《11.2与三角形有关的角》同步优生辅导训练（附答案）2021-2022学年八年级数学人教版上册

2021-2022学年人教版八年级数学上册《11.2与三角形有关的角》
同步优生辅导训练（附答案）
1．如果三角形的两个内角都小于40°，那么这个三角形是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，点D在AB上，将△ABC沿CD折叠，点B落在边AC的点E处．若∠ADE＝30°，则∠A的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
3．如图，△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿DE折叠，使得点B落在AC边上的点F处，若∠CFD＝60°且△AEF中有两个内角相等，则∠A的度数为（　　）
A．30°或40° B．40°或50° C．50°或60° D．30°或60°
4．如图，点E，F在AC上，∠B＝∠D＝90°，则下列结论正确的是（　　）
A．∠A＝∠C B．DE∥BF C．AE＝CF D．∠D＝∠A+∠AFB
5．如图，y与x的关系式为（　　）
A．y＝x+55 B．y＝x﹣35 C．y＝125﹣x D．y＝x+35
6．如图，已知a∥b，在Rt△ABC中∠A＝60°，∠C＝90°．若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
7．如图，点C是∠BAD内一点，连CB、CD，∠A＝80°，∠B＝10°，∠D＝40°，则∠BCD的度数是（　　）
A．110° B．120° C．130° D．150°
8．如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AD平分∠BAC，则∠ADC的度数是（　　）
A．80° B．82° C．98° D．100°
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高，若∠B＝20°，则∠DAC＝（　　）
A．90° B．20° C．45° D．70°
10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若∠B＝42°，∠BAD＝28°，则∠C的度数是 　 　度．
11．在△ABC中，∠A＝55°，高BE、CF所在的直线相交于点O，则∠BOC度数为 　 　°．
12．在△ABC中，∠BAC＝50°，BE、CF是△ABC的高，直线BE、CF交于点H，则∠BHC的度数是 　 　．
13．如图△ABC中，将边BC沿虚线翻折，若∠1+∠2＝110°，则∠A的度数是 　 　度．
14．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折形成的，若∠BAC＝135°，则∠EFC的度数是　 　．
15．如图，BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线，BA2是∠A1BD的角平分线，CA2是∠A1CD的角平分线，BA3是∠A2BD的角平分线，CA3是∠A2CD的角平分线，若∠A1＝α，则∠A2021为　 　．
16．将一副直角三角板如图放置，∠A＝30°，∠F＝45°．若边AB经过点D，则∠EDB＝　 　°．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，AF平分外角∠BAD，BE与FA交与点E，则∠E的度数 　 　．
18．如图，把△ABC沿EF折叠，使点A落在点D处，
（1）若DE∥AC，试判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由；
（2）若∠B+∠C＝130°，求∠1+∠2的度数．
19．如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．
（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为 　 　（只填序号），并说明理由；
①∠DAE＝∠1
②∠DAE＝2∠1
③∠1＝2∠DAE
（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．
20．在△ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，点P是边AB上的一个动点，
（1）如图，若∠ACB＝90°，
①当∠DPE＝75°时，求∠ADP+∠BEP的度数；
②当∠DPE＝60°时，则∠ADP+∠BEP＝　 　°；
（2）若∠ACB＝m，当∠DPE＝n时，请直接用含m，n的式子表示∠ADP+∠BEP的度数．
21．如图1．△ABC的外角平分线BF、CF交于点F．
（1）若∠A＝50°．则∠F的度数为 　 　；
（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M、N．若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与a+β满足的数量关系是 　 　；
（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．
①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间满足的数量关系，并说明理由；
