23.1 第2课时 旋转作图
命题点
1 利用旋转性质作图
1.将如图所示的图形绕中心按顺时针方向旋转60°后可得到的图形是
( )
2.如图观察图形,找出规律,确定第四个图形是
( )
3.已知线段AB及点O,作线段AB绕点O顺时针旋转90°后得到的图形.
4.如图,四边形ABCD绕点C旋转后,顶点D的对应点为D'.请作出旋转后的四边形A'B'C'D'.
5.如图,四边形A'B'C'D'是四边形ABCD绕点O顺时针旋转90°后得到的,请作出旋转前的图形.
命题点
2 在网格中利用旋转性质作图
6.如图,将方格纸中的图形(阴影部分)绕点O逆时针旋转90°后得到的图形是
( )
4
7.如图,正方形网格中每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点A,B,C都在格点上,将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'.
(1)在正方形网格中画出△AB'C';
(2)计算线段AB在旋转到AB'的过程中所扫过区域的面积.(结果保留π)
8.如图在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).
(1)将△ABC向下平移5个单位长度后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2;
(3)判断以O,A1,B为顶点的三角形的形状(不需说明理由).
命题点
3 旋转作图的综合应用
9.如图,在△OAB中,∠1=∠2.将△OAB绕点O顺时针旋转180°,点A的对应点记为C,点B的对应点记为D,连接BC,DA得到四边形ABCD.
(1)补全图形;
(2)所得四边形为 (从①矩形;②菱形;③正方形中选择,只填写序号即可),判断此结论的依据是 .?
10.如图8,正方形ABCD中,P是BC边上一点,将△ABP绕点A逆时针旋转90°,点P旋转后的对应点为P'.
(1)画出旋转后的三角形;
(2)连接PP',若正方形的边长为1,∠BAP=15°,求PP'的长.
11.在俄罗斯方块游戏中,所有出现的方格体会自动下落,如图果一行中九个方格齐全,那么这一行会自动消失.已拼好的图案如图所示,现又出现一个小方格体,必须对其进行以下哪项操作,才能拼成一个完整图案,使其全部自动消失
( )
A.顺时针旋转90°,向下平移至边界
B.逆时针旋转90°,向下平移至边界
C.顺时针旋转90°,向右平移至边界
D.逆时针旋转90°,向右平移至边界
12.你知道风靡全球的魔方吗?它是匈牙利建筑学教授鲁比克为帮助学生增强空间思维能力而发明的教学工具,魔方的任何一面都可水平转动而不影响其他方块.如图是一个三阶魔方,如图果将任何一面顺时针或逆时针旋转90°视作一次操作,那么由甲图到乙图至少需要进行这样的操作
( )
A.1次
B.2次
C.3次
D.4次
答案
1.B 2.C
3.解:如图图,线段A'B'为所求.
4.解:如图图所示,四边形A'B'C'D'即为四边形ABCD绕点C旋转后的四边形.
5.解:如图图所示:
6.C
7.解:(1)如图图①所示:
图①
图②
(2)线段AB在旋转到AB'的过程中所扫过区域如图图②所示:
由图可知△ABC是直角三角形,AC=4,BC=3,
所以AB=5.
因为旋转的角度为90°,
所以线段AB扫过区域的面积是半径为5的圆的面积的,所以S扇形AB'B=π×52=π,
所以线段AB在旋转到AB'的过程中所扫过区域的面积为π.
8.解:(1)如图图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)如图图所示,△A2B2C2即为所求.
(3)以O,A1,B为顶点的三角形的形状为等腰直角三角形.
理由:因为OB=OA1=,A1B=,
即OB2+O=A1B2,
所以以O,A1,B为顶点的三角形的形状为等腰直角三角形.
9.解:(1)如图图.
(2)① 对角线互相平分且相等的四边形是矩形
10.解:(1)如图图所示,△ADP'即为所求.
