初中数学华师大版九年级上学期第23章 23.1 成比例线段 同步练习
一、单选题
1．（2021八下·泰山期末）下面四组线段中，成比例的是（ ）
A．a=2，b=3，c=4，d=5 B．a=1，b=2，c=2，d=4
C．a=4，b=6，c=8，d=10 D．a= ，b= ，c=3，d=
2．（2021·丽水）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F乙、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ ）
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
3．（2021·漳浦模拟）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为 ，则小凡的身高约为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·顺城模拟）若 ，且 ，则 的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2020九上·顺义期末）如果 （ ），那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·南岗模拟）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，DE的延长线交BC的延长线于点F，DG∥BC交AC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·深圳模拟）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝2，BC＝3，DE＝1.6，则EF＝（ ）
A．2.4 B．1.8 C．2.6 D．2.8
8．（2020九上·襄汾期中）如图，已知 ，它们依次交直线 、 于点 、 、 和点 、 、 ，如果 ， ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则 （ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题
10．（2021八下·天桥期末）如果 ＝ ，那么 ＝ ；
11．（2021·重庆）如图， 中，点D为边BC的中点，连接AD，将 沿直线AD翻折至 所在平面内，得 ，连接 ，分别与边AB交于点E，与AD交于点O.若 ， ，则AD的长为 .
12．（2021七下·宜州期中）如图，三角形 是直角三角形 沿着 平移得到的，若 ， ， ，则图中阴影部分的面积为 .
13．（2021·余杭模拟）如图，已知AC∥EF∥BD.如果AE：EB＝2：3，CF＝6.那么CD的长等于 .
14．（2021九下·盐城月考）如图，在平面直角坐标系中，双曲线 （ ）与直线 （ ）交于A、B两点，点H是双曲线第一象限上的动点（在点A左侧），直线AH、BH分别与y轴交于P、Q两点，若 ， ，则a-b的值为 .
三、解答题
15．（2021·龙岩模拟）如图，证明：三角形一内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.（要求：在给出的△ABC中用尺规作出∠A的角平分线AD交BC于D，保留作图痕迹，不要求写出作法，并根据图形写出已知、求证和证明.
16．（2021九上·北仑月考）已知线段c是线段a，b的比例中项，若 ， ，求线段c的长.
17．（2020九上·利辛期中）如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
四、综合题
18．（2021·浦东模拟）如图，已知AD BE CF，它们依次交直线 、 于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求 的值；
（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】，所以选项错误；
，所以选项正确；
，所以选项错误；
，所以选项错误。
故答案为：B。
【分析】根据成比例线段的概念进行求解即可。
2．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，
阻力×阻力臂是定值，即水桶的重力和水桶随杆的拉力作用点到支点的杆长固定不变，
∴动力越小，动力臂越大，即阻力越小，压力的作用点到支点的距离越远，
∴F乙最小，
∴乙同学到到支点的距离最远.
故答案为：B.
【分析】利用杠杆原理可知阻力×阻力臂=动力×动力臂，以及水桶的拉力和水桶对杠杆的拉力点到支点的杆长乘积为定值进行判断即可.
3．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意得：
头顶至肚脐的长度为 ，
∴ ，
∴小凡的身高约为 ；
故答案为：C.
【分析】根据黄金分割比求出头顶至肚脐的长度为 ，然后再加上 肚脐至足底的长度即得结论.
4．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由题意可得a=0.75b，
代入a+b=14可得：1.75b=14，
∴b=8，
∴a=8×0.75=6，
∴2a-b=2×6-8=4，
故答案为：B．
【分析】由题意可得a、b的值，从而得到2a-b的值．
5．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】A、由 ，可得到 ，A不符合题意；
B、由 ，可得到 ，B不符合题意；
C、由 ，可得到 ，C符合题意；
D、由 ，可得到 ，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据比例的性质逐项判定即可。
6．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DG∥BC，
∴△DEG∽△FEC，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】先求出△DEG∽△FEC，再求出 ，即可作答。
7．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵a∥b∥c，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴EF＝2.4．
故答案为：A．
【分析】根据平行线分线段成比例的定理到 ＝ ，在利用比例性质可求出EF的长。
8．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得：CE= ，
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例，求出BC=3CE，继而利用BC+CE=BE=10，计算得到CE的长度即可。
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：设 ，
四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
故答案为：A.
