人教版八上高分笔记之导与练 12.1 全等三角形（原卷+答案）

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全等三角形
12.1全等三角形
知识要点：
能够
?的两个图形叫做全等形.
2．能够?
?的两个三角形叫做全等三角形，“全等”用符号“_
_?”表示，读作“?
?“
3．全等三角形的对应边?
?，对应角?
4．经过?
、
、
等变换前后的两个三角形全等.
易错点睛：
如图，ΔABC≌△ACD，下列结论：①AB与AD是对应边；②AC与CA是对应边；③∠DAC与∠BAC是对应角；④∠ACD与∠CAB是对应角.其中结论正确的序号有?
?
【点睛】??没抓住二符号确定对应边与对应角而出错。
典例讲解：
题型一
利用全等三角形的性质进行有关线段的计算或证明
?如图，A，D，E三点在一条直线上，且ΔBAD≌ΔACE.求证：BD＝CE+DE.?
变式练习：
「教材P33习题12.1T4变式题］如图，ΔACE≌ΔDBF，AC＝6，BC＝4．求AD的长．
2、如图，ΔACF≌ΔDBE，AD＝11，BC＝7．（1）求证：AB＝CD；（2）求AB的长．
题型二
利用全等三角形的性质进行有关角的计算或证明
如图，ΔABC≌ΔADE，且∠CAD＝10°，∠B=∠D=25°,∠EAB=120°．求∠DFB和∠DGB的度数.
变式1、如图，在ΔABC中∠A＝30°，∠ABC＝50°．若ΔEDC≌ΔABC，且点A，C，D在一条直线上，则∠BCE的度数为（
?)
A.20°
B.30°
C.40°
D.50°
1题
2题
3题
如图，ΔABC≌ΔDEF，DF／／BC，且∠B＝60°，∠F＝40°，点A在边DE上，则∠BAD的度数为??
°
3、如图，ΔABC≌ΔADE，且点D在BC上.求证：∠BAD＝∠EDC.
题型三
利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系
如图，ΔACE≌ΔDBF，点A，B，C，D在一条直线上.AE与DF平行吗？EC与BF呢？请说明理由.
解题策略:证明两直线平行，常通过同位角相等、内错角相等、同旁内角互补或平行于同一线的两直线平行证得.具体采用哪种方法要根据已知条件进行灵活选取.
如图，点A，B，C在一条直线上，点E在BD上，且ΔABD≌ΔEBC.
（1）判断AC与BD的位置关系，并说明理由；
（2）判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由.
解题策略：证明两直线垂直可转化为证明它们的夹角为90°．当题目中没有给出任何角的度数时，常常借助两个等角的和是180°来证明．
变式练习：
如图，点A，B，C，D在一条直线上，点E，F是直线AD上方的点，连接AE，CE，BF，DF，若ΔACE≌ΔFDB，FD＝3，AD＝8．
（1）直线CE与DF是否平行？说明理由；
（2）求CD的长；
（3）若∠E＝26°，∠F＝53°，求∠ACE的度数．
2、如图，E为AB上一点，AC⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，ΔACE≌ΔBED．
（1）试猜想线段CE与DE的位置关系，并证明你的结论；
（2）求证：AB＝AC＋BD．
3、如图，已知AE⊥AB，ΔACE≌ΔAFB，CE分别与AB，BF交于点D，M.线段CE与FB有什么关系？请证明你的结论.
基础练习：
如图，若ΔABC≌ΔADE，则下列结论中一定成立的是（?
)
AC=DE
B.AB=AE
C.∠BAD=∠CAE
D.∠ABC=∠AED
2、如图，已知ΔABC≌ΔDCB，AB＝10，∠A＝60°，∠ABC＝80°，那么下列结论错误的是（?
)
A.∠D=60°
B.∠DBC=40°
C.BE=10
D.AC=DB
1题
2题
3题
3、如图中的两个三角形全等，图中的字母a，b，c表示三角形的边长，则∠1的度数为??
4、如图，已知ΔACE≌ΔDBF，CE＝BF，AD＝9，BC＝1．
（1）求证：CE//BF；
（2）求AC的长度．
5、如图，ΔABC≌ΔADE，分别延长BC，ED交于点F．
（1）求证：∠ACF＋∠E＝180°；
（2）若∠BAC＝55°，∠CAD＝60°，求∠F的度数．
综合题探究
6、如图，在ΔABC中，∠C＝90°，∠A≠∠B，AB＝10，AC＝8，BC＝6，D是AB的中点，E是BC的中点，∠DEB＝90°，DE＝4．动点P以每秒2个单位长度的速度，从点A出发沿AC边向点C运动，同时动点Q以每秒a个单位长度的速度也从点B出发，沿BA边向点A运动，若ΔAPQ与ΔDEB全等，直接写出a的值.
答案：
知识要点：
1.能够
完全重合?的两个图形叫做全等形.
