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第一章
集合与常用逻辑用语
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列关系：①；②；③；④中，正确的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．已知命题p：，那么命题p的否定为（
）
A．
B．
C．
D．
3．若集合，则的子集个数为（
）
A．3
B．4
C．7
D．8
4．若命题，命题且，则是的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．设全集与集合的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（
）
A．
B．
C．
D．
6．“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知命题p：?x∈{x|1)
A．a<1
B．a>3
C．a≤3
D．a≥3
8．集合或，，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知全集，集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．的真子集个数是7
10．已知集合，且，则实数的可能值为（
）
A．
B．
C．
D．
11．下列命题的否定中，是全称命题且是真命题的是（
）
A．
B．所有正方形都是矩形
C．
D．至少有一个实数x，使
12．下列说法正确的是（
）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“且”是“一元二次不等式的解集是R”的充要条件
C．“”是“”的必要不充分条件
D．已知a，，则的充要条件是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．“或”是“”成立的_____________条件.
14．已知集合，，若，则实数的取值范围是____________．
15．四个命题：①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x0∈Q，；③?x0∈R，；④?x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
16．已知，，定义集合A、B之间的运算“
”：则集合中最大的元素是________；集合的所有子集的个数为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设，集合，，且，求实数x，y
的值
18．（12分）已知集合.
（1）若A是空集，求的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围.
19．（12分）设命题，命题，若是的必要条件，但不是的充分条件，求实数的取值组成的集合.
20．（12分）已知集合，且．
（1）若，求m，a的值．
（2）若，求实数a组成的集合．
21．（12分）已知；.
（1）若，则是的什么条件？
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围.
22．（12分）已知命题p：关于x的方程x2－(3m－2)x＋2m2－m－3＝0有两个大于1的实数根．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）命题q：3－a21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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第一章
集合与常用逻辑用语
（考试时间：120分钟
试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．下列关系：①；②；③；④中，正确的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【分析】
根据元素与集合的关系逐项进行判断即可.
【详解】
①因为是自然数，所以，故正确；
②因为不是整数，所以，故错误；
③因为是整数，所以，故错误；
④因为是无理数，所以，故正确；
故选：C.
2．已知命题p：，那么命题p的否定为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据全称命题的否定可直接写出结果.
【详解】
根据全称命题的否定可知命题p：，那么命题p的否定为，
故选：D
3．若集合，则的子集个数为（
）
A．3
B．4
C．7
D．8
【答案】D
【分析】
先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.
【详解】
解：，则的子集个数为个，
故选：D.
4．若命题，命题且，则是的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
由不等式的性质及充分、必要条件的定义即可得答案．
【详解】
解：由，不能推出且，如，；
反之，由且，根据不等式的性质能推出．
即，但，所以是的充分不必要条件，
故选：A．
5．设全集与集合的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据图，得到集合关系为．
【详解】
解：由图，元素属于但不属于，
即阴影部分对应的集合为，
故选：D．
6．“”是“”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】
特殊值法代入，举反例，再根据定义判断两命题的充分必要性.
【详解】
若，则不妨取，，此时；若，则不妨取，，此时．故“”是“”的既不充分也不必要条件．
7．已知命题p：?x∈{x|1)
A．a<1
B．a>3
C．a≤3
D．a≥3
【答案】D
【分析】
由命题非p真，则p假而得解.
【详解】
非p是真命题，所以p是假命题；
所以?x∈{x|1所以当1故选：D
8．集合或，，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
分与两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可；
【详解】
解：∵，∴，
∴①当时，即无解，此时，满足题意.
②当时，即有解，当时，可得，
要使，则需要，解得.
当时，可得，要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知全集，集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．的真子集个数是7
【答案】ACD
【分析】
求出集合，再由集合的基本运算以及真子集的概念即可求解.
【详解】
，，
，故A正确；
，故B错误；
，所以，故C正确；
由，则的真子集个数是，故D正确.
故选：ACD.
10．已知集合，且，则实数的可能值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】
由已知条件可得出关于实数的等式，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值.
【详解】
已知集合且，则或，
解得或或.
若，则，合乎题意；
若，则，合乎题意；
若，则，合乎题意.
综上所述，或或.
故选：ABD.
11．下列命题的否定中，是全称命题且是真命题的是（
）
A．
B．所有正方形都是矩形
C．
D．至少有一个实数x，使
【答案】AC
【分析】
命题的否定是全称命题且是真命题，原命题是特称命题，且是假命题．由此判断各选项即得．
【详解】
由题意可知：原命题为特称命题且为假命题.
选项A.
原命题为特称命题，，所以原命题为假命题，所以选项A满足条件.
选项B.
原命题是全称命题，所以选项B不满足条件.
选项C.
原命题为特称命题，在方程中，所以方程无实数根，所以原命题为假命题，所以选项C满足条件.
选项D.
当时，命题成立.
所以原命题为真命题，所以选项D不满足条件.
故选：AC
【点睛】
方法点睛：原命题与命题的否定中一个是特称命题，另一个必是全称命题，反之变成立，而命题的否定与原命题的真假是相反的．但要注意原命题与原命题的否命题的真假可能相同也可能相反．要注意区别．
12．下列说法正确的是（
）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“且”是“一元二次不等式的解集是R”的充要条件
C．“”是“”的必要不充分条件
D．已知a，，则的充要条件是
【答案】BC
【分析】
根据绝对值的性质及充要条件的定义，可判断CD；根据一元二次不等式解法及充要条件的定义，可判断B；根据“”
“且”，及充要条件的定义，可判断A．
【详解】
解：对于A，“”
“且”，故“”是“”的必要不充分条件故A错误．
对于B，“，且”是“一元二次不等式的解集是”的充要条件，故B正确；
对于C，“”
“”，故“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
对于D，已知、，则“”的充要条件是，故D错误；
故选：BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．“或”是“”成立的_____________条件.
