3.3.2指数函数的图象和性质（第三 课时） 课件（共38张PPT）——2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

3.3.2指数函数的图像和性质
第三课时
教学目标
1.含指数函数单调性的判断方法，引入【复合函数单调性判断方法】
2.含指数函数单调性的应用：比较大小、解不等式、求值域等.
含指数函数的单调性的应用
重点
难点
复合函数单调性判断方法
环节一
单调性判断和证明
例1.设函数f(x)定义在实数集上，f(1＋x)＝f(1－x)，且当x≥1时，f(x)＝2x，判断函数????????增减性，并求出????????增减区间。
?
图像法
分析： f(1＋x)＝f(1－x)说明函数????????图像关于直线x=1对称。可以画出对称轴两边的图像，判断单调性，写出单调区间。
?
x
y
0
X=1
2
该函数在????,+∞上单调增，在?
已知函数f(x)＝2|x－1|，则f(x)的单调递增区间是
分析：先画????=????????
?
x
0
y
再画????=????|????|
?
1
x
0
y
1
再将????=????|????|向右平移
?
x
0
y
X=1
增区间是????,+∞
?
微练
定义法
例2.已知函数f(x)＝?????12????+1(x∈R)．
用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；
?
解：(1)证明：f(x)的定义域为R，
设x1，x2是R上的任意两个不相等的实数，且x1?????????????????????????=?????????????????????????????????????+
提示
用定义判证含指数函数单调性时，在比较大小阶段，要处理好指数函数的单调性，比如????????????,????????????大小关系，????????????????，????????????????大小关系。
?
性质法
法则一
增+增=增；增-减=增；减+减=减；减-增=减；增与正（负）数之积商得增（减）；减与正（负）数之积商得减（增）；恒正或恒负，增的倒数是减，减的倒数是增。
例3.判断下列函数的单调性
（1）????????=????????????????；（2）????????=?????????????????+
性质法
例4.函数y=?????????????????????????+????的单调递增区间是　　　　　.
?
解析:(1)令t=x2-2x+3,则由一元二次函数的性质可知该函数在(-∞,1]上单调递减,且y=????????????为减函数,故函数y=?????????????????????????+????的单调递增区间为(-∞,1].
?
指数型复合函数的单调性的求解步骤:
(1)求定义域:依据题意明确研究范围.
(2)拆分:把原函数拆分成几个基本函数.
(3)定性质:分层逐一求单调性.
(4)下结论:根据复合函数的单调性法则即“同增异减”,得出原函数的单调性.
性质法
法则二
例5.判断y=?????????????????????的单调性
?
解:令u=x2-2x,则原函数变为y=3u.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1在区间(-∞,1]上单调递减,
在区间[1,+∞)上单调递增,
又∵y=3u在(-∞,+∞)上为增函数,
∴y=?????????????????????在区间(-∞,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增.
?
函数y=?????????????????的单调递增区间为(　　)
A.(-∞,+∞) B.(0,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,1)
?
微练
分析：上面两例题侧重于指数与二次函数复合，此题是指数与一次函数复合，方法一样：【同增异减】
解析:函数的定义域为R.设u=1-x,y=????????????,
∵u=1-x在R上为减函数,y=????????????在R上为减函数,
∴y=?????????????????在R上是增函数.
?
经验一
复合函数单调性使用性质法则时
1.先求定义域。这一点学生经常忘；
2.同增异减，内外搭配
环节二
单调性求参
例6.若函数f(x)＝????????，????≥13?????2????+1,????<1是R上的增函数，则实数a的取值范围为
?
解析：为了保证在R上增，两增且后段不低于前段.
????>????，?????????????>????，????≥
环节三
单调性求最值
例7.函数y=ax(a>0,且a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差为5,则a=　　　　　.?
解析:当a>1时,有a1-a0=5,即a=6;
当0综上知,a=6.
答案:6
例8.已知函数 y=?????????????????????????, 求其值域.
?
提示：先利用【同增异减】判断其单调性，然后，利用单调性求值域
解:令u=x2-2x,则原函数变为y=????????u.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1在区间(-∞,1]上单调递减,
在区间[1,+∞)上单调递增,又∵ y=????????u在(-∞,+∞)上为减函数,
∴ y=?????????????????????????在区间(-∞,1]上单调递增,在区间[1,+∞)上单调递减.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,∴ ????????u ≤2,∴原函数的值域为?∞,
求函数y＝12????2?2????+2(0≤x≤3)的值域
?
