苏教初三二轮复习 规律探索性问题和开放性问题

优博教育个性化辅导教案
授课教师 沈老师 学生姓名 学科 数学
授课时间 2012年4月2日 时间段 10:00~12:00 课时计划 第（ 1 ）次课共（ 　）次课
教学目标 了解规律探索型问题的考查类型，掌握这类问题的一般解题方法了解开放型问题的几种类型，重点掌握存在型问题的一般思路了解方案设计型问题的考查类型，联系生活实际运用数学知识设计恰当的解决方案
重点、难点 规律探索型问题的猜想和归纳；存在型问题的解题思路；结合方程、不等式及函数的知识进行效果最优、经济效果最大等方案的设计
教学内容
第一部分：分析中考数学考试十大模块+五大综合专题+四大数学思想专题一 规律探索型问题考点知识梳理：探索规律型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。类型有“数列规律”、“计算规律”、“图形规律”与“动态规律”等题型，近年来关于数列与图形排列规律的题目越来越多。数列规律 数列规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容。2.计算规律计算规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，然后通过适当的计算（主要以等差数列的计算为主）回答问题。图形规律图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想与数形结合。动态规律动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律，解答此类问题时，要将图形每一次的变化与前一次的变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律。中考典例精析：例1：一组按规律排列的数：，，，，…请推断出第n个数是________ 【点拨】通过观察发现，这组数字出现的规律是：（1）分子式以幂的形式排列，分母与分子的差是定值4；（2）再从特殊到一般：从第一个数开始分子分别以3,4,5,...的平方出现。所以分子分母的代数式分别是和例2：如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点、、…、分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为________ 【点拨】从图形变化的过程中发现其规律是每个阴影部分是原来正方形面积的，但要注意n个这样的正方形共有（n-1）个重叠部分，所以面积和是例3：（2011.大连）在ΔABC中，∠A=，点D在线段BC上，∠EDB=，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F。当AB=AC时（如图所示），①∠EBF=________； ②探索线段BE与FD的数量关系，并加以证明。当AB=kAC时（如图所示），求的值（用含k的式子表示）。【点拨】本题是一个关于线段比的探究题，主要考查学生的自学探究能力。解答此类问题的一般思路是：先从简单问题入手，总结解题规律，以此规律解答类似相关复杂问题。专题训练：1.如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为________2.在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示。（1）填写下列各点的坐标：（_____，_____），（_____，_____），（_____，_____）；（2）写出点的坐标（n是正整数）；（3）指出蚂蚁从点到点的移动方向。3.（2010中考变式题）如图是圆心角为，半径分别是1、3、5、7、...的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为、、、…，则=________（结果保留π）专题二 开放型问题考点知识梳理： 1.条件开放型：所谓条件开放型试题是指在结论不变的前提下，条件不唯一的题目．用类比方法、归纳总结法和分类的思想，来确定、补充、创设以“题设条件为目的”的开放题。旨在考查学生的汇聚思维能力，让考生殊途同归，起到归纳总结的作用。 2.结论开放型：所谓结论开放型试题是指判断部分是未知要素的开放题。数学命题根据思维形式可分成三部分：假设——推理——判断。可用数形结合的思想挖掘“结论”开放题。 3.条件、结论开放型：所谓条件、结论开放型是指条件和结论都不唯一，此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有开放性，它要求学生通过自己的观察和思考，将已知的信息集中进行分析，通过这一思维活动揭示事物的内在联系。 4.探究问题在中考中常以压轴题出现，它的基本类型一般包括存在型、规律型、决策型等。 （1）解答存在型问题的一般思路先假设结论的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推出矛盾即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假设。 （2）解答规律型问题的一般思路通过对所给的具体的结论进行全面而细致的观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用。 （3）解答决策型问题的一般思路通过对题设信息进行全面的分析、综合比较、判断优劣，从中寻得适合题意的最佳方案。中考典例精析：例1：（2011·绥化） 如图所示，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，请添加一个适当的条件______，使得AC＝DF。【点拨】明确全等三角形的五种判定方法分别是“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”，再明确已知条件是“边”还是“角”，补充“边”或“角”之后，凑成判定方法中的一种。例2：（2011·益阳）小红设计的钻石形商标如图所示，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC＝60°，AE＝1.（1）证明：△ABE≌△CBD；（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；（3）小红发现AM＝MN＝NC，请证明此结论；（4）求线段BD的长． 【点拨】本题是一道几何综合题，解答第（2）问的关键是通过已知线段寻找相似的三角形；第（4）问中求线段的长度,一般需构造直角三角形．例3：（2010.扬州）在△ABC中，∠C＝90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE=x，△AEF的面积为y。求线段AD的长；若EF⊥AB，当点E在线段AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）②当x取何值时，y有最大值？并求其最大值；若F在直角边AC上（点F与A、C两点均不重合），点E在斜边AB上移动，试问：是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由。 【点拨】本题是一个存在探索型试题。其解题思路是：先假设结论存在，然后结合已知条件进行推理、演算，若推出符合题意的结果，由此肯定存在；若推出与已知条件相矛盾的结果，则说明假设的“存在”错误，由此否定存在（即不存在）。专题三 方案设计与决策型问题考点知识梳理： 方案设计与决策问题就是给解题者提供一个问题情景．要求解题者利用所学的数学知识，解决题目的要求，这类问题既考查了学生动手操作的实践能力，又培养了学生的创新品质，应该引起我们的高度重视．关于一次函数和不等式的方案设计是最近几年中考的命题热点，正确理解题意，找出等量关系，列出函数表达式是解题的关键，分类讨论一定要全面，不能有遗漏．例1：（2011.凉山州）我州盛产苦荞茶、青花椒、野生蘑菇，为了让这些珍宝走出大山，走向世界，州政府决定组织21辆汽车装运这三种土特产共120吨，参加全国农产品博览会。现有A型、B型、C型三种汽车可供选择。已知每种型号汽车可同时装运2种土特产，且每辆车必须装满。根据下表信息，解答问题。车型特产 苦荞茶 青花椒野生蘑菇每辆载重（吨） A型 2 2 B型 4 2 C型 1 6 车型每辆车运费（元） A 1500 B 1800 C 2000设A型汽车安排x辆，B型汽车安排y辆，求y与x之间的函数关系式。