【分析】设，先证 ，再证 ，可得 ，由，可得，根据平行线分线段成比例可得 ，可得， ，利用三角形的面积公式即可结论.
10．【答案】5
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，
∴设x=3k，y=k，
∴ ；
故答案为5
【分析】根据已知条件求得x=3y，再代入求值。
11．【答案】3
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：由翻折可知
∴O是 的中点，
∵点D为边BC的中点，O是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：3.
【分析】利用折叠的性质可证得再证明OD是△C＇CB的中位线，利用三角形的中位线定理可求出OD的长，同时可证得OD∥BC＇，利用平行线分线段成比例定理，可求出AO的长；然后根据AD=AO+OD，可求出AD的长.
12．【答案】9
【知识点】三角形的面积；平移的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：由平移的性质知，DE=AB=5cm，HE=DE-DH=4cm，CF=BE=2cm，HC∥DF，∠DEF=∠B=90°，
∴ ，即 ，
∴EC=8(cm)，EF=EC+CF=10（cm），
∴SHDFC=S△EFD-S△ECH= DE EF- EH EC=9（cm2）.
故答案为：9.
【分析】根据平移的性质可得：DE=AB=5cm，HE=DE-DH=4cm，CF=BE=2cm，HC∥DF，然后根据平行线分线段成比例可求得EC，进而得到EF，最后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行求解.
13．【答案】15
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AC∥EF∥BD，CF＝6，
，
∴DF=9，
∴CD=DF+CF=9+6=15.
故答案是：15.
【分析】利用平行线分线段成比例定理，列出比列式，然后求出DF的长，继而可求出CD的长.
14．【答案】-2
【知识点】反比例函数图象的对称性；三角形全等及其性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：作AM⊥y轴，BN⊥y轴，HG⊥y轴，则AM∥BN∥HG，如图
∵反比例函数的图象是中心对称图形，
∴OA=OB，
∵∠AOM=∠BON，∠AMO=∠BNO=90°，
∴△AOM≌△BON，
∴AM=BN，OM=ON，
∵AM∥HG，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵BN∥HG，
同理可证 ，
∵ ，
∴ ；
∴ ；
故答案为： .
【分析】作AM⊥y轴，BN⊥y轴，HG⊥y轴，则AM∥BN∥HG，由反比例函数的对称性可得OA=OB，推出△AOM≌△BON，得到AM=BN，OM=ON，根据平行线的性质以及已知条件表示出a、b，然后求出a-b.
15．【答案】解：如图所示，AD即为所求
已知：△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D
求证： .
证明：过 作 ，交 的延长线于 ，
∴∠1＝∠E，∠2＝∠3，
∵AD是角平分线，
∴∠1＝∠2.
∴∠3＝∠E（等量替换），
∴AC＝AE
又∵AD∥CE，
∴
∴
【知识点】等腰三角形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【分析】 过C作CE∥DA，交BA的延长线于E， 根据等腰三角形的性质和平行线分线段成比例可得结果.
16．【答案】解：
∵c＞0，∴
【知识点】比例线段
【解析】【分析】由已知条件：线段c是线段a，b的比例中项，可得到c2=ab，将a，b代入可求出线段c的值.
17．【答案】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，
∴ ，
∵AF：BF=1：2，
∴ = ，
∴ ，
即FE= BC，
∵BC：CD=2：1，
∴CD= BC，
∵FE∥BD，
∴ ．
即FN：ND=2：3．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】 过点F作FE∥BD，交AC于点E ，再根据平行线分线段成比例进行作答即可。
18．【答案】（1）解：∵AD BE CF，
∴ ，
∵AB=6，BC=8，
∴ ，
故 的值为
（2）解：如图，过点A作AG DF交BE于点H，交CF于点G，
∵AG DF，AD BE CF，
∴AD=HE=GF=5，
∵CF=19，
∴CG=CF-GF=14，
∵BE CF，
∴ ，
∴ ，
解得BH=6，
∴BE=BH+HE=11．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据AD BE CF可得 ，由此计算即可；
（2）过点A作AG DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期第23章 23.1 成比例线段 同步练习
一、单选题
1．（2021八下·泰山期末）下面四组线段中，成比例的是（ ）
A．a=2，b=3，c=4，d=5 B．a=1，b=2，c=2，d=4
C．a=4，b=6，c=8，d=10 D．a= ，b= ，c=3，d=
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】，所以选项错误；
，所以选项正确；
，所以选项错误；
，所以选项错误。
故答案为：B。
【分析】根据成比例线段的概念进行求解即可。
2．（2021·丽水）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力F甲、F乙、F丙、F丁，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若F乙＜F丙＜F甲＜F丁，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ ）
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，
阻力×阻力臂是定值，即水桶的重力和水桶随杆的拉力作用点到支点的杆长固定不变，
∴动力越小，动力臂越大，即阻力越小，压力的作用点到支点的距离越远，
∴F乙最小，
∴乙同学到到支点的距离最远.