微练
提示：为了减化复合函数求值域过程，可以用换元法，把内层函数的值域求出，再根据【内增异减】原则，处理好添加底数后，值域的情况。
[解]　令t＝x2－2x＋2，则y＝12????，又t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，0≤x≤3，∴当x＝1时，tmin＝1；当x＝3时，tmax＝5.故1≤t≤5，∴132≤y≤15，故所求函数的值域为132,15．
?
例9.函数f（x)＝12????－3x在区间[－1，1]上的最大值为________
?
解： 12????↘， 3????↗，????（????)↘,最大值是????
环节四
单调性比大小
例10.下列正确的是（ ）
????
例11.若3m＋2－n≥3n＋2－m则(　　)
A．m＋n≥0 B．m＋n≤0
C．m－n≥0 D．m－n≤0
解：3m＋2－n≥3n＋2－m?3m－2－m≥3n－2－n.
又f（x)＝3x－2－x是增函数，f(m)≥f(n)，
则m≥n，即m－n≥0
经验二
上述两个比较大小题共性特点
1.构造同名函数；
2.判断单调性；
3.比大小
环节五
单调性解不等式
例12(1)解不等式?????????????????????≤2;
(2)若a-3x>ax+4(a>1),求实数x的取值范围.
?
角度一 代数不等式
分析:先化为同底数的幂→根据指数函数的单调性建立不等式求解→结果要写成集合或区间的形式
解:(1)∵2=?????????????,∴原不等式可以转化为?????????????????????≤?????????????.
∵y=????????????在R上是减函数,∴3x-1≥-1,得x≥0.
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
?
例12(1)解不等式?????????????????????≤2;
(2)若a-3x>ax+4(a>1),求实数x的取值范围.
?
角度一 代数不等式
分析:先化为同底数的幂→根据指数函数的单调性建立不等式求解→结果要写成集合或区间的形式
(2)∵f(x)=ax(a>1)是R上的增函数,且a-3x>ax+4,
∴-3x>x+4,得x<-1,
故实数x的取值范围是{x|x<-1}.
1.若把本例(2)中的“a>1”换为“0微练
解:因为0又a-3x>ax+4,所以-3x-1,
故实数x的取值范围是{x|x>-1}.
2. 若把本例(2)中的“a>1”换为“a>0,且a≠1”,其他条件不变,求实数x的取值范围.
微练
解:当a>1时,原不等式?-3x>x+4?x<-1,
当0-1,
故当a>1时,实数x的取值范围是{x|x<-1},
当0-1}.
例13.解关于x的不等式?????????????????????>?????????????+????(a>0,且a≠1).
?
错解 ∵a>0,∴由?????????????????????>?????????????+????,得
x2-3x>-x2+2,即2x2-3x-2>0,解得x>2,或x<-????????.
?
错因本题有两处错误,一是a>0,不能保证f(x)=ax在R上是增函数;二是不等式的解集没有写成集合的形式.
正解:设f(x)=ax(a>0,且a≠1).
当a>1时,f(x)在R上是增函数,由?????????????????????>?????????????+????,得x2-3x>-x2+2,
即2x2-3x-2>0,解得x>2,或x<-????????.
当0?????????????+????,得x2-3x<-x2+2,
即2x2-3x-2<0,
解得-???????? 综上,当a>1时,不等式的解集为????????????;
当0?
经验三
解不等式af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1)的依据是指数型函数的单调性,要养成判断底数取值范围的习惯,若底数不确定,就需进行分类讨论,即af(x)>ag(x)?????(????)>????(????),????>????,????(????)?
角度二 函数不等式
例14.已知定义域为R的函数f(x)＝1?2????2????+1+2．
(1)判断奇偶性和单调性；
(2)若对于任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
?
奇偶性
奇（略）
增减性
R上为减函数（略）
∵f(x)为奇函数，
∴f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0，
即f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k).
又∵f(x)在R上为减函数，
∴t2－2t>－2t2＋k，即对一切t∈R，有3t2－2t－k>0，
∴Δ<0，即4＋12k<0，
∴k<－13.
故k的取值范围是?∞,?13.
?
经验四
解不等式f????1.不符合上面标准形式，要化为标准形式；
2.研究清楚函数的单调性（在哪个区间增，在哪个区间减，不能笼统地说增与减）
3.运用单调性脱f，化成代数不等式。
?
课堂小结
1．核心要点
1.单调性的判断三种方法归纳
2.单调性应用
2．数学素养
体会数学抽象的过程,强化直观想象素养的培养.
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