(2)如图图,连接PP'.由旋转可得,AP=AP',∠PAP'=90°,BP=DP',
∴△APP'是等腰直角三角形,
∴∠APP'=45°.
∵∠BAP=15°,∠B=90°,
∴∠APB=75°,∴∠CPP'=60°,
∴在Rt△PCP'中,∠CP'P=30°.
设CP=x,则BP=DP'=1-x,PP'=2x,
∴P'C=2-x.
∵CP2+P'C2=PP'2,
∴x2+(2-x)2=(2x)2,解得x=-1(负值已舍去),∴2x=2-2,即PP'=2-2.
11.C
12.C23.1 第1课时 旋转的概念及性质
命题点
1 旋转的概念
1.下列运动形式属于旋转的是
( )
A.在空中上升的氢气球
B.飞驰的火车
C.时钟上钟摆的摆动
D.运动员掷出的标枪
2.下列图案中,不能由一个图形通过旋转形成的是
( )
3.如图,△ABC和△DEC都是直角三角形,其中一个三角形是由另一个三角形旋转得到的,则下列叙述中错误的是
( )
A.旋转中心是点C
B.旋转角可能是90°
C.AB=DE
D.∠ABC=∠D
命题点
2 旋转中心的确定
4.如图,在一个4×4的正方形网格中,若两个阴影部分的三角形绕某点旋转一定的角度后能互相重合,则其旋转中心是图中的
( )
A.点A
B.点B
C.点C
D.点D
5.如图,四边形ABCD和四边形DCGH是两块全等的正方形铁皮,要使它们重合,则存在的旋转中心有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
命题点
3 求角度
6.如图,将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°,得到△A'B'C,连接AA'.若∠1=20°,则∠B的度数是
( )
A.70°
B.65°
C.60°
D.55°
7.如图,?ABCD绕点A逆时针旋转30°得到?AB'C'D',点B'恰好落在BC边上,则∠C的度数是 .?
命题点
4 求长度
8.如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E在CD边上,DE=1,把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABE',连接EE',则线段EE'的长为( )
A.2
B.2
C.4
D.2
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2.将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C,连接AB'.若点A,B',A'在同一条直线上,则AA'的长为
( )
A.6
B.4
C.3
D.3
10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,将Rt△ABC绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB'C',B'C'交AB于点E.若图中阴影部分的面积为2,则B'E的长为 .?
11.[2019·阜新]
如图0,在△ABC中,AC=BC,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE.若AB=2,∠ACB=30°,则线段CD的长度为 .?
12.如图1,已知AC⊥BC,垂足为C,AC=4,BC=3,将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC,DB.
(1)线段DC= ;?
(2)求线段DB的长.
命题点
5 求图形的面积
13.如图2,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至矩形AB'C'D'的位置,此时AC'的中点恰好与点D重合,AB'交CD于点E.若AB=3,则△AEC的面积为( )
A.3
B.1.5
C.2
D.
14.如图3,将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB'C'D',求图中阴影部分的面积.
15.如图4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C,M是BC的中点,P是A'B'的中点,连接PM.若BC=2,∠BAC=30°,则线段PM的最大值是
( )
A.4
B.3
C.2
D.1
16.如图5,在边长为6的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上的一个动点,AD与BC交于点D.连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF,则在点E的运动过程中,DF的最小值是 .?
答案
1.C
2.C [解析]
只有选项C不能通过旋转得到.
3.D
4.C [解析]
两对对应点所连线段的垂直平分线的交点,即为旋转中心.
5.C [解析]
根据旋转的性质,可得要使正方形ABCD和正方形DCGH重合,有3种方法,即可以分别绕点D,C,CD的中点旋转,即旋转中心有3个.
6.B
7.105° [解析]
由题意可得AB=AB',∠BAB'=30°,所以∠B=∠AB'B=75°.又因为四边形ABCD是平行四边形,所以∠C=180°-∠B=105°.