②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出三者之间满足的数量关系．
参考答案
1．解：∵三角形的两个内角都小于40°，
∴这两个内角的和＜80°，
∵三个内角的和＝180°，
∴另一个角＞100°，
∴这个三角形是钝角三角形，
故选：C．
2．解：∵在△ABC中，∠ACB＝80°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB
＝100°﹣∠A，
∵将△ABC沿CD折叠，点B落在边AC的点E处，
∴∠CED＝∠B＝100°﹣∠A，
∵∠CED是△ADE的一个外角，∠ADE＝30°，
∴∠CED＝∠A+∠ADE
100°﹣∠A＝∠A+30°
解得：∠A＝35°．
故选：C．
3．解：①当AE＝AF时，则∠AFE＝∠AEF＝（180°﹣∠A），
∵∠B＝∠EFD＝90°﹣∠A，∠CFD＝60°，
∴∠AFD＝120°，
∴（180°﹣∠A）+90°﹣∠A＝120°，
∴∠A＝40°．
②当AF＝EF时，∠AFE＝180°﹣2∠A，
同法可得180°﹣2∠A+90°﹣∠A＝120°，
∴∠A＝50°．
③当AE＝EF时，点F与C重合，不符合题意．
综上所述，∠A＝40°或50°，
故选：B．
4．解：∵∠B＝90°，
∴∠A+∠AFB＝180°﹣90°＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠D＝∠A+∠AFB．
故选：D．
5．解：∵∠BAB+∠B+∠C＝180°，x+∠BCA＝180°，
∴x＝35+y，
即y＝x﹣35，
故选：B．
6．解：如图，延长AC交直线b于T．
∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝50°，
∴∠2＝∠A+∠3＝60°+50°＝110°，
故选：B．
7．解：延长BC交AD于E，
∵∠BED是△ABE的一个外角，∠A＝80°，∠B＝10°，
∴∠BED＝∠A+∠B＝90°，
∵∠BCD是△CDE的一个外角
∴∠BCD＝∠BED+∠D＝130°，
故选：C．
8．解：∵∠B＝32°，∠C＝48°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣32°﹣48°＝100°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝BAC＝50°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝32°+50°＝82°，
故选：B．
9．解：∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠BAD＝90°，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠BAD+∠B＝90°，
∴∠DAC＝∠B＝20°，
故选：B．
10．解：∵AD平分∠BAC，∠BAD＝28°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝56°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝82°，
故答案为：82．
11．解：本题要分两种情况讨论如图：
①当交点在三角形内部时（如图1），
在四边形AFOE中，∠AFC＝∠AEB＝90°，∠A＝55°，
根据四边形内角和等于360°得，
∠EOF＝180°﹣∠A＝180°﹣55°＝125°．
故∠BOC＝125°．
②当交点在三角形外部时（如图2），
在△AFC中，∠A＝55°，∠AFC＝90°，
故∠1＝180°﹣90°﹣55°＝35°，
∵∠1＝∠2，
在△CEO中，∠2＝35°，∠CEO＝90°，
∴∠EOF＝180°﹣90°﹣35°＝55°，即∠BOC＝55°．
故答案为：125或55．
12．解：
如图1点H在△ABC的内部，
∵BE，CF是△ABC的高，
∴∠BEA＝∠CFA＝90°，
∴∠EHF＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，
∴∠BHC＝130°；
如图2，点H在△ABC的外部，
同理得到∠BEA＝∠CFA＝90°，
∵∠HCE＝∠ACF，
∴∠BHC＝∠A＝50°，
综上所述，∠BHC的度数为50°或130°．
故答案为：50°或130°．
13．解：如图，
延长B'E，C'F，交于点D，
由折叠可得，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'，
∴∠A＝∠D，
又∵∠1+∠2＝110°，
∴∠AED+∠AFD＝360°﹣110°＝250°，
∴四边形AEDF中，∠A＝（360°﹣250°）＝55°，
故答案为：55．
14．解：由折叠的性质可得：∠ACB＝∠ACD，∠ABE＝∠ABC，
在△ABC中，
∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝45°，
∴∠EFC＝∠FBC+∠FCB＝2（∠ABC+∠ACB）＝90°．
故答案为：90°．
15．解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，
∴∠A1＝∠A，
同理理可得∠A2＝∠A1，∠A3＝∠A2，……
则∠A2021＝∠A1＝．
故答案为：．
16．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ABC＝∠F+∠BDF，∠F＝45°，