故答案为：B.
【分析】利用杠杆原理可知阻力×阻力臂=动力×动力臂，以及水桶的拉力和水桶对杠杆的拉力点到支点的杆长乘积为定值进行判断即可.
3．（2021·漳浦模拟）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 （ ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为 ，则小凡的身高约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意得：
头顶至肚脐的长度为 ，
∴ ，
∴小凡的身高约为 ；
故答案为：C.
【分析】根据黄金分割比求出头顶至肚脐的长度为 ，然后再加上 肚脐至足底的长度即得结论.
4．（2021·顺城模拟）若 ，且 ，则 的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由题意可得a=0.75b，
代入a+b=14可得：1.75b=14，
∴b=8，
∴a=8×0.75=6，
∴2a-b=2×6-8=4，
故答案为：B．
【分析】由题意可得a、b的值，从而得到2a-b的值．
5．（2020九上·顺义期末）如果 （ ），那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】A、由 ，可得到 ，A不符合题意；
B、由 ，可得到 ，B不符合题意；
C、由 ，可得到 ，C符合题意；
D、由 ，可得到 ，D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据比例的性质逐项判定即可。
6．（2021·南岗模拟）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，DE的延长线交BC的延长线于点F，DG∥BC交AC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DG∥BC，
∴△DEG∽△FEC，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】先求出△DEG∽△FEC，再求出 ，即可作答。
7．（2020·深圳模拟）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝2，BC＝3，DE＝1.6，则EF＝（ ）
A．2.4 B．1.8 C．2.6 D．2.8
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵a∥b∥c，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴EF＝2.4．
故答案为：A．
【分析】根据平行线分线段成比例的定理到 ＝ ，在利用比例性质可求出EF的长。
8．（2020九上·襄汾期中）如图，已知 ，它们依次交直线 、 于点 、 、 和点 、 、 ，如果 ， ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得：CE= ，
故答案为：C．
【分析】根据平行线分线段成比例，求出BC=3CE，继而利用BC+CE=BE=10，计算得到CE的长度即可。
9．（2021·贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：设 ，
四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
故答案为：A.
【分析】设，先证 ，再证 ，可得 ，由，可得，根据平行线分线段成比例可得 ，可得， ，利用三角形的面积公式即可结论.
二、填空题
10．（2021八下·天桥期末）如果 ＝ ，那么 ＝ ；
【答案】5
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ＝ ，
∴设x=3k，y=k，
∴ ；
故答案为5
【分析】根据已知条件求得x=3y，再代入求值。
11．（2021·重庆）如图， 中，点D为边BC的中点，连接AD，将 沿直线AD翻折至 所在平面内，得 ，连接 ，分别与边AB交于点E，与AD交于点O.若 ， ，则AD的长为 .
【答案】3
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：由翻折可知
∴O是 的中点，
∵点D为边BC的中点，O是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：3.
【分析】利用折叠的性质可证得再证明OD是△C＇CB的中位线，利用三角形的中位线定理可求出OD的长，同时可证得OD∥BC＇，利用平行线分线段成比例定理，可求出AO的长；然后根据AD=AO+OD，可求出AD的长.
12．（2021七下·宜州期中）如图，三角形 是直角三角形 沿着 平移得到的，若 ， ， ，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】9
【知识点】三角形的面积；平移的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：由平移的性质知，DE=AB=5cm，HE=DE-DH=4cm，CF=BE=2cm，HC∥DF，∠DEF=∠B=90°，
∴ ，即 ，
∴EC=8(cm)，EF=EC+CF=10（cm），
∴SHDFC=S△EFD-S△ECH= DE EF- EH EC=9（cm2）.