【答案】必要不充分
【分析】
利用逆否命题的等价性，转化后，判断充分，要条件.
【详解】
，不能推出且，反过来，且能推出，所以是且的必要不充分条件，利用逆否关系的等价性可知或是的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
【点睛】
关键点点睛：本题的关键是利用逆否命题的等价性，判断充分，必要条件，即“或”是“”成立的条件，就是是且成立的条件.
14．已知集合，，若，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【分析】
分情况讨论：当或，根据集合的包含关系即可求解.
【详解】
当时，有，则；
当时，若，如图，
则解得．
综上，的取值范围为．
故答案为：
15．四个命题：①?x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②?x0∈Q，；③?x0∈R，；④?x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．
【答案】1
【分析】
分别对给出的四个命题进行判断后可得结论．
【详解】
对于①，因为当时，，所以命题①是假命题．
对于②，由得，是无理数，所以命题②是假命题．
对于③，由于对任意的实数满足都成立，所以命题③是真命题．
对于④，由原不等式得，所以命题④为假命题．
综上可得命题③为真命题．
故答案为1
【点睛】
本题考查命题真假的判定，常用的方法是进行推理判断和举反例的方法，考查对基础知识的理解和掌握，属于容易题．
16．已知，，定义集合A、B之间的运算“
”：则集合中最大的元素是________；集合的所有子集的个数为________．
【答案】5
16
【分析】
列出所有情况，求出.
【详解】
如图：
1
1
2
2
3
3
1
2
1
2
1
2
2
3
3
4
4
5
所以，集合中最大的元素是5，集合的所有子集的个数为.
【点睛】
本题考查集合的运算.此类问题借助表格更加直观有序，不易遗漏.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）设，集合，，且，求实数x，y
的值
【答案】或
【分析】
根据两个集合相等，则其元素全部相同，可得，从而得出答案.
【详解】
由得
:
解得
或
18．（12分）已知集合.
（1）若A是空集，求的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围
【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）.
【分析】
（1）方程ax2﹣3x+2＝0无解，则，根据判别式即可求解；
（2）分a＝0和a≠0讨论即可；
（3）综合（1）（2）即可得出结论.
【详解】
（1）若A是空集，则方程ax2﹣3x+2＝0无解此时
＝9-8a＜0即a
所以的取值范围为.
（2）若A中只有一个元素
则方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一个实根
当a＝0时方程为一元一次方程，满足条件
当a≠0，此时＝9﹣8a＝0，解得：a
∴a＝0或a
当时，；当时，
（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素
由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是.
19．（12分）设命题，命题，若是的必要条件，但不是的充分条件，求实数的取值组成的集合.
【答案】．
【分析】
由是的必要不充分条件得出集合A与B的包含关系而得解.
【详解】
由得或，∴，
由是的必要条件，但不是的充分条件得且，从而有BA，
∴或或，
当时，，∴；
当时，，无解；
当时，，无解；
综上：实数a的取值组成的集合为．
20．（12分）已知集合，且．
（1）若，求m，a的值．
（2）若，求实数a组成的集合．
【答案】（1），；）（2）
【分析】
（1）依题意可得，，即可求出，从而求出集合，则，即可求出；
（2）首先求出集合，依题意可得，对集合分类讨论，即可求出参数的取值；
【详解】
解：（1）因为，且．，所以，，所以解得，所以，所以，所以，解得
（2）若，所以，因为，所以
当，则；
当，则；
当，则；
综上可得
21．（12分）已知；.
（1）若，则是的什么条件？
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）p是q的必要不充分条件；（2）.
【分析】
（1）先求出命题，显然{x|0≤x≤2}?{x|－2≤x≤10}，即可得出结论.
（2）利用p是q的充分不必要条件，代入求解不等式组即可.
【详解】
（1）因为，
当时，q：，
显然，
且命题不等于命题q，
所以p是q的必要不充分条件．
（2）由（1），知p：，
因为p是q：的充分不必要条件，
所以，且两处不能同时取等号，解得，
即．
22．（12分）已知命题p：关于x的方程x2－(3m－2)x＋2m2－m－3＝0有两个大于1的实数根．
（1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（2）命题q：3－a【答案】（1）m>2；（2）存在a≤1.
【分析】
（1）求出两个根x＝m＋1或x＝2m－3，满足m＋1>1且2m－3>1即可求出；
（2）设集合A＝，集合B＝，由题可得BA，讨论B＝?和B≠?两种情况可求出.
【详解】
（1）由x2－(3m－2)x＋2m2－m－3＝0得[x－(m＋1)][x－(2m－3)]＝0，
所以x＝m＋1或x＝2m－3，
因为命题p为真命题，所以m＋1>1且2m－3>1，得m>2．
（2）设集合A＝，集合B＝，
因为p是q的必要不充分条件，所以BA，
当B＝时，，解得a≤0；
当B≠时，解得．
综上所述：存在a≤1，满足条件．
【点睛】
结论点睛：本题考查根据必要不充分条件求参数，一般可根据如下规则判断：
（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；
（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；
（4）若是的既不充分又不必要条件，则对应的集合与对应集合互不包含．
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