8.A [解析]
由题意可得AE=AE',∠EAE'=90°.因为AD=AB=3,DE=1,所以AE'=AE==,所以EE'==2.
9.A [解析]
因为∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,所以∠CAB=30°,AB=4.
由题意可得A'B'=AB=4,∠A'=∠CAB=30°,∠A'B'C=∠B=60°,A'C=AC,
所以∠A'=∠CAA'=30°.
又因为∠A'B'C=∠CAA'+∠B'CA=60°,
所以∠CAA'=∠B'CA=30°,
所以AB'=B'C=BC=2,
所以AA'=A'B'+AB'=6.
10.2-2 [解析]
由题意知∠CAB=45°.由旋转可知∠CAC'=∠BAB'=15°,AC=AC',BC=B'C',
∴∠EAC'=30°,可得AC'=EC',结合阴影部分的面积为2,可得EC'=2,AC'=2.
∵AC=BC,∴AC'=B'C',
∴B'C'=2,∴B'E=B'C'-EC'=2-2.
11.2 [解析]
连接CE,如图图.
∵△ABC绕点A逆时针旋转60°,得到△ADE,
∴AD=AB=2,AE=AC,∠CAE=60°,∠AED=∠ACB=30°,
∴△ACE为等边三角形,
∴AE=CE,∠AEC=60°.
又∵∠AED=30°,
∴∠CED=30°=∠AED,
∴ED平分∠AEC,
∴DE垂直平分AC,
∴CD=AD=2.
故答案为2.
12.解:(1)∵AC=AD,∠CAD=60°,
∴△ACD是等边三角形,
∴DC=AC=4.故答案为4.
(2)如图图,过点D作DE⊥BC于点E.
∵△ACD是等边三角形,
∴∠ACD=60°.
又∵AC⊥BC,
∴∠DCE=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°,
∴在Rt△CDE中,DE=DC=2,CE==2,
∴BE=BC-CE=3-2=,
∴DB===.
13.D [解析]
∵旋转后AC'的中点恰好与点D重合,
即AD=AC'=AC,
∴在Rt△ACD中,∠ACD=30°,∠DAC=60°,
∴AD=,
∴∠C'AD'=60°,∴∠DAE=30°,
∴∠EAC=∠ACD=30°,∴AE=CE.
设AE=CE=x,则有DE=DC-CE=AB-CE=3-x.
在Rt△ADE中,根据勾股定理,得x2=(3-x)2+()2,解得x=2,
∴CE=2,则S△AEC=CE·AD=.
14.解:如图图,设B'C'与CD的交点为E,连接AE.在Rt△AB'E和Rt△ADE中,
∴Rt△AB'E≌Rt△ADE(HL),
∴∠DAE=∠B'AE.
∵旋转角为30°,∴∠DAB'=60°,
∴∠DAE=×60°=30°,
∴DE=AE,则DE2=4DE2-1,∴DE=,
∴阴影部分的面积=1×1-2××1×=1-.
15.B [解析]
连接PC.
在Rt△ABC中,
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=2,∴AB=4.
根据旋转的性质可知,A'B'=AB=4.
∵P是A'B'的中点,
∴PC=A'B'=2.
∵M是BC的中点,∴CM=BM=1.
∵PM≤PC+CM,即PM≤3,
∴PM的最大值为3(此时P,C,M三点共线).
16.1.5 [解析]
如图图,取AC的中点G,连接EG.
∵旋转角为60°,
∴∠ECD+∠DCF=60°.
又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°,
∴∠DCF=∠GCE.
∵AD是等边三角形ABC的对称轴,
∴CD=BC,∴CD=CG.
由旋转的性质,得EC=FC,
∴△DCF≌△GCE(SAS),
∴DF=GE.
根据垂线段最短,得当GE⊥AD时,GE的值最小,即DF的值最小.此时,
∵∠CAD=×60°=30°,AG=AC=3,
∴GE=AG=×3=1.5,即DF的最小值是1.5.
