初中数学华师大版九年级上学期第23章 23.2 相似图形 同步练习
一、单选题
1．（2021·青白江模拟）下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·抚顺模拟）如图，从图甲到图乙的变换是（ ）
A．轴对称变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．相似变换
3．（2021九上·平果期末）下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个菱形
C．两个正方形 D．两个等腰梯形
4．（2021九上·来宾期末）已知：如图，在 中， ，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021九上·甘井子期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．120°
6．（2021九上·铁西期末）两个相似多边形的一组对应边分别是3cm和4.5cm，如果它们的周长之和是80cm，那么较大的多边形的周长是（ ）
A．16cm B．32cm C．48cm D．52cm
7．（2021九上·慈溪期末）如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（ ）
A．x=y B．3x=2y C．x=1，y=2 D．x=3，y=2
8．（2020九上·邢台月考）一个长方形各边按 扩大后，得到的图形与原图形比较，下列说法中正确的是（ ）
A．周长扩大原来的16倍 B．周长缩小原来的
C．面积扩大原来的16倍 D．面积缩小原来的
9．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.2相似图形 同步练习）如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么 等于（ ）.
A．0.618 B． C． D．2
二、填空题
10．（2020九上·株洲期中）下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有 （填序号）
11．（2020九上·武功月考）若两个相似六边形的周长比是3∶2，其中较大六边形的面积为81，则较小六边形的面积为 .
12．（2021九下·杭州开学考）复印纸型号多样，而各型号复印纸之间存在这样的关系：将其中一型号纸张（如A3纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A4纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即A3纸与A4纸相似），则这些型号的复印纸宽与长之比为 .
13．（2020九上·运城月考）如图，方桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影（正方形）示意图，已知方桌边长1.2 m，桌面离地面1.2 m，灯泡离地面3.6 m，则地面上阴影部分的面积为 ．
14．（2019九上·北京期中）北京紫禁城是中国古代宫廷建筑之精华． 经测算发现， 太和殿，中和殿， 保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD（北至保和殿， 南至太和门，西至弘义阁， 东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH为相似形， 若比较宫院与台基之间的比例关系， 可以发现接近于9：5， 取“九五至尊”之意． 根据测量数据， 三大殿台基的宽(EF)为40丈， 请你估算三大殿宫院的宽(AB)为 丈．
15．（2019·抚顺模拟）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2；正六边形A2B2C2D2E2F2的6条对角线又围成一个正六边形A3B3C3D3E3F3…；如此继续下去，则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是 .
三、解答题
16．（2020九上·镇海期末）两个相似多边形的最长边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之差为28cm2，求较小相似多边形的周长与面积.
17．（2020九上·罗山期末）学生会要举办一个校园书画艺术展览会，为国庆献礼，小华和小刚准备将长AD为400cm，宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰，如图所示，两人在设计时要求内外两个矩形相似，矩形作品面积是总面积的 ，他们一致认为上下彩色纸边要等宽，左右彩色纸边要等宽，这样效果最好，请你帮助他们设计彩色纸边宽度.
四、综合题
18．（2020九上·宁夏期中）如图，四边形 四边形 .
（1） ＝ ，它们的相似比是 .
（2）求边x、y的长度.
19．（2019九上·海口期末）阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形.例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形.
任务：
（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为 ；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为 ；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）.
请从下列A、B两题中任选一条作答.
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= （用含m，n，b的式子表示）.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；
C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据相似图形：边数相同的两个图形，它们的角对应相等，边对应成比例，这样的两个图形叫相似图形的定义可得结果.
2．【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：从图甲到图乙的图形的形状相同，大小不相同，图甲与图乙是相似形，所以从图甲到图乙的变换是相似变换．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换，相似变换的定义判断即可．
3．【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意；
B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似多边形的定义，故不符合题意；
C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；
D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似多边形的定义，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据多边形相似的判定“各角对应相等、各边的比相等”并结合各选项可判断求解.
4．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ .
由此可得，只有选项C正确，故答案为：C.
【分析】先由两组对角分别相等得出△ADE∽△ACB，再由相似三角形对应边成比例列式，结合每项分别判断即可.
5．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，
∴∠E＝∠A＝80°，
故答案为：B
【分析】根据相似多边形的对应角相等可求解.
