人教版八上高分笔记之导与练 12.2.3 用ASA或AAS判断三角形全等（原卷+答案）

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12.2全等三角形的判定
用ASA或AAS判定三角形全等
知识要点：
有两角和它们的??
??分别相等的两个三角形全等，简写成??
或??
?
2．有两角和其中??
??分别相等的两个三角形全等，简写成??
或??
?
3．三个角分别相等的两个三角形定?
?全等（填一定或不一定）。
易错点睛：
如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AC＝AD．
证明：在ΔABD和ΔABC中，
∠1＝∠2
AB=AB,
∠3＝∠4
∴ΔABD≌ΔABC(ASA),∴AC=AD.
指出上述证明中的错误，并加以改正。
【点睛】易将∠3＝∠4作为对应角相等证全等．
典型例题：
题型一
三角形全等的判定与性质的应用
如图，BE，CD相交于点F，∠B＝∠C，∠1＝∠2，求证：DF＝EF.
解题策略
（1）证边相等→两边所在的三角形全等．
（2）已知一边一角（边角相邻），证全等的思路：①找角的另一邻边→“SAS”；②找边相邻的另一角→“ASA”；
③找边的对角→“AAS”.
变式练习：
如图，已知点B，B，C，在一条直线上∠B＝∠DEF，BC＝BF，现要证明ΔABC≌ΔDEF，若以“SAS”为依据，则还需添加件：?
??；若以“ASA”为依据，则还需添加条件：??
??；若以“AAS”为依据，则还需添加条件：?
第1题
第2题
2、如图，点C，D在AB上，AC＝BD，∠A＝∠B，∠E＝∠F，图中全等三角形有（
)
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
3、如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.请你判断ΔACN≌ΔABM是否成立，并说明理由.
题型二
利用全等三角形解决实际问题
例2、如图，为测量河宽0Q．小军站在南岸的0处调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面的Q处，然后后退到B处，这时他的视点恰好能落在0处，同时他让小华测量他此时所站的B处与0处之间的距离．你能帮忙算出河宽0Q吗？请说明理由．
解题策略
在实际生活中，测量两点间的距离问题，可以巧妙地借助三角形全等来解决.本题关键是证明ΔABO≌ΔPOQ.?
变式练习：
1、如图，小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了三块，现在他准备带第③块到专门的商店去配一块完全一样的玻璃，则小明带第③块去的理由是根据三角形全等的判定方法（
）
A.“SAS”
B.“AAS”
C.“SSS”
D.“ASA”
2、元元沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙0，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语?CD，其具体信息汇集如下：如图，AB//OH//CD，相邻的平行线间的距离相等，AC，BD相交于0，OD⊥CD，垂足为D，AB＝18m．请根据上述信息求标语CD的长度．
题型三
利用截长补短法构造全等三角形
例3、如图，E为AD上A一点，AB／CD、BE平分＜ABG，CE平分＜BCD.求证：BC＝AB＋CD.?
解题策略：证明一条线段的长度等于两条线段的长度的和（或差）时，常用截长补短法，证明思路一般是：（1）截长，即在较长线段上截取一段，使之等于其中一条较短线段的长，然后证明剩下的线段长等于另一条较短线段的长；（2）补短，即将其中的一条较短线段直接延长至等于较长线段的长，然后证明延长部分线段的长等于另一条较短线段的长（或延长其中一条较短线段，使延长部分线段的长等于另一条较短线段的长，然后证明延长后的线段长等于较长线段的长）.
变式练习：
1、如图，在ΔABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC于点D.求证：CD＝AB＋BD.
2、【问题背景】如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE，EF，DF之间的数量关系.
状状探究此问题的方法是：延长FD至点G，使GD＝BE，连接AG，先证明ΔABE≌ΔADG，再证明ΔAEF≌ΔAGF，然后可得出结论，他的结论应是?EF＝BE＋DF
【探索延伸】如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．上述结论是否仍然成立？请说明理由.
基础练习：
如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定ΔABC≌ΔDCB的是（?
)
A.?B.?C.AB=DC???
