3.3.2指数函数的图像和性质（第二课时） 课件（共31张PPT）——2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

3.3.2指数函数的图像和性质
第二课时
教学目标
本课时专讲含指数函数的奇偶性
含指数函数的奇偶性判证
重点
难点
含指数函数奇偶性的简单应用．
环节一
判断和证明
方法回顾
1.判断时，主要用图像和性质
2.证明时，主要用定义
例1.已知f（x)＝????????????2，则下列正确的是(　　)
A．奇函数，在R上为增函数
B．偶函数，在R上为增函数
C．奇函数，在R上为减函数
D．偶函数，在R上为减函数
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分析：图像是没法画的，所以无法通过图像的对称性判断奇偶性；拆开看，????????=????????????????????=?????????????????，????????、????????均非奇非偶，所以无法用性质判断奇偶性；只能用定义了。
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例1.已知f（x)＝????????????2，则下列正确的是(　　)
A．奇函数，在R上为增函数
B．偶函数，在R上为增函数
C．奇函数，在R上为减函数
D．偶函数，在R上为减函数
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解：定义域是R，且?????????=????????????????=?????????,所以，函数是奇函数。由y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数知，f（x)是增函数.选A.
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例2.判断并证明函数????????=???????????????+????的奇偶性
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解析：只能用定义判断与证明.
定义域是R，关于原点对称
?????????=?????????????????+????=???????????????????????+????=??????????????+?????=?????????
所以函数是奇函数
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1.若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域为R，则(　　)
A．f(x)与g(x)均为偶函数
B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数
D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
微练
解析：f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，f(x)为偶函数，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，g(x)为奇函数．
2.已知函数f(x)=?????????1????????+1(a>0,且a≠1).
讨论f(x)的奇偶性;
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因为f(x)的定义域为R,
且f(-x)=??????????1?????????+1=1?????????1+????????=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
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例3.????????=????????,????≥?????????????,?????
分析：分段函数，适合作出图像，根据对称性判断，当然，定义法也是可以的
法一：如图，知函数是偶函数
法二：首先函数的定义域是R
，当????>????时，????????=?????????,?????????,?????????=????????,?????????=????????.所以，函数是偶函数。
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微练
已知分段函数????????=?????????????????,????>???????????????????????,?????
提示：按????>????，?????
环节二
奇偶性求值
例4.设????????为定义在上R奇函数,当????>????时，????????=?????????????，则?????????值
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分析1：可以先求????????，再求?????????
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解：????=????，+????=?????????????=????，由于????(????)为定义在上????奇函数，所以，?????????=?????????=?????
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分析2：可以先求?????
解：????????,?????????=??????????????=?????????,所以，????(????)?=??????????????。?????????=?????????????=?????.
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环节三
奇偶性求解析式
例5.已知定义为R的函数????????是奇函数，当????>????时，????????=?????????????????，求????????解析式
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解析：①????=????，函数是奇函数，所以????????=????;
②????????,?????????=???????????????????=?????????,所以，????????=????????+?????????
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综上可知，????????=?????????????????，????>????????，????=????????????+?????????,?????
易错点：
1.忽略x=0；
2.结果不写成分段函数形式。
已知????????为定义?????,????上奇函数，当????∈?????,????时，解析式为????????=?????????????????????????，求????????在????,????上的解析式
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解析：不用单独考查????=0，设????∈0,1，??????????1，0，?????????=14??????12?????=?????????，????????=12??????14?????=2?????4????.
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微练
例6.已知R上偶函数f(x)和奇函数g(x),?????????????????=????????,求它们的解析式。
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分析：条件中的函数关系式是由两个函数共同构成，需要借助性质再添加一个关系式，联立解出解析式。在以前的题型中，这种求解析式的方法叫解方程组法
解： f(????)?????(????)=4????
???????????????????=?????????，由性质知，????????+????????=?????????。两式相加减得，????????=????????+?????????????，????????=??????????????????????
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环节四
奇偶性求参
例7.已知定义域为R的函数f(x)＝?2????+????2????+1+????是奇函数．求a，b的值；
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解：f(x)为奇函数且在x＝0处有意义，
∴f(0)＝0，即?????12+????＝0，∴b＝1，
∴f(x)＝1?2????2????+1+????.又∵f(－1)＝－f(1)，
∴121+????=??14+????，∴a＝2.
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特色是，两次对奇函数用了特殊值。一般最常用的是f(0)＝0
微练
1.已知函数????????=?????????????????+????，是否存在实数a，使函数为奇函数？
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提示：定义域是R，在x=0处有意义，f(0)=0,得a=1.
2.已知函数????????=?????????????????+????????????????+????，（????>????,????≠????）是定义在R上奇函数，求a
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提示：由f(0)=0得，a=3
例8.已知定义在R上奇函数????????=???????????????????????????????????（????>????,????≠????），求a
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解：由????????+?????????=????得???????????????????????????????????+???????????????????????????????????=????，即????????????+??????????????????+?????????=????，所以????=????.
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本方法的亮点是用定义求参，前面几道题侧重于用特值求参。
例9.已知分段函数????????=?????????????????，????>?????????????+????,?????
解：从特殊值法，偶函数没有f(0)=0,可以换成f(-1)=f(1),即????????=?????????=?????????=?????????，????=????
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从定义法，????>????，????????=?????????????????，??????
环节五
伪奇函数求值
例10.????????=????????+????????????????????+1，在?????????????????,????∪????,?????????????????上最大值M,最小值m，则求M+m
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解：先函数分拆开看，????????=????????+?????????+????????+????，????????=????????+?????????+????,证明过是偶函数，????????=????????????是奇函数，????????= ????????+1.
M=????????????????????+????，????=????????????????????+????,M+m=0+2=2
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所谓伪奇函数，是指一个函数是一个奇函数与一个常函数和或差的形式。核心知识是奇函数。
环节六
奇偶性与单调性结合
这种问题在本节课不是研究方向，专题研究的内容，放在下一个课时。敬请关注。
例11.已知函数f(x)＝a－?????12????+1(x∈R)．
(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；
(2)若f(x)为奇函数，求a的值；
(3)在(2)的条件下，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．
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解：(1)证明：f(x)的定义域为R，
设x1，x2是R上的任意两个不相等的实数，且x1?????????????????????????=?????????????????????????????????????+????????????????+????
因为????????所以不管a为何值，在R上为增函数
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(????)奇函数????????=????，????=????????.
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(????) 由(2)知，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．∵f(1)＝12－13＝16，∴f(x)在区间[1,5]上的最小值为16.
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课堂小结
1．核心要点
含指数函数的奇偶性判证与求式求值求参等方面的应用
2．数学素养
体会数学抽象的过程,强化直观想象素养的培养.
谢谢观看
课件制作老师：胡琪