如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案。为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费。 【点拨】本题考查方案设计类问题。此类问题的一般步骤：①根据题意建立一次函数关系式；②根据实际意义建立不等式组，求不等式组的正整数解；③根据求到的解，利用一次函数的性质求最大最小值。例2：某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分．方案1　所有评委所给分的平均数．方案2　在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数．方案3　所有评委所给分的中位数．方案4　所有评委所给分的众数．为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下图是这个同学的得分统计图．（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分．（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分． 【点拨】对于题目中的四种方案我们可以分别计算出结果，只要注意平均数、中位数、众数的概念及其三种统计量的意义即可．例3：（2011.绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目： 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论；AE______DB（填“>”，“<”或“=”） 图一 图二特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系式：AE______DB（填“>”，“<”或“=”）。理由如下：如图2，过点E作EF//BC，交AC于点F。（请你完成以下解答过程）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）。
本次课后作业
选择题（2010中考变式题）如图，一串有趣的图案按一定的规律排列，请仔细观察，按此规律第2010个图案是（ ）（2010中考变式题）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，依据此规律，m的值是（ ）A.38 B.52 C.66 D.74（2011.武汉）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点。且规定，正方形的内部不包含边界上的点。观察如图所示的中心在原点、一边平行于x轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，...，则边长为8的正方形内部的整点的个数为（ ） A.65 B.49 C.36 D.254.（2010中考变式题）如图所示，AB为⊙O的直径，DC⊥AB，现有的长方形长、宽分别为AC、CB，若要设计一个正方形，使其面积等于长方形面积，则正方形的边长应为________．填空题（2011.南京）甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6......按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1.当报到的数是50时，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次。在此过程中，甲同学需拍手的次数为________2.（2011.北京）在下表中，我们把第i行第j列的数记为（其中i，j都是不大于5的正整数），对于表中的每个数规定如下：当时，；当时，。例如：当i=2，j=1时，。按此规定，________；表中的25个数中，共有________个1；计算的值为________3.（2010中考变式题）如图，直线，点坐标为（1,0），过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；再过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点，...，按此作法进行下去，点的坐标为________4.（2011·陕西）如图，在△ABC中，D是AB边上一点，连接CD。要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是________5.（2012中考预测题）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE∥AC，DE交AB于点E，M为BE的中点，连接DM。在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是________．(写出一个即可)（2010中考变式题）在同一坐标平面内，图象不可能由函数的图象通过平移变换、轴对称变换得到的二次函数的一个解析式是________简答题（2011.河北）如图①至④中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点。 思考 如图①，圆心为O的半圆形纸片在AB、CD之间（包括AB、CD）。其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α。 当α=________度时，点P到CD的距离最小，最小值为________。探究一 在图①的基础上，以点M为旋转中心，在AB、CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图②，得到最大旋转角∠BMO=________度，此时点N到CD的距离是________。探究二 将图①中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB、CD之间顺时针旋转。如图③，当α=时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值；如图④，在扇形纸片NOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围。（参考数据：、、）（2011.南通）（1）将一批重490吨的货物分配给甲、乙两船运输。现甲、乙两船已分别运走其任务量的、，在已运走的货物中，甲船比乙船多运30吨，求分配给甲、乙两船的任务量各多少吨？自编一道应用题，要求如下：①是路程应用题，三个数据100，，必须全部用到，不添加其他数据。②只要编题，不必解答。3.（2012中考预测题）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于点C，直线y＝－2x－1经过抛物线上一点B(－2，m)，且与y轴、直线x＝2分别交于点D、E.（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证：①CB＝CE；②D是BE的中点；（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB＝PE。若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．4.迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3 490盆甲种花卉和2 950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
学生对于本次课的评价： ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字：
教师评定：1、 学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差2、 学生本次上课精神状态： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差3、 学生本次知识掌握情况： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 教师签字：
主任签字： 家长签字：
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