2021-2022学年北师大版八年级数学上册 《第1章勾股定理》优生辅导专题训练（Word版含解析）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》选择压轴题专题训练（附答案）
1．已知直角三角形的面积为6cm2，两直角边的和为7cm，则它的斜边长为（　　）cm．
A．5
B．6
C．7
D．8
2．在直角坐标系中，点A（4，3）到原点的距离是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．7
3．如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且BC＝DE＝8，EF＝2AB＝2CD，AB＝3，则A、F两点间的距离是（　　）
A．16
B．20
C．20
D．24
4．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则下列结论错误的是（　　）
A．AB＝2
B．∠BAC＝90°
C．△ABC的面积为10
D．点A到直线BC的距离是2
5．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（　　）
A．17m
B．18m
C．25m
D．26m
6．在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，则下列式子成立的是（　　）
A．AC2+AB2＝BC2
B．AB2+BC2＝AC2
C．AC2﹣BC2＝AB2
D．AC2+BC2＝AB2
7．一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，则两船相距（　　）
A．10海里
B．20海里
C．30海里
D．40海里
8．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（　　）
A．a＝15，b＝8，c＝17
B．a＝9，b＝12，c＝15
C．a＝7，b＝24，c＝25
D．a＝3，b＝4，c＝7
9．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）
A．148
B．100
C．196
D．144
10．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（　　）
A．23
B．46
C．65
D．69
11．“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则图中阴影区域的面积与大正方形的面积之比为（　　）
A．
B．
C．
D．0.3
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E．若AC＝6，BC＝8，则AD的长为（　　）
A．5
B．7
C．6
D．
13．一个门框的尺寸如图所示，下列长×宽型号（单位：m）的长方形薄木板能从门框中通过的是（　　）
A．2.9×2.2
B．2.8×2.3
C．2.7×2.4
D．2.6×2.5
14．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8，则△ACH的面积是（　　）
A．2
B．4
C．6
D．9
15．如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动（　　）
A．15m
B．9m
C．7m
D．8m
16．如图，在△ABC中，BC＝16，点D是△ABC内的一点，BD平分∠ABC，且DB＝DC＝10，连接AD，∠ADB＝90°，则AD的长是（　　）
A．6
B．7
C．8
D．
17．已知△ABC的三边长分别为9，40，41，则△ABC的面积为（　　）
A．171
B．180
C．820
D．不能确定
18．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（　　）
A．一定不会
B．可能会
C．一定会
D．以上答案都不对
19．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（　　）km．
A．5
B．10
C．15
D．25
20．如图一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度x（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（　　）
A．12≤x≤13
B．12≤x≤15
C．5≤x≤12
D．5≤x≤13
21．如图，要使宽为2米的矩形平板车ABCD通过宽为2米的等宽的直角通道，则平板车的长最多为（　　）
A．2
B．2
C．4
D．4
22．如图，四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，DA＝13cm，且∠ABC＝90°，则四边形ABCD的面积为（　　）
A．6cm2
B．30cm2
C．24cm2
D．36cm2
23．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　）
A．1.2米
B．1.5米
C．2.0米
D．2.5米
24．如图所示的是一种“羊头”形图案，全部由正方形与等腰直角三角形构成，其作法是从正方形①开始，以它的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，再分别以正方形②和②的一条边为斜边，向外作等腰直角三角形，…，若正方形⑤的面积为2cm2，则正方形①的面积为（　　）
A．8cm2
B．16cm2
C．32cm2
D．64ccm2
25．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分图形的面积为3，则较小两个正方形重叠部分图形的面积为（　　）
A．2
B．3
C．5
D．6
参考答案
1．解：设一条直角边长为xcm，则另一条直角边为（7﹣x）cm，
根据题意得：x（7﹣x）＝6，
解得：x1＝3，x2＝4，
斜边的长为＝5（cm）；
方法二：设两直角边为x和y，则xy＝6，x+y＝7．
∴xy＝12，
∴（x+y）2＝49，
∴x2+y2+2xy＝49．
∴x2+y2＝49﹣2xy＝25．
∴斜边长＝5（cm）；
故选：A．
2．解：如图，
∵A（4，3），
∴OB＝4，AB＝3，
∴OA＝5．
∴点A（3，2）到原点的距离是5．
故选：C．
3．解：过F作FG⊥AB，交AB的延长线于G，
∵EF＝2AB＝2CD，AB＝3，
∴CD＝3，EF＝6，
根据题意，AG＝AB+CD+EF＝12，GF＝BC+DE＝16，
在Rt△AGF中，
AF＝20．
故选：B．
4．解：A、∵AB2＝22+42＝20，
∴AB＝2，本选项结论正确，不符合题意；
B、∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，本选项结论正确，不符合题意；
