广东省华南师大附中2012届高三综合测试数学文

华南师大附中高三综合测试
数 学(文科)
2012.5
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号填写在答题卡的密封线内．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 P (A+B) = P (A) + P (B)
锥体的体积公式 V = Sh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高
用最小二乘法求线性回归方程系数公式 ．
第一部分 选择题 (共50分)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如果复数 (2－bi)i (其中b R)的实部与虚部互为相反数，则b＝(***)
(A) －2 (B) 2 (C) －1 (D) 1
2．己知集合P={1,3}，集合Q={x| mx－1=0}，若Q P，则实数m的取值集合为(***)
(A) {1} (B) { } (C) {1，} (D) {0，1，}
3．与函数的图象相同的函数解析式是(***)
(A)y=2x1 (x> ) (B) y= (C) y= (x> ) (D)y=||
4．已知某个几何体的三视图如右，其中主视图和
左视图（侧视图）都是边长为a的正方形，俯
视图是直角边长为a的等腰直角三角形，则此
几何体的表面积为(***)
(A) (3+)a2 (B) 4a2
(C) (4+)a2 (D) 3a2
5．给定两个向量 a = (3,4)，b = (2,1)，若 (a + xb)⊥(a－b)，则 x 等于(***)
(A) －3 (B) (C) 3 (D) －
6．一个公司有N个员工，下设一些部门，现采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为n
的样本 (N是n的倍数)．已知某部门被抽取了m个员工，那么这一部门的员工数是 (***)
(A) (B) (C) (D)
7．直线的倾斜角为，则的值是(***)
(A) EQ \F(2,3) (B) － EQ \F(2,3) (C) 2 (D) －2
8．不等式a+b > |ab|成立的一个充分不必要条件是(***)
(A) a<1, b<1 (B) a>1, b<1 (C) a<1, b>1 (D) a>1, b>1
9．在等差数列 {an} 中，若 a3 + a8 + a13 = C，则其前 n 项的和 Sn 的值等于 5C 的是(***)
(A) S7 (B) S8 (C) S15 (D) S17
10．已知F1、F2为椭圆E的左右两个焦点，以F1为顶点，F2为焦点的抛物线C
恰好经过椭圆短轴的两个端点，则椭圆离心率为(***)
(A) (B) (C) (D)
第二部分 非选择题(共100分)
二、填空题：本大题共5小题，其中11～13是必做题，14～15是选做题，每小题5分，满分20分．
11．某校对文明班级的评选设计了a，b，c，d，e五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样本来计算各班的综合得分，S的值越高则评价效果越好．若某班在自测过程中各项指标显示出012．如果执行下面的程序框图，那么输出的结果是 *** ．
13． 给出以下四个命题，所有正确命题的序号为 *** ．
① 若定义在R上的偶函数f (x)在（0，+）上单调递增，
则f (x)在（－，0）上单调递减；
②函数y=的定义域为R，则k的取值范围
是0③ 要得到y = 3sin (2x+ )的图象，只需将y=3sin 2x的
图象左移 个单位；
④ 若函数 f (x) = x3－ax在[1,+)上是单调递增函数，
则a的最大值是3．
14． (坐标系与参数方程) 直线 = （ R）与直线
cos( － )=2 的交点的极坐标是*** ．
15．（几何证明选讲）AB是圆O的直径，EF与圆O相切于C，AD⊥EF于D，AD=2，AB=6，则AC的长为 *** ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．
16．(本小题满分12分)
一汽车厂生产舒适型和标准型两种型号的汽车，某年前5个月的销量如下表(单位:辆):
1月 2月 3月 4月 5月
舒适型 90 90 100 100 110
标准型 80 70 100 150 100
分别求两种汽车的月平均销售量；
从表中数据可以看出舒适型汽车的月销售量呈现直线上升的趋势，试根据前5个月的业绩预测6月舒适型汽车的销售量。
17．(本小题满分12分)
在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边, 已知向量m = (a，b)，向量
n = ( cosA，cosB)，向量p = (2sin ，2sinA)，若m∥n，p2 = 9，求证：
△ABC为等边三角形．
18．(本小题满分14分)
已知椭圆 (a>b>0)与直线x+y－1 = 0相交于A、B两点，且OA⊥OB (O为坐标原点)．