2．能够?完全重合?的两个三角形叫做全等三角形，“全等”用符号“_≌_?”表示，读作“?全等于??“
3．全等三角形的对应边?相等?，对应角?相等
4．经过?平移?、翻折、旋转
等变换前后的两个三角形全等.
易错点睛：
如图，ΔABC≌△ACD，下列结论：①AB与AD是对应边；②AC与CA是对应
边；③∠DAC与∠BAC是对应角；④∠ACD与∠CAB是对应角.其中结论正确的序号有??②④
【点睛】??没抓住二符号确定对应边与对应角而出错。
典例讲解：
题型一
利用全等三角形的性质进行有关线段的计算或证明
?如图，A，D，E三点在一条直线上，且ΔBAD≌ΔACE.求证：BD＝CE+DE.?
证明：∵ΔBAD≌ΔACE，∴BD＝AE，AD＝CE.
∵AE=AD+DE,∴BD=AD+DE=CE+DE.
由两个三角形全等得到线段相等，再将其中一条较长的线段转化为两条线段的和，最后通过等量代换得出结论.
变式练习：
「教材P33习题12.1T4变式题］如图，ΔACE≌ΔDBF，AC＝6，BC＝4．求AD的长．
解：∵ΔACE≌ΔDBF，?∴AC=DB=6.?
∴CD=DB-BC=6-4=2.?
∴AD=AC+CD=6+2=8.
2、如图，ΔACF≌ΔDBE，AD＝11，BC＝7．
（1）求证：AB＝CD；（2）求AB的长．
（1）证明：∵ΔACF≌ΔDBE,∴AC=DB.?
∴AC-BC=DB-BC,即AB＝CD.?
（2）解：∵AD＝11，BC＝7，AB＝CDAB=（AD-BC）=2
题型二
利用全等三角形的性质进行有关角的计算或证明
如图，ΔABC≌ΔADE，且∠CAD＝10°，∠B=∠D=25°,∠EAB=120°．求∠DFB和∠DGB的度数.
解：∵ΔABC≌ΔADE，∠CAD＝10°，∠EAB＝120°
∴∠BAC=∠DAE=(∠EAB-∠CAD)=(120°-10°)=55°.?
∵∠B=25°,∴∠DFB=∠FAB+∠B=∠CAD+?∠BAC+∠B=10°+55°+25°=90°
∵∠D=25°,?
∴∠DGB=∠DFB-∠D=90°-25°=65°.?
变式1、如图，在ΔABC中∠A＝30°，∠ABC＝50°．若ΔEDC≌ΔABC，且点A，C，D在一条直线上，则∠BCE的度数为（
A?)
A.20°
B.30°
C.40°
D.50°
1题
2题
3题
2、如图，ΔABC≌ΔDEF，DF／／BC，且∠B＝60°，∠F＝40°，点A在边DE上，则∠BAD的度数为??20°
3、如图，ΔABC≌ΔADE，且点D在BC上.求证：∠BAD＝∠EDC.
证明：∵ΔABC≌ΔADE，
∴∠B=∠ADE.??????????
∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC,???????????
∴∠BAD=∠EDC.?
题型三
利用全等三角形的性质判断两直线的位置关系
如图，ΔACE≌ΔDBF，点A，B，C，D在一条直线上.AE与DF平行吗？EC与BF呢？请说明理由.
解：AE//DF，EC//BF.理由如下：
∵ΔACE≌ΔDBF，∴∠A＝∠D，∠ECA＝∠FBD.?
∴AE//DF,EC//BF.?
解题策略:证明两直线平行，常通过同位角相等、内错角相等、同旁内角互补或平行于同一线的两直线平行证得.具体采用哪种方法要根据已知条件进行灵活选取.
如图，点A，B，C在一条直线上，点E在BD上，且ΔABD≌ΔEBC.
（1）判断AC与BD的位置关系，并说明理由；
（2）判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由.
解：（1）AC⊥BD．理由如下：
∵ΔABD≌ΔEBC,∵∠ABD=∠EBC.
∵点A，B，C在一条直线上，
∴∠ABD＋∠EBC＝180°（平角等于180°）．
∴∠ABD=∠EBC=90°,∴AC⊥BD.
（2）直线AD⊥直线CE．理由如下：
如图，延长CE交AD于点F.
∵ΔABD≌ΔEBC,
∴∠D=∠C.
在RtΔABD中．∴∠A＋∠D＝90°，
∠A+∠C=90°∴∠DFC=∠A+∠C=90°,
直线AD⊥直线CE.
解题策略：证明两直线垂直可转化为证明它们的夹角为90°．当题目中没有给出任何角的度数时，常常借助两个等角的和是180°来证明．
变式练习：
如图，点A，B，C，D在一条直线上，点E，F是直线AD上方的点，连接AE，CE，BF，DF，若ΔACE≌ΔFDB，FD＝3，AD＝8．
（1）直线CE与DF是否平行？说明理由；
（2）求CD的长；
（3）若∠E＝26°，∠F＝53°，求∠ACE的度数．
解：（1）CE//DF．?
