人教版八上高分笔记之导与练 12.2.2 用“SAS”判断三角形全等（原卷+答案）

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12.2全等三角形的判定
用SAS判定三角形全等
知识要点：
有两边和它们的?
??分别相等的两个三角形全等，简写成??
或?
?
尝试应用：
1．如图，AB＝AD．∠1＝∠2，则ΔABC≌ΔADC，理由是
1题
2题
3题
如图，AB＝AC，AD＝AE，则?ΔABD≌AACE，理由是
?
如图，AC，BD交于点E,AE=CE,根据SAS得到ΔABE≌ΔCDE,只需补充条件：
_-_____
易错点睛：
已知ΔABC?和ΔDEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠C＝∠F，则ΔABC与ΔDEF是否一定全等？试说明理由。
典型例题：
类型一
利用全等进行有关的计算或证明
如图，点A，B，C，D在一条直线上，EA//FB，EA＝FB,AB=CD.
求证：∠E＝∠F；
（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．
解题策略：在证明两个三角形全等时，如果已知两组对应边分别相等，一般要去寻找第三条边对应相等或两组对应边的夹角相等，利用“SSS”或“SAS”证明两个三角形全等.
变式练习：
1、如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E，F分别在AB，BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF.
求证：∠D＝∠2；
若EF//AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．
2、如图，C是AB的中点，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE.求证：AE＝BD.
题型二
利用倍长中线法构造全等三角形
例2、如图，CE，CB分别是ΔABC，ΔADC的中线，且AB＝AC，∠ABC＝∠ACB．求证：CD＝2CE．
解题策略：
当出现中线，而现有图形中不存在两个全等三角形时，常通过倍长中线法将中线延长一倍，构造全等三角形，再利用对应边相等去寻求线段间的数量关系.利用倍长中线法构造全等三角形
变式练习：
如图，在ΔABC中，AD是边BC上的中线求证：AD＜（AB＋AC）。
2、如图，AB＝AE，ABLAE，AD＝AC，AD⊥AC，M为BC的中点．求证：DE＝2AM．
基础练习：
如图，AB＝AD，AC＝AE，添加下列条件，不一定能得到ΔABC≌ΔADE的是（?
)
A.BC=DE
B.∠BAC=∠DAE
C.∠C=∠E
D.∠BAD=∠CAE
第1题
第2题
第3题
如图，点A在BE上，AD＝AE，AB＝AC，∠1＝∠2＝30°，则∠3的度数为?
3、如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为??
?
4、如图，线段AD，CE相交于点B，BC＝BD，AB＝EB．求证：ΔACD≌ΔEDC．
5、如图，在ΔABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，DE＝DF，∠EDF＝∠B，BE＝DC．
（1）求证：BC＝FC＋BE；
（2）若∠A＝100°，求∠EDF的度数．
综合探究：
6、在ΔABC和ΔCDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AE与BD交于点F．
（1）如图1，当α＝90°时，求证：①ΔACE≌ΔBCD，②AE⊥BD；
（2）如图2，当α＝60°时，求∠AFB的度数；
（3）如图3，直接写出∠AFD的度数为______（用含α的式子表示）.
答案：
知识要点：
有两边和它们的?夹角??分别相等的两个三角形全等，简写成??边角边
或?SAS?
尝试应用：
1．如图，AB＝AD．∠1＝∠2，则ΔABC≌ΔADC，理由是SAS
1题
2题
3题
如图，AB＝AC，AD＝AE，则?ΔABD≌AACE，理由是SAS?
如图，AC，BD交于点E,AE=CE,根据SAS得到ΔABE≌ΔCDE,只需补充条件：BE=DE
易错点睛：
已知ΔABC?和ΔDEF中，AB＝DE，AC＝DF，∠C＝∠F，则ΔABC与ΔDEF是否
一定全等？试说明理由。
【点睛】SAS中的A应是S与S的夹角.不一定全等，反例如下：
【解】
典型例题：
类型一
利用全等进行有关的计算或证明
如图，点A，B，C，D在一条直线上，EA//FB，EA＝FB,AB=CD.
求证：∠E＝∠F；
（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．
证明：∵EA//FB，∠A＝∠FBD．∴AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝BD.?
在ΔEAC和ΔFBD中，EA=FB,?∠A=∠FBD,?AC=BD,?
∴ΔEAC≌ΔFBD(SAS)∴∠E=∠F.
（2）解：由（1）知ΔEAC≌ΔFBD，∴∠ECA＝∠D＝80°．
∠A=40°,∴∠E=180°-∠A-∠ECA=180°-40?-80?=60?
解题策略：在证明两个三角形全等时，如果已知两组对应边分别相等，一般要去寻找第三条边对应相等或两组对应边的夹角相等，利用“SSS”或“SAS”证明两个三角形全等.
变式练习：
如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E，F分别在AB，BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF.
求证：∠D＝∠2；
若EF//AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．
证明：在ΔCDA和ΔBEF中，
CD=BE,?
∠1=∠B,?
CA=BF.?
∴ΔCDA≌ΔBEF(SAS),∴∠D=∠2.
（2）解：∵∠D＝∠2，∠D＝78°，∴∠2＝78°．
∵EF//AC,∴∠BAC=∠2=78°.
