广东省华南师大附中2012届高三综合测试数学理

试卷类型：A
2012年华南师大附中高三综合测试
数学（理科）
本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知＝b－i, (a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝（ ）
A.－1 B．1 C．2 D．3
2.若{}为等差数列，是其前项的和，且，则=（ ）
A． B． C． D．
3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间上的任意，恒成立”的只有（ ）
A. B. C. D.
4.设、、 为不同的三个平面，给出下列条件：
① a、b为异面直线，a ，b ，a∥，b∥；
② 内不共线的三点到 的距离相等；
③ ⊥ ，⊥ ；
则其中能使 ∥ 成立的条件是( )
A.① B.② C.③ D.② ③
5.已知函数是R上的偶函数，且在区间上是增函数.令
，则
A. .B. C. D.
6.设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象经过区域M的a的取值范围是( )
A.[1,3] B.[2,] C.[2,9] D.[,9]
7．如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求
在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
8．如图，设点和为抛物线上除原点以外的两个动点，已知，，则点的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＋4px＝0 B．x2＋y2－4px＝0
C．x2＋y2＋4py＝0 D．x2＋y2－4py＝0
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9.=_______
10.已知平面向量，满足，，与的夹角为，若，则实数的值为________
11.若框图所给的程序运行结果为S = 41，那么判断框中应填入的
关于的条件是 __ .
12.设,若，则r的最小值是________.
13.已知数组：
记该数组为：,则______
（二）选做题（请考生在以下两个小题中任选一题做答）
14.（几何证明选讲选做题）如右图，已知是圆的直径，，为圆上任意一点，过点做圆的切线分别与过两点的切线交于点，则____________．
15.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的参数方程为（为参数），则曲线上的点到直线的距离的最大值为_____________．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）在中,分别为内角所对的边，且满足.
(Ⅰ)求的大小；
(Ⅱ)现给出三个条件：①； ②；③.
试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择并以此为依据求的面积.(只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分)
17．（本小题满分12分）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定：居民区中的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：
组别 PM2.5（微克/立方米） 频数（天） 频率
第一组 (0,15] 4 0.1
第二组 (15,30] 12 0.3
第三组 (30,45] 8 0.2
第四组 (45,60] 8 0.2
第五组 (60,75] 4 0.1
第六组 (75,90) 4 0.1
(Ⅰ) 写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；
（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；
（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望．
18．（本小题满分14分）如图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．求：
（Ⅰ）直线到平面的距离；
（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．
19．（本小题满分14分）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）求四边形面积的最大值．
20．（本小题满分14分）设不等式所表示的平面区域记为，并记内的格点（，）
（、∈Z）的个数为（∈）.
（Ⅰ）求，f (2)，f (3)的值及的表达式；
（Ⅱ）记，若对于任意∈，总有≤m成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）设为数列｛｝的前项和，其中＝，问是否存在正整数、t，使＜成立？若存在，求出正整数，t；若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分14分）设函数.
(Ⅰ)当x=6时, 求的展开式中二项式系数最大的项；
(Ⅱ)对任意的实数x, 证明＞
(Ⅲ)是否存在, 使得an＜＜恒成立 若存在, 试证明你的结论并求出a的值；若不存在, 请说明理由.
2012年华南师大附中高三综合测试（三）
理科数学参考答案
一．选择题
1．解: 因为,所以,故a＋b＝3,选D.
2. 解：= ，所以＝.选B.
4.解：由①可推出∥；由②推不出∥；由③推不出∥，选A.
5.解：，
因为，所以，所以，选A．
6.解：通过画图知，平面区域M是以三点A（1，9）、B（2，10）、C（3，8）为顶点的三角形边界及其内部，函数的图象分别过A（1，9）、C（3，8）时，求得a=9或a=2,依条件知，其他函数的图象夹在与之间，故2≤a≤9,选C.
7．解：分三类：种两种花有种种法；种三种花有种种法；
种四种花有种种法.共有.选B.
另解：按顺序种花，可分同色与不同色有，选B.
8． 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M (x，y)，AB与x轴交于N (m,0)，
设直线AB的方程为x＝ky＋m，代入y2＝4px得y2－4pky－4pm＝0.
∴y1y2＝－4pm，∴kOA·kOB＝·＝·＝＝－＝－1，
∴m＝4p. 即直线AB过定点N (4p,0)．又OM⊥AB，∴⊥，
又∵＝(x，y)，＝(x－4p，y)，∴x(x－4p)＋y2＝0 故所求的轨迹方程为x2＋y2－4px＝0.选B.
二.填空题
9.解：＝=(e +1)－1＝e.
10.解:因为，所以,解得.
11.解：.即
12.解：集合M是以四点A（1，0），B（0，1），C（－1，0），D（0，－1）为顶点的正方形外部的点组成的区域（包括正方形的边界），而集合N是以原点为圆心，1为半径的圆内的点组成的区域（包括边界），若，当圆与正方形ABCD四边相切时r最小，可求得最小值是 EQ \F(,2)
13.答案：（也可表示成15）。由排数的规律得，计算得，第63组最后一项是，.