??D.AC=DB
2、如图，在ΔABC中，点D是边BC的中点，CE//AB，交AD的延长线于点E，若ΔABD的面积为5，则ΔACE的面积为??
第1题
第2题
第3题
3、如图，A（0,3），B（2,0），AC＝AB，AC」AB，则点C的坐标为??________
4、如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AC＝CE．求证：BD＝AB+DE.?
5、如图，锐角ΔABC的高AD，BE交于点F，若BF＝AC，BC＝9，CD＝3．求AF的长．
综合题探究
6、【问题背景】（1）如图1，在RtΔABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，BE⊥CD，
垂足为E.求证：CD＝BE；
【变式运用】（2）如图2，在RtΔABC中，AC＝BC，∠ACB＝∠CDA＝90°，CD＝2．求SΔBDC；
【拓展迁移】（3）如图3，在RtΔABC中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADC＝90°，CD与AB交于点E，AD＝1，BE＝4AE，直接写出求SΔBDC．
答案：
知识要点：
有两角和它们的??夹边??分别相等的两个三角形全等，简写成??角边角或??ASA?
2．有两角和其中??一角的对边??分别相等的两个三角形全等，简写成??角角边或??AAS?
3．三个角分别相等的两个三角形定?不一定?全等（填一定或不一定）。
易错点睛：
如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AC＝AD．
证明：在ΔABD和ΔABC中，
∠1＝∠2
AB=AB,
∠3＝∠4
∴ΔABD≌ΔABC(ASA),∴AC=AD.
指出上述证明中的错误，并加以改正。
【点睛】易将∠3＝∠4作为对应角相等证全等．
正确解：解答：证明：∵∠3=∠4，
∴∠ABD=∠ABC（等角的补角相等），
在△ABD与△ABC中，
，
∴△ADB≌△ACB（ASA），
∴AC=AD．
典型例题：
题型一
三角形全等的判定与性质的应用
如图，BE，CD相交于点F，∠B＝∠C，∠1＝∠2，求证：DF＝EF.
证明：∵∠1＝∠2，∠C＝∠B，
∴∠1-∠C＝∠2-∠B，即∠CAF＝∠BAF．
在ΔADF和ΔAEF中，∠DAF=∠EAF,?AF=AF,?∠1＝∠2,?
∴ΔADF≌ΔAEF(ASA).
∴DF=EF.
解题策略
（1）证边相等→两边所在的三角形全等．
（2）已知一边一角（边角相邻），证全等的思路：①找角的另一邻边→“SAS”；②找边相邻的另一角→“ASA”；
③找边的对角→“AAS”.
变式练习：
如图，已知点B，B，C，在一条直线上∠B＝∠DEF，BC＝BF，现要证明ΔABC
ΔDEF，若以“SAS”为依据，则还需添加件：?AB=DE??；若以“ASA”为依据，则还需添加条件：??∠ACB=∠F??；若以“AAS”为依据，则还需添加条件：?∠A=∠D
第1题
第2题
2、如图，点C，D在AB上，AC＝BD，∠A＝∠B，∠E＝∠F，图中全等三角形有（B)
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
3、如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF.请你判断ΔACN≌ΔABM是否成立，并说明理由.
解：成立，理由如下：
在ΔAEB和ΔAFC中，
∠B=∠C,
∠E＝∠F
AE=AF,
∴ΔAEB≌ΔAFC(AAS)∴AB=AC.
在ΔACN和ΔABM中，?AC=AB,?∠B=∠C,?∠CAN=∠BAM,?
∴ΔACN≌ΔABM(ASA).?
题型二
利用全等三角形解决实际问题
例2、如图，为测量河宽0Q．小军站在南岸的0处调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面的Q处，然后后退到B处，这时他的视点恰好能落在0处，同时他让小华测量他此时所站的B处与0处之间的距离．你能帮忙算出河宽0Q吗？请说明理由．
解：根据题意知AB＝PO，∠A＝∠OPQ.
∵AB⊥BO,PO⊥BQ,∴∠B=∠POQ=90°.