C、S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，本选项结论错误，符合题意；
D、设点A到直线BC的距离为h，
∵BC2＝32+42＝25，
∴BC＝5，
则×5×h＝5，
解得，h＝2，即点A到直线BC的距离是2，本选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
5．解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5＝17（米）．
故选：A．
6．解：在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC2+BC2＝AB2，故选项D正确，选项A、B、C错误，
故选：D．
7．解：如图所示：∠1＝∠2＝45°，AB＝12×1.5＝18（海里），AC＝16×1.5＝24（海里），
∴∠BAC＝∠1+∠2＝90°，即△ABC是直角三角形，
∴BC＝30（海里）．
故选：C．
8．解：A、82+152＝172，是勾股数，不符合题意；
B、92+122＝152，是勾股数，不符合题意；
C、72+242＝252，是勾股数，不符合题意；
D、32+42≠72，不是勾股数，符合题意．
故选：D．
9．解：设将CA延长到点D，连接BD，
根据题意，得CD＝12×2＝24，BC＝7，
∵∠BCD＝90°，
∴BC2+CD2＝BD2，即72+242＝BD2，
∴BD＝25，
∴AD+BD＝12+25＝37，
∴这个风车的外围周长是37×4＝148．
故选：A．
10．解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2，
∴MC2﹣MB2
＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）
＝AC2﹣AB2
＝132﹣102
＝69．
故选：D．
11．解：直角三角形的两条直角边的长分别是2和1，则小正方形的边长为1，根据勾股定理得大正方形的边长的平方为5，
∴，
故选：C．
12．解：∵线段AB的垂直平分线交BC于点D，
∴BD＝AD，
设AD＝x，则CD＝8﹣x，
∵AD2＝CD2+AC2，
∴x2＝（8﹣x）2+62，
解得x＝．
故选：D．
13．解：薄木板不能从门框内通过．理由如下：
连接AC，则AC与AB、BC构成直角三角形，
根据勾股定理得AC≈2.236＞2.2．
∴只有2.9×2.2薄木板能从门框内通过，
故选：A．
14．解：在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∵△PAB中AB边上的高等于AB的长度，△QBC中BC边上的高等于BC的长度，△HAC中AC边上的高等于AC的长度，且△PAB，△QBC的面积分别是10和8，
∴△ACH的面积是10﹣8＝2．
故选：A．
16．解：如图，延长AD交BC于点E，过点D作DF⊥BC交BC于点F，
∵∠BAD＝∠BDE＝90°，BD＝BD，∠ABD＝∠EBD，
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AB＝BE，
∵DF⊥BC，BD＝CD，
∴BF＝FC＝BC，
∴BF＝8，
又BD＝10，
∴DE＝6，
∵∠BDE＝∠BFD＝90°，∠DBE＝∠FBD，
∴AB＝，
∴AD＝，
故选：D．
17．解：∵△ABC的三边长分别为9，40，41，
∴92+402＝412，
∴△ABC是直角三角形，两直角边是9，40，
∴△ABC的面积为：×9×40＝180，
故选：B．
18．解：
因为房屋是有高度的（并且题中未说明房屋到底多高），大树倒下部分，以AB为半径，绕点A做圆弧形的运动，AB＝10，10大于9，当房屋超过一定高度的时候，就一定会被砸到，故A、B、C都是错误的．
故选：D．
19．解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，
由勾股定理得：
在Rt△ADE中，
DE2＝AD2+AE2＝102+x2，
在Rt△BCE中，
CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，
由题意可知：DE＝CE，
所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，
解得：x＝15（km），
所以，AE＝15km，
故选：C．
20．解：如图，
当吸管底部在O点时吸管在罐内部分x最短，
此时x就是圆柱形的高，
即x＝12；
当吸管底部在A点时吸管在罐内部分x最长，
即线段AB的长，
在Rt△ABO中，AB＝13，
∴此时x＝13，
所以12≤x≤13．
故选：A．
21．解：设平板手推车的长度为x米，
当x为最大值，且此时平板手推车所形成的△CBP为等腰直角三角形．
连接PO，与BC交于点N．
∵直角通道的宽为2m，
∴PO＝4m，
∴NP＝PO﹣ON＝4﹣2＝2（m）．
又∵△CBP为等腰直角三角形，
∴AD＝BC＝2CN＝2NP＝4（m）．
故选：C．
22．解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，
∴AC＝5cm，
∵CD＝12cm，DA＝13cm，
AC2+CD2＝52+122＝169＝132＝DA2，
∴△ADC为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ACD﹣S△ABC
＝AC×CD﹣AB×BC
＝×5×12﹣×4×3
＝30﹣6
＝24（cm2）．
故四边形ABCD的面积为24cm2．
故选：C．
23．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，
∴AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．
在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝1.5（米）
故选：B．
24．解：第一个正方形的面积是S；
第二个正方形的面积是；
第三个正方形的面积是；
…
第n个正方形的面积是，
∵正方形⑤的面积是2，
∴正方形①的面积32．
故选：C．
25．解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，
由勾股定理得，c2＝a2+b2，
阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c）＝3，
较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，
则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c）＝3，
故选：B．