14.解：依条件有 BQ－AP＝CQ－CP. 过P点作BQ的垂线，构造直角三角形，且有PQ2 ＝ AB2 +（BQ－AP）2 （BQ+AP）2＝42+（BQ－AP）2 4。
15.解：曲线C的普通方程为(x－2)2 + y2 =1，圆心C(2，0)到直线的距离是d = EQ \F(｜3×2－4×0+4|,) =2，故曲线C上的点到直线的距离的最大值为3。
三．解答题
16.解:(Ⅰ)依题意得,即
∵,∴,∴,∴
(Ⅱ)方案一：选择①②.
由正弦定理，得,
.
方案二：选择①③
由余弦定理,有,则,,
所以.
说明:若选择②③,由得，,不成立,这样的三角形不存在.
17.解：(Ⅰ) 众数约为22.5微克/立方米, 中位数约为37.5微克/立方米．
（Ⅱ）去年该居民区PM2.5年平均浓度为
（微克/立方米）．
因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．
（Ⅲ）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则.
随机变量的可能取值为0,1,2.且 ～.
所以，
所以变量的分布列为
0 1 2
（天）或（天）.
18.解法一:（Ⅰ）∵AB∥DC，DC 平面, AB 平面EFCD，∴AB∥平面EFCD，∴AB到面的距离等于点A到面的距离。∵FA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，∴FA⊥AB.又由, 得AD⊥AB，而AF，AD 平面ADF，AF∩AD＝A，∴AB⊥平面ADF。∵CD∥AB，∴CD⊥平面ADF，而CD 平面CDEF，∴平面CDFE⊥平面ADF，且平面CDFE∩平面ADF＝FD。过点A作于G，则AG⊥平面CDEF，即AG长为点A到平面EFCD的距离.由上述证明知CD⊥DF，△CDF为直角三角形，由CD=2,FC=3 FD=,又在直角△FAD中，由AD＝2 AF＝1 AG＝，即直线到平面的距离为。
（Ⅱ）由己知，平面，得AD，又由，知，而AB，AF 平面ABFE，故平面ABFE ，所以为二面角的平面角，记为.
在中, ,在平行四边形ABFE中，EF∥AB，又BA⊥平面ADF，∴EF⊥平面ADF，又AF平面ADF，∴EF⊥AF。在直角△EFA中，由AE＝，AF＝1 cos = EQ \F(1,) tan =.
解法二: （Ⅰ）以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系,如图.
则A(0,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0),设
可得,由.即,
解得 ∥，面,
所以AB∥平面EFCD，故直线AB到面的距
离等于点A到面的距离。
设平面CDF的法向量为,则⊥且⊥
EQ \B\LC\{(\A\AL( ·＝0,·＝0)) ,又，，故得 取y1=1,得,则点A到平面CDFE的距离是d= EQ \F(|·|,||) = EQ \F(2,) = EQ \F(2,5)
（Ⅱ）因四边形为平行四边形,则可设, .由得,解得.即.故
由,，易知, AD⊥AE，AD⊥AF，又平面ADE∩平面ADF＝AD，故为二面角的平面角。
cos∠FAE= EQ \F(·,｜｜｜｜) = EQ \F(1,) tan∠FAE=.
19.解：（Ⅰ）依题设得椭圆的方程为，
直线的方程分别为，.
如图，设，其中，
且满足方程，故………①
由知，得；
由在上知，得．所以，
化简得，解得或．
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，
．
又，所以四边形的面积为
，
当且仅当即当时，上式取等号．所以的最大值为．
解法二：由题设，，．
设，，由①得，，
故四边形的面积为
，当时，上式取等号．所以的最大值为．
20.解：（Ⅰ）＝3，＝6，f (3)＝9.
由＞0，0＜≤，得0＜＜3，又∈，∴＝1，或＝2.
当＝1，0＜≤2时，共有2个格点；
当＝2，0＜≤时，共有个格点.
故.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知＝，则－＝.
∴当≥3时，＜.
又＝9＜＝＝，所以对一切正整数n,有≤，故≥.
（Ⅲ）假设存在满足题意的和，
由（1）知＝＝，故.
则＜.
变形得＜，即＜0.
∴1＜（8－）＜15，由于、均为正整数，所以＝＝1.
附:, .
当时, 由,得,.
当时, ,由,得,不存在.
所以＝＝1.
21.解（Ⅰ）：展开式中二项式系数最大的项是第4项，第4项是=.
（Ⅱ）证法一：因
证法二：
因
而,故只需对和进行比较。
令，有
由，得,因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值,故当时，，从而有，亦即,故有恒成立。所以，原不等式成立。
（Ⅲ）对，且
有
,
又因，故
∵，从而有成立，
即存在，使得恒成立。
D
B
C
A
D
B
C
A
D
F
B
y
x
A
O
E