在ΔABO和ΔPOQ中，∠A=∠OPQ,?AB=PO,∠B=∠POQ,
∴ΔABO≌ΔPOQ(ASA).
∴BO＝0Q，即河宽0Q为所测量的BO的长度．
解题策略
在实际生活中，测量两点间的距离问题，可以巧妙地借助三角形全等来解决.本题关键是证明ΔABO≌ΔPOQ.?
变式练习：
1、如图，小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了三块，现在他准备带第③块到专门的商店去配一块完全一样的玻璃，则小明带第③块去的理由是根据三角形全等的判定方法（
D
）
A.“SAS”
B.“AAS”
C.“SSS”
D.“ASA”
2、元元沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙0，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语?CD，其具体信息汇集如下：如图，AB//OH//CD，相邻的平行线间的距离相等，AC，BD相交于0，OD⊥CD，垂足为D，AB＝18m．请根据上述信息求标语CD的长度．
解：AB//CD，∴∠ABO＝∠CDO.
∵OD⊥CD,∴∠CDO=90°,
∴∠ABO=90°,∴OB⊥AB.
∵相邻的两平行线间的距离相等，∴OD＝OB.
在ΔABO和ΔCDO中，∠ABO=∠CDO,?OB=OD,∠AOB=∠COD,
∴ΔABO≌ΔCDO(ASA),
∴AB＝CD＝18m，即标语CD的长度为18m．
题型三
利用截长补短法构造全等三角形
例3、如图，E为AD上A一点，AB／CD、BE平分＜ABG，CE平分＜BCD.求证：BC＝AB＋CD.?
证明：
证法1（截长法）：如图①，在BC上取点F，使BF＝
BA，连接EF.
BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
在ΔABE和ΔFBE中，BA=BF,???∠1=∠2,?BE=BE,?
∴ΔABE≌ΔFBE(SAS)∴∠A=∠5.
∴AB//CD,∴∠A+∠D=180°.
∴∠5+∠6=180°,∴∠6=∠D.
在ΔEFC和ΔEDC中，∠6=∠D，?<3=<4,?EC=EC,?
∴ΔEFC≌ΔEDC(AAS)∴CF=CD.
∴BC=BF+CF=AB+CD.
证法2（补短法）：如图②，延长BA至点F，使BF＝BC，连接EF.
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
在ΔBEF和ΔBEC中，BF=BC,?∠1=∠2,?BE=BE,?
∴ΔBEF≌ΔBEC(SAS).∴∠F=∠3,EF=EC.
∵∠3=∠4,∴∠F=∠4.
∵AB//CD,∴∠5=∠D.
在ΔAEF和ΔDEC中，∠5=∠D，∠F=∠4,EF=EC,?
∴ΔAEF≌ΔDEC（AAS）∴AF＝DC.
∴BC=BF=AB+AF=AB+CD.
解题策略：证明一条线段的长度等于两条线段的长度的和（或差）时，常用截长补短法，证明思路一般是：（1）截长，即在较长线段上截取一段，使之等于其中一条较短线段的长，然后证明剩下的线段长等于另一条较短线段的长；（2）补短，即将其中的一条较短线段直接延长至等于较长线段的长，然后证明延长部分线段的长等于另一条较短线段的长（或延长其中一条较短线段，使延长部分线段的长等于另一条较短线段的长，然后证明延长后的线段长等于较长线段的长）.
变式练习：
1、如图，在ΔABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC于点D.求证：CD＝AB＋BD.
证明：如图，在CD上截取DE＝DB，连接AE，过点E作EFLAC于点F.
∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADE=90°.
在ΔADB和ΔADE中，AD=AD,?∠ADB=∠ADE,?DB=DE,?
∴ΔADB≌ΔADE(SAS).?
∴AB=AE,∠B=∠AED.?
∵∠B=2∠C,∴∠AED=2∠C.?
又∠AED＝∠C＋∠CAE，
∴∠C=∠CAE.?
∵EF⊥AC,∴∠CFE=∠AFE=90°.?