(I) 求 + 的值；
(II) 若椭圆长轴长的取值范围是［,］，求椭圆离心率e的取值范围．
19．(本小题满分14分)
如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为AB上的点，且AD =AE=DC=2，BE=1，将△ADE沿DE折叠到P点，使PC=PB．
(I) 求证：平面PDE⊥平面ABCD；
(II) 求四棱锥P－EBCD的体积．
20．(本小题满分14分)
设函数，
（1）求的单调区间和极值；
（2）若关于的方程有3个不同实根，求实数a的取值范围；
（3）已知当恒成立，求实数k的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知正项数列{an} 的前项和，．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）定理：若函数在区间D上是凹函数，且存在，则当 时，总有．
请根据上述定理，且已知函数是上的凹函数，证明：bn ≥ ．
华南师大附中高三综合测试
数学(文)参考答案
一、ADCAA BADCC
二、11．c；12．56；13．①④；14．( EQ \F(4,3) , )；15．2
16．(1)舒适型轿车的平均销售量为(90+90+100+100+110)=98辆,
标准型轿车的平均销售量为 (80+70+100+150+100)=100辆； 6分
(2)由列表
编号 x x2 y xy
1 1 1 90 90
2 2 4 90 180
3 3 9 100 300
4 4 16 100 400
5 5 25 110 550
求和 15 55 490 1520
代入公式可得b=5,a=83,
销售量关于月份的回归直线方程为y=5x+83，以x=6代入得y=113，即预测6月份舒适型汽车的销售量为113辆。 12分
17．证明：∵m∥n, ∴a cosB = b cosA． 2分
由正弦定理，得sin A cosB = sinB cosA，即sin(A－B) = 0． 4分
∵A、B为三角形内角, ∴∴AB=0， ∴即A = B． 6分
∵p2 = 9, ∴8sin2+ 4sin2A = 9． 8分
∴4［1－cos(B+C)］+4(1－cos2A) = 9,
即4cos2A－4cosA+1= 0, 10分
解得：cos A = ,
又∵0∴△ABC为正三角形。 12分
18．解：(I) 将x+y－1=0代入椭圆方程整理得：
(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2)=0．（*）
设A(x1, y1)、B(x2, y2)，则x1+x2=，x1x2=, 3分
而y1y2=(1－x1)(1－x2) = ． 4分
又∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0． 5分
∴+=0．即a2+b2 = 2a2b2
∴ + =2 ① 7分
经验证，此时方程(*)有解，∴+ =2． 8分
(2)将b2 = a2－c2，e = 代入①得：
2－e2 = 2a2(1－e2)． 10分
∴e2 = =1－，而2a∈[，]， 12分
∴≤ e 2 ≤ ．
而0 < e < 1，∴ EQ \F(,3) ≤ e ≤ EQ \F(,2) ．
故e的取值范围为［ EQ \F(,3) ， EQ \F(,2) ］． 14分
19．解：(I)取BC中点G，DE中点H，
连结PG，GH，HP．
∵ HG∥AB，∴ HG⊥BC
又∵ PB=PC，∴PG⊥BC
∴BC⊥平面PGH，
∴PH⊥BC，
∵PD=PE，H为DE中点，
∴PH⊥DE，而BC与DE相交
∴PH⊥平面BCDE
而PH 平面PDE
∴平面PDE⊥平面BCDE； 8分
(II) 由(I)可知，PH为四棱锥P－BCDE的高，
∵DC ∥ AE=2，且AD=AE，
∴四边形AECD为菱形，
∴CE=AD=2，而EB=1，EB⊥BC，
∴BC= =，DE=2，
∴PH=AH=
∴VP－BCDE = ×PH×S梯形BCDE
= ×× （1+2）×= 14分
20．解：（1）
x (, ) (,) (,+)
f ' (x) + 0 0 +
f (x) 递增 极大值 递减 极小值 递增
∴的单调递增区间是，单调递减区间是
∴当；
当． 5分
（2）由（1）知当的图象有3个不同交点，即方程有三解． 7分
（3）
∵上恒成立．
令，由二次函数的性质，上是增函数，
∴∴所求k的取值范围是 ． 14分
21．解：（1）当时，或．
由于{an} 是正项数列，所以．
当时，，
整理，得．
由于{an}是正项数列，∴．
∴数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．
从而，当时也满足．
∴（）． 5分
（2）由（1）知bn=(1+ )n
对于上的凹函数，有．
根据定理，得．　　　　　　　　　　　　
整理，得．
令，得．
∴，即．
∴bn∴{bn} 是单调递增数列，∴bn≥b1= . 14分
开始
k = 1, S=0
S≤50
是
否
S=S + 2k
k = k +1
输出S
结束