题意，得
，解得
．
【知识点】圆锥的计算
10.
【答案】
【解析】设圆锥的底面圆的半径为
，
根据题意得
，
解得
．
所以圆锥的高为
．（）．
【知识点】圆锥的计算
11.
【答案】
【解析】．
【知识点】圆锥的计算
12.
【答案】
【知识点】弧长的计算、切线的性质
三、解答题
13.
【答案】
(1)
连接
．
为
的直径，
，
．
，
．
(2)
由（）得
，
，
．
(3)
连接
．
切
于点
，
．
，
，
【知识点】扇形面积的计算、圆周角定理推论、切线的性质、圆内接四边形的性质
14.
【答案】
(1)
与
的位置关系是相切．
证明：
和
都对弧
，
．
是直径，
．
．
．
，
．
，
．
，
．
，
．
，
是半径，
是
的切线．
(2)
连接
．
，
在
中，，．
由勾股定理得
．
在
中，，
，，．
在
中，，，由勾股定理得：．
，
．
．
【知识点】扇形面积的计算、切线的判定
15.
【答案】
(1)
连接
．
是
的直径，
是
的中点，
是
的中位线．
．
，
．
点
在圆上，
为
的切线．
(2)
，，，
．
，
．
，
，
，
，
阴影部分面积
．
【知识点】扇形面积的计算、切线的判定
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