故答案为：9.
【分析】根据平移的性质可得：DE=AB=5cm，HE=DE-DH=4cm，CF=BE=2cm，HC∥DF，然后根据平行线分线段成比例可求得EC，进而得到EF，最后根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行求解.
13．（2021·余杭模拟）如图，已知AC∥EF∥BD.如果AE：EB＝2：3，CF＝6.那么CD的长等于 .
【答案】15
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AC∥EF∥BD，CF＝6，
，
∴DF=9，
∴CD=DF+CF=9+6=15.
故答案是：15.
【分析】利用平行线分线段成比例定理，列出比列式，然后求出DF的长，继而可求出CD的长.
14．（2021九下·盐城月考）如图，在平面直角坐标系中，双曲线 （ ）与直线 （ ）交于A、B两点，点H是双曲线第一象限上的动点（在点A左侧），直线AH、BH分别与y轴交于P、Q两点，若 ， ，则a-b的值为 .
【答案】-2
【知识点】反比例函数图象的对称性；三角形全等及其性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：作AM⊥y轴，BN⊥y轴，HG⊥y轴，则AM∥BN∥HG，如图
∵反比例函数的图象是中心对称图形，
∴OA=OB，
∵∠AOM=∠BON，∠AMO=∠BNO=90°，
∴△AOM≌△BON，
∴AM=BN，OM=ON，
∵AM∥HG，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
∵BN∥HG，
同理可证 ，
∵ ，
∴ ；
∴ ；
故答案为： .
【分析】作AM⊥y轴，BN⊥y轴，HG⊥y轴，则AM∥BN∥HG，由反比例函数的对称性可得OA=OB，推出△AOM≌△BON，得到AM=BN，OM=ON，根据平行线的性质以及已知条件表示出a、b，然后求出a-b.
三、解答题
15．（2021·龙岩模拟）如图，证明：三角形一内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.（要求：在给出的△ABC中用尺规作出∠A的角平分线AD交BC于D，保留作图痕迹，不要求写出作法，并根据图形写出已知、求证和证明.
【答案】解：如图所示，AD即为所求
已知：△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D
求证： .
证明：过 作 ，交 的延长线于 ，
∴∠1＝∠E，∠2＝∠3，
∵AD是角平分线，
∴∠1＝∠2.
∴∠3＝∠E（等量替换），
∴AC＝AE
又∵AD∥CE，
∴
∴
【知识点】等腰三角形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【分析】 过C作CE∥DA，交BA的延长线于E， 根据等腰三角形的性质和平行线分线段成比例可得结果.
16．（2021九上·北仑月考）已知线段c是线段a，b的比例中项，若 ， ，求线段c的长.
【答案】解：
∵c＞0，∴
【知识点】比例线段
【解析】【分析】由已知条件：线段c是线段a，b的比例中项，可得到c2=ab，将a，b代入可求出线段c的值.
17．（2020九上·利辛期中）如图，已知点F在AB上，且AF：BF=1：2，点D是BC延长线上一点，BC：CD=2：1，连接FD与AC交于点N，求FN：ND的值．
【答案】解：过点F作FE∥BD，交AC于点E，
∴ ，
∵AF：BF=1：2，
∴ = ，
∴ ，
即FE= BC，
∵BC：CD=2：1，
∴CD= BC，
∵FE∥BD，
∴ ．
即FN：ND=2：3．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】 过点F作FE∥BD，交AC于点E ，再根据平行线分线段成比例进行作答即可。
四、综合题
18．（2021·浦东模拟）如图，已知AD BE CF，它们依次交直线 、 于点A、B、C和点D、E、F，且AB=6，BC=8．
（1）求 的值；
（2）当AD=5，CF=19时，求BE的长．
【答案】（1）解：∵AD BE CF，
∴ ，
∵AB=6，BC=8，
∴ ，
故 的值为
（2）解：如图，过点A作AG DF交BE于点H，交CF于点G，
∵AG DF，AD BE CF，
∴AD=HE=GF=5，
∵CF=19，
∴CG=CF-GF=14，
∵BE CF，
∴ ，
∴ ，
解得BH=6，
∴BE=BH+HE=11．
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）根据AD BE CF可得 ，由此计算即可；
（2）过点A作AG DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=6，即可得出结果．
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