在ΔCFE和ΔAFE中，∠C=∠FAE,?∠CFE=∠AFE,?EF=EF,?
∴ΔCFE≌ΔAFE(AAS)∴CE=AE.
∴CE＝AB.又CD＝CE＋DE，∴CD＝AB＋BD.
【问题背景】如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE，EF，DF之间的数量关系.
状状探究此问题的方法是：延长FD至点G，使GD＝BE，连接AG，先证明ΔABE≌ΔADG，再证明ΔAEF≌ΔAGF，然后可得出结论，他的结论应是?EF＝BE＋DF
【探索延伸】如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．上述结论是否仍然成立？请说明理由.
解：结论EF＝BE＋DF仍然成立，理由：
如图②，延长FD至点G，使DG＝BE，连接AG.
∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=?180°,∴∠B=∠ADG.?
在ΔABE和ΔADG中
BE=DG,??∠B=∠ADG,?AB=AD,?
∴ΔABE≌ΔADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG.
∴∠EAF=∠BAD,
∴∠EAF=∠BAE+∠DAF,
∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=?∠EAF.??
在ΔAEF和ΔAGF中，AE=AG,?∠EAF=∠GAF?AF=AF,?
∴ΔAEF≌ΔAGF(SAS),∴EF=GF.?
∵GF=DG+DF∴EF=BE+DF.
基础练习：
如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定ΔABC≌ΔDCB的是（?D
)
A.?B.?C.AB=DC???
??D.AC=DB
2、如图，在ΔABC中，点D是边BC的中点，CE//AB，交AD的延长线于点E，若ΔABD的面积为5，则ΔACE的面积为??10
第1题
第2题
第3题
3、如图，A（0,3），B（2,0），AC＝AB，AC」AB，则点C的坐标为??(3.5)
4、如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AC＝CE．求证：BD＝AB+DE.?
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD．AC⊥CE，∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，
∴∠ACB+∠ECD=90°,∠ECD+∠CED=90°,∠ACB=∠CED.
在ΔABC和ΔCDE中，∠ACB=∠CED,?∠B=∠D,?AC=EC,????
ΔABC≌ΔCDE(AAS).
∴BC=DE.AB=CD.ABD=CD+BC=AB+DE.
如图，锐角ΔABC的高AD，BE交于点F，若BF＝AC，BC＝9，CD＝3．求AF的长．
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝90°．
∴∠EBC+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°.∠EBC=∠DAC.
在ΔFBD与ΔCAD中，∠DAC=∠FBD,?∠ADC=∠ADB,AC=BF,∴.ΔCAD≌ΔFBD(AAS).
∴FD=DC=3,BD=AD.∵BC=6,∴AD=BD=BC-CD=6.∴AF=AD-FD=6-3=3.
综合题探究
6、【问题背景】（1）如图1，在RtΔABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠ADC＝90°，BE⊥CD，
垂足为E.求证：CD＝BE；
【变式运用】（2）如图2，在RtΔABC中，AC＝BC，∠ACB＝∠CDA＝90°，CD＝2．求SΔBDC；
【拓展迁移】（3）如图3，在RtΔABC中，AC＝BC，∠ACB＝∠ADC＝90°，CD与AB交于点E，AD＝1，BE＝4AE，直接写出求SΔBDC．
解：（1）∵∠ACB＝∠ADC＝90°，BE⊥CD，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°，∠CBE＋∠BCE＝90°，
∴∠ACD=∠CBE,?
在ΔACD与ΔCBE中，∠ACD=∠CBE，∠ADC＝∠CEB，AC=BC,
∴ΔACD≌ΔCBE(AAS).∴CD=BE;?
（2）过点B作BE⊥CD，垂足为E，：AC＝BC，∠ACB＝∠ADC＝90°，由（1）知，BE＝CD＝2．.SΔBDC=CD·BE=2;?
（3）过点B作BF⊥CD，垂足为F，∵AC＝BC，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴由（1）知BF＝CD．==
∵BE=4AE,∴BF=4AD=4,CD=BF=4,.SΔBDC=CD·BF=8.?
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精品试卷·第
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