理由：∵ΔACE≌ΔFDB，
∴∠ACE=∠D,?
∴CE//DF.
(2)ΔACE≌ΔFDB,?
∴AC=FD=3.?
∵AD=8,∴CD=AD-AC=8-3=5.?
(3)∵ΔACE≌ΔFDB,∴∠A=∠F=53°.?
∴∠ACE=180°-∠A-∠E=180°-53°-?26°=101°.
2、如图，E为AB上一点，AC⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，ΔACE≌ΔBED．
（1）试猜想线段CE与DE的位置关系，并证明你的结论；
（2）求证：AB＝AC＋BD．
（1）解：CE⊥DE．
证明如下：???????
∵AC⊥AB,?
∴∠A=90°.????????????
∴∠C+∠CEA=90°.?
∵ΔACE≌ΔBED,??
∴∠C=∠DEB.?
∴∠DEB+∠CEA=90°.?
∴∠CED=180°-∠DEB-∠CEA=180°-?90°=90°∴CE⊥DE.
（2）证明：∵ΔACE≌ΔBED，
∴AC=BE,AE=BD.
∴AB=BE+AE=AC+BD.
3、如图，已知AE⊥AB，ΔACE≌ΔAFB，CE分别与AB，BF交于点D，M.线段CE与FB有什么关系？请证明你的结论.
解：CE＝FB，且?CE⊥FB.
证明如下：
AE⊥AB,
∵∠BAE=90°.
∴∠E+∠ADE=90°.
∵ΔACE≌ΔAFB,∴∠E=∠B,CE=FB.?
又∵∠ADE＝∠BDM，
∴∠E+∠ADE=∠B+∠BDM=90°.
∴∠BMD=180°-∠B-∠BDM=90°.
∴CE⊥FB.?
基础练习：
如图，若ΔABC≌ΔADE，则下列结论中一定成立的是（?C)
AC=DE
B.AB=AE
C.∠BAD=∠CAE
D.∠ABC=∠AED
2、如图，已知ΔABC≌ΔDCB，AB＝10，∠A＝60°，∠ABC＝80°，那么下列结论错误的是（?C)
A.∠D=60°
B.∠DBC=40°
C.BE=10
D.AC=DB
1题
2题
3题
如图中的两个三角形全等，图中的字母a，b，c表示三角形的边长，则∠1的度数为??50°
4、如图，已知ΔACE≌ΔDBF，CE＝BF，AD＝9，BC＝1．
（1）求证：CE//BF；
（2）求AC的长度．
解：（1）证明：∵ΔACE≌ΔDBF，∴∠ACE＝∠DBF，∴CE//BF；
(2)∵ΔACE≌ΔDBF,∴AC=BD,AC-BC=BD-BC,?
∴AB=CD=(AD-BC)÷2=4,∴AC=AB+BC=4+1=5.?
5、如图，ΔABC≌ΔADE，分别延长BC，ED交于点F．
（1）求证：∠ACF＋∠E＝180°；
（2）若∠BAC＝55°，∠CAD＝60°，求∠F的度数．
解：（1）证明：∵ΔABC≌ΔADE，∴∠E＝∠ACB．
∵∠ACF+∠ACB=180°,∴∠ACF+∠E=180°;?
(2)∵ΔABC≌ΔADE,∴∠EAD≌∠BAC=55°.∵∠CAD=60°,?
∴∠CAE=∠CAD+∠EAD=115°.?
∵∠ACF+∠E+∠CAE+∠F=360°,∠ACF+∠E=180°,?
∴180°+115°+∠F=360°∴∠F=65°.?
综合题探究
6、如图，在ΔABC中，∠C＝90°，∠A≠∠B，AB＝10，AC＝8，BC＝6，D是AB的中点，E是BC的中点，∠DEB＝90°，DE＝4．动点P以每秒2个单位长度的速度，从点A出发沿AC边向点C运动，同时动点Q以每秒a个单位长度的速度也从点B出发，沿BA边向点A运动，若ΔAPQ与ΔDEB全等，直接写出a的值.
解：a的值为2.4或2.5．设运动时间为ts，则AP＝2t，BQ=at,AQ=10-at.
∵∠C=∠DEB=90°,∴AC//DE,
∴∠A＝∠EDB≠∠B.
若ΔAPQ≌ΔDEB，
∴AP=DE=4,AQ=DB=5,
∴2t＝4,10-at＝5，∴t＝2，a＝2.5；
若ΔAQP≌ΔDEB．
∴AP=DB=5,AQ=DE=4,∴2t=5,10-at=4,∴t=2.5,a=2.4;
综上所述，a的值为2.4或2.5
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