∴∠BDF＝∠ABC﹣∠F＝60°﹣45°＝15°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠EDB＝∠EDF﹣∠BDF＝90°﹣15°＝75°，
故答案为75．
17．解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝．
∵AF平分外角∠BAD，
∴∠FAB＝．
又∵∠BAD＝∠C+∠ABC＝90°+∠ABC，
∴∠EAB＝．
又∵∠FAB＝∠E+∠ABE，
∴∠E＝∠FAB﹣∠ABE＝45°+﹣＝45°．
故答案为：45°．
18．解：（1）∠1＝∠2，理由如下：
∵∠D是由∠A翻折得到，
∴∠D＝∠A，
∵DE∥AC，
∴∠1＝∠A，∠2＝∠D，
∴∠1＝∠2．
（2）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠AEF+∠AFE＝180°，
∴∠AEF+∠AFE＝∠B+∠C＝130°，
∵△DEF是△AEF由翻折得到，
∵∠AED＝2∠AEF，∠AFD＝2∠AFE，
∴∠AED+∠AFD＝260°，
∵∠1+∠2+∠AED+∠AFD＝360°，
∴∠1+∠2＝100°．
19．解：（1）由题意得：∠DAE＝∠DA′E．
∵∠1＝∠EAD+∠EA′D＝2∠DAE．
故答案为：③．
（2）∠1+∠2＝2∠DAE，理由如下：
如图2，连接AA′．
由题意知：∠EAD＝∠EA′D．
∵∠1＝∠A′AE+∠AA′E，∠2＝∠A′AD+∠AA′D，
∴∠1+∠2＝∠EAA′+∠A′AD+∠EA′A+∠AA′D＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD．
20．解：（1）①∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝90°，
∵∠A+∠APD+∠ADP＝180°，∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，∠APD+∠BPE＝180°﹣∠DPE＝105°，
∴∠A+∠APD+∠ADP+∠B+∠BPE+∠BEP＝180°+180°，
（∠A+∠B）+（∠APD+∠BPE）+（∠ADP+∠BEP）＝360°，
90°+105°+（∠ADP+∠BEP）＝360°，
解得：∠ADP+∠BEP＝165°；
②同理①可得：∠APD+∠BPE＝180°﹣∠DPE＝120°，
可求得：∠ADP+∠BEP＝150°；
故答案为：150；
（2）①∵∠ACB＝m，
∴∠A+∠B＝180°﹣m，
∵∠A+∠APD+∠ADP＝180°，∠B+∠BPE+∠BEP＝180°，∠APD+∠BPE＝180°﹣∠DPE＝180°﹣n，
∴∠A+∠APD+∠ADP+∠B+∠BPE+∠BEP＝180°+180°，
（∠A+∠B）+（∠APD+∠BPE）+（∠ADP+∠BEP）＝360°，
180°﹣m+180°﹣n+（∠ADP+∠BEP）＝360°，
解得：∠ADP+∠BEP＝m+n．
21．解：（1）如图1，
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∴∠DBC﹣∠ECB＝360°﹣130°＝230°，
又∵△ABC的外角平分线交于点F，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECD）＝×230°＝115°，
∴△BCF中∠F＝180°﹣115°＝65°，
故答案为65°；
（2）如图2，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，
又∵△ABC的外角平分线交于点F，
∴∠FBC+∠FCB＝（∠DBC+∠ECB）＝×（180°+∠A）＝90°+∠A，
∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A，
又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，
∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，
∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，
∴α+β+90°﹣∠A＝180°，
即α+β﹣∠A＝90°，
故答案为：α+β﹣∠A＝90°；
（3）①α+β﹣∠A＝90°，理由如下：
如图3，
由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，
∴α+β+90°﹣∠A＝180°，
即α+β﹣∠A＝90°，
②当直线MN与线段BC有交点时，①中∠A与α，β之间的数量关系不成立，
分两种情况：
如图4，当M在线段AB上，N在AC延长线上时，
由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，
∴90°﹣∠A﹣α+β＝180°，
即β﹣α﹣∠A＝90°；
如图5，
当M在AB的延长线上，N在线段AC上时，
由（2）可得，∠BFC＝90°﹣∠A，
∴∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，
∴90°﹣∠A﹣β+α＝180°，
即α﹣β﹣∠A＝90°；
综上所述，∠A与α，β之间的数量关系为β﹣α﹣∠A＝90°或α﹣β﹣∠A＝90°．