如图，C是AB的中点，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE.求证：AE＝BD.
证明：C是AB的中点，∴AC=BC.
∠ACD=∠BCE,
∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即?
∠ACE=∠BCD.?
在ΔACE和ΔBCD中，AC=BC,?∠ACE=∠BCD,CE=CD,
ΔACE≌ΔBCD(SAS)∴AE=BD.
题型二
利用倍长中线法构造全等三角形
例2、如图，CE，CB分别是ΔABC，ΔADC的中线，且AB＝AC，∠ABC＝∠ACB．求证：CD＝2CE．
证明：如图，延长CE至点F，使EF＝CE，则CF＝2CE，
连接FB.∵CE是ΔABC的中线，∴AE＝BE.
在ΔBEF和ΔAEC中，BE=AE,∠BEF=∠AEC,EF=EC,∴ΔBEF≌ΔAEC(SAS).
∴∠EBF＝∠A，BF＝AC.又∠ABC＝∠ACB，
∴∠CBD=∠A+∠ACB=∠EBF+∠ABC=∠CBF.∵CB是ΔADC的中线，∴AB＝BD.
又AB＝AC，AC＝BF，∴BF＝BD.
在ΔCBF和ΔCBD中，CB=CB,?∠CBF=∠CBD,BF=BD,
∴ΔCBF≌ΔCBD(SAS)·∴CF=CD·∴CD=2CE.
解题策略：
当出现中线，而现有图形中不存在两个全等三角形时，常通过倍长中线法将中线延长一倍，构造全等三角形，再利用对应边相等去寻求线段间的数量关系.利用倍长中线法构造全等三角形
变式练习：
如图，在ΔABC中，AD是边BC上的中线求证：AD＜（AB＋AC）。
证明：如图，延长AD至点E，使DE＝AD，则AE＝2AD，连接BE.
∵AD是边BC上的中线，
∴DC=DB.
在ΔACD和ΔEBD中，DC=DB,?∠ADC=∠EDB,AD=ED,?
∴ΔACD≌ΔEBD(SAS).?
∴AC=EB.?
在ΔABE中，AE＜AB＋EB，
∴2AD2、如图，AB＝AE，ABLAE，AD＝AC，AD⊥AC，M为BC的中点．求证：DE＝2AM．
证明：如图，延长AM?至点N，使MN＝AM，则NA＝2AM，连接BN．
∵M为BC的中点，∴CM＝BM.
在ΔAMC和ΔNMB中，AM=NM,?∠AMC=∠NMB,?CM=BM,?
∴ΔAMC≌ΔNMB(SAS),
∴AC=NB,∠C=∠NBM.∴AD=AC,∴AD=BN.
∵AB⊥AE,AD⊥AC,∴∠EAB=∠DAC=90°,
∴∠EAD+∠BAC=360°-∠EAB-∠DAC=180°,
∴∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-?∠BAC=∠EAD.?
在ΔEAD和ΔABN中，AE=BA,∠EAD=∠ABN,AD=BN,?
.ΔEAD≌ΔABN(SAS),∴DE=NA=2AM.?
基础练习：
如图，AB＝AD，AC＝AE，添加下列条件，不一定能得到ΔABC≌ΔADE的是（?C
)
A.BC=DE
B.∠BAC=∠DAE
C.∠C=∠E
D.∠BAD=∠CAE
第1题
第2题
第3题
2、如图，点A在BE上，AD＝AE，AB＝AC，∠1＝∠2＝30°，则∠3的度数为?30°
3、如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为??82°?
4、如图，线段AD，CE相交于点B，BC＝BD，AB＝EB．求证：ΔACD≌ΔEDC．
证明：在ΔABC与ΔEBD中，
AB=BE,∠ABC=∠EBD,BC=BD,
∴ΔABC≌ΔEBD(SAS),?
∴AC=ED,∠A=∠E.AB=EB,BC=BD,
∴.AB+BD=EB+BC,?
即AD＝EC.
在ΔACD与ΔEDC中，AC=ED,∠A=∠E,AD=EC,
∴.ΔACD≌ΔEDC(SAS).?
5、如图，在ΔABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，DE＝DF，∠EDF＝∠B，BE＝DC．
（1）求证：BC＝FC＋BE；
（2）若∠A＝100°，求∠EDF的度数．
（1）思路：证ΔBDE≌ΔCFD得到FC=BD∵BE=DC,∴BC=BD+DC＝FC＋BE
(2)∵ΔBDE≌ΔCFD,∴∠B=∠C.
∵∠A=100°,∴∠B=40°.∴∠EDF=∠B,∴∠EDF=40°.
6、在ΔABC和ΔCDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AE与BD交于点F．
（1）如图1，当α＝90°时，求证：①ΔACE≌ΔBCD，②AE⊥BD；
（2）如图2，当α＝60°时，求∠AFB的度数；
（3）如图3，直接写出∠AFD的度数为______（用含α的式子表示）.
解：思路：（1）证明：证ΔACE≌ΔBCD，∴∠CAE＝∠CBD，：∠AFB＝∠ACB＝90°，∴AE⊥BD；
（2）同（1）可得∠AFB＝∠ACB＝60°；
（3）同（1）可得∠AFB＝∠ACB＝α，故∠AFD＝180°-α．
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精品试卷·第
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