12.3角的平分线的性质 培优提升专题训练 2021-2022学年人教版八年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022人教版八年级数学上册《12.3角的平分线的性质》培优提升专题训练（附答案）
1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝10cm，点D到AB的距离为4cm，则BD的长为（　　）
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm
2．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC，垂足为E，若AB＝12，DE＝4，则△ABD的面积是（　　）
A．4 B．12 C．24 D．48
3．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝4.2，F是射线OB上的任一点，则DF的长度不可能是（　　）
A．3.9 B．4.2 C．4.7 D．5.84
4．如图，已知△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝10，则△DEB的周长为（　　）
A．9 B．5 C．10 D．不能确定
5．如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库，计划使得该油库到三条公路的距离相等，则油库的可选位置有（　　）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（　　）
A．64 B．48 C．32 D．42
7．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D，如果AE+DE＝3cm，那么AC等于（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
8．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，∠A＝64°，则∠BOC的度数为（　　）
A．58° B．64° C．122° D．124°
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（　　）
A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2
11．如图，△ABC中，∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，连接PC，若△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3，则S1　 　S2+S3．（填“＞”“＜”或“＝”）
12．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝1cm，则PD的长的最小值为 　 　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，则点D到BC的距离是 　 　．
14．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC＝3，且BD：DC＝5：4，AB＝5，则△ABD的面积是　 　．
16．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝3，BC＝6，CD＝4，则四边形ABCD的面积是　 　．
17．如图，△ABC中，AB＝5cm，AC＝12cm，B＝13cm，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，则线段PD的长为 　 　cm．
18．如图，△ABE中，∠E＝90°，AC是∠BAE的角平分线．
（1）若∠B＝40°，求∠BAC的度数；
（2）若D是BC的中点，△ADC的面积为16，AE＝8，求BC的长．
19．如图，点B，C分别在∠A的两边上，点D是∠A内一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且AB＝AC，DE＝DF．求证：BD＝CD．
20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．
参考答案
1．解：过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝4cm，
∴BD＝BC﹣DC＝10﹣4＝6（cm），
故选：C．
2．解：过D点作DF⊥AB于F，如图，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DF＝DE＝4，
∴S△ABD＝×12×4＝24．
故选：C．
3．解：过D点作DH⊥OB于H，如图，
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB，
∴DH＝DE＝4.2，
∵F是射线OB上的任一点，
∴DF≥4.2．
故选：A．
4．解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE，
∵AC＝BC，
∴BC＝AE，
∴△DEB的周长＝BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AE+BE＝AB＝10．
故选：C．
5．解：如图，油库的可选位置有4处．
故选：D．
6．解：连接AM，过M作ME⊥AB于E，MF⊥AC于F，
∵MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，MD⊥BC，MD＝4，
∴ME＝MD＝4，MF＝MD＝4，
∵△ABC的周长是16，
∴AB+BC+AC＝16，
∴△ABC的面积S＝S△AMC+S△BCM+S△ABM
＝
＝×AC×4++
＝2（AC+BC+AB）
＝2×16＝32，
故选：C．
7．解：∵BE平分∠ABC，∠ACB＝90°，DE⊥AB于点D，
∴DE＝EC，
∵AE+DE＝3（cm），
∴AE+EC＝3（cm），
即：AC＝3cm，
故选：B．
8．解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
即O点到BA和BC的距离相等，O点到CA和CB的距离相等，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）
＝90°+∠A
＝90°+×64°
＝122°．
故选：C．
9．解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
故选：D．
10．解：作DH⊥BC于点H，如图：
∵BE平分∠ABC，CF⊥AB，DH⊥BC．
∴DH＝DF．
∵DF＝3cm．
∴DH＝3cm．
∵BC＝8cm．
∴△CDB的面积为：＝12cm2．
故选：A．
11．解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，
∵∠CAB和∠CBA的角平分线交于点P，
∴PD＝PF，PD＝PE，
∴PD＝PE＝PF，
设PD＝PE＝PF＝t，
∵S1＝PD?AB＝?AB，S2+S3＝PE?BC+PF?AC＝?（BC+AC），
而AB＜BC+AC，
∴S1＜S2+S3．
故答案为＜．
12．解：过P点作PE⊥OB于E，如图，
∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PC＝1cm，
∵点D是OB上的动点，
∴PD的最小值为1cm．
故答案为1cm．
13．解：过点D作DE⊥BC于E，则DE为点D到BC的距离，
在Rt△ABD中，∠A＝90°，AB＝4，BD＝5，
由勾股定理得：AD＝＝＝3，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DE⊥BC，
∴DE＝AD＝3，
故答案为：3．
14．解：如图所示，过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA＝PE，PD＝PE，
∴PE＝PA＝PD，
∵PA+PD＝AD＝8，
∴PA＝PD＝4，
∴PE＝4，即点P到BC的距离是4．
故答案为：4．
15．解：作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
∵BC＝3，且BD：DC＝5：4，
∴DC＝3×＝，
∴DE＝，
∵AB＝5，DE⊥AB，
∴△ABD的面积是：＝＝，
故答案为：．
16．解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝4，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，
＝AB?DE+BC?CD，
＝×3×4+×6×4，
＝18．
故答案为：18．
17．解：过P点作PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接AP，如图，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，
∴PD＝PE，PD＝PF，
∴PD＝PE＝PF，
∵S△PAB+S△PBC+S△PAC＝S△ABC，
∴?AB?PE+?BC?PD+?PF?AC＝?AB?AC，
即×5×PE+×13×PD+×12×PF＝×5×12，
∴（5+12+13）PD＝60，解得PD＝2（cm）．
故答案为2．
18．解：（1）∵∠B＝40°，∠E＝90°，
∴∠BAE＝90°?40°＝50°，
∵AC是∠BAE的角平分线，
∴∠BAC＝∠BAE＝25°；
（2）∵S△ADC＝DC?AE，
∴×DC×8＝16，
∴DC＝4，
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝8．
19．证明：连接AD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中
，
∴△ABD≌△ACD，（SAS），
∴BD＝CD．
20．（1）证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC，
∴点D在∠ABC的平分线上，
∴BD平分∠ABC．
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝36°，
∴∠ABC＝54°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝27°．