6．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】由题可知，这两个相似多边形的相似比为 ，
∵相似图形的周长比等于相似比，
∴它们的周长之比为 ，
∴较大的多边形周长为 ，
故答案为：C.
【分析】根据相似图形的相似比等于周长比，从而计算即可.
7．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：如图，当矩形ABCD∽矩形EFGH时，有，
∴，
∴3x=2y.
故答案为B.
【分析】画出图形，由相似图形的对应边成比例进行解答即可.
8．【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：一个长方形按 放大后，得到的图形与原图形相似，边长扩大到原来的4倍，
所以周长扩大到原来的4倍，面积扩大到原来的16倍，
所以A、B、D不符合题意，C符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据相似图形的性质逐项判定即可。
9．【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵矩形ABCD∽矩形BFEA，
∴AB：BF=AD：AB，
∴AD BF=AB AB，
又∵BF= AD，
∴AD2=AB2，
∴ = = ．
故选：B．
【分析】根据相似多边形的对应边成比例求解．此题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
10．【答案】②⑤
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】两个等腰三角形的顶角不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形一定相似；
两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似；
两个矩形的相邻边长比例不一定相等，故不一定相似；
两个正方形一定相似；
故答案为：②⑤．
【分析】根据相似多边形的判定定理对每个图形一一判断即可。
11．【答案】36
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵两个相似六边形的周长的比是3﹕2，
∴它们的面积的比为9:4，
∵较大一个六边形的面积为81，
∴较小一个六边形的面积为
故答案为：36.
【分析】根据相似多边形的面积的比等于周长比的平方，即可建立方程求得另一个六边形的面积.
12．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：这些型号的复印纸的长与宽分别为a、b ，
∵得到的矩形与原来的矩形相似，
∴，
∴a2=b2，
∴，
故答案为：.
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a ， 根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可
13．【答案】3.24 m2
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：根据题意由图可知，
，
由于面积比等于相似比的平方，故地面上阴影部分的面积为
×1.2×1.2=3.24m2．
【分析】将四棱锥中高的比转化为相似比解答即可。
14．【答案】72
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设三大殿宫院的宽为x丈，由题意得：
x：40=9：5，
解得：x=72．
故答案为：72．
【分析】设三大殿宫院的宽为x丈，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
15．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，
∴B1B2＝ A1B1＝ ，
∴A2B2＝ A1B2＝B1B2＝ ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积＝ × ＝ ，
同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积＝（ ）3× ＝ ；
故答案为： .
【分析】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，进而得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ，结合正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ，即可得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积，以此类推，即可得到答案.
16．【答案】解：设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，
根据题意得 ， ，
解得x＝24，y＝36，
所以较小相似多边形的周长为24cm，面积为36cm2.
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，根据相似多边形的 周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方列出方程，求解即可.
17．【答案】解：∵AB＝130，AD＝400，
∴ ，
∵内外两个矩形相似，
∴ ，
∴设A′B′＝13x，则A′D′＝40x，
∵矩形作品面积是总面积的 ，
∴ ，
解得：x＝±12，
∵x＝﹣12＜0不合题意，舍去，
∴x＝12，
∴上下彩色纸边宽为（13x﹣130）÷2＝13，左右彩色纸边宽为（40x﹣400）÷2＝40.
答：上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为40cm.
【知识点】相似多边形；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】由内外两个矩形相似可得 ，设A′B′=13x，根据矩形作品面积是总面积的 列方程可求出x的值，进而可得答案.
18．【答案】（1）83°；
（2）解：∵四边形 四边形 ，相似比为
∴
解得： ， .
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：（1）∵四边形 四边形 ，
∴∠ =∠A=62°，∠ =∠B=75°
∵∠ =140°
∴ ＝360°－∠ －∠ －∠ =83°
相似比为
故答案为：83°； ；
【分析】（1）直接根据相似多边形的性质即可得出∠ ，∠ ，然后利用四边形的内角和即可求出 ，根据相似比的定义即可求出结论；（2）直接根据相似多边形的性质列出比例式即可求出结论.
19．【答案】（1）
（2）
（3）；； 或 ； 或 .
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH= AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴相似比为： == ；
故答案为：
（ 2 ）解：在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC相似的相似比为： = ，
故答案为：
（ 3 ）解：A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即 a：b=b：a，
∴a= b；
故答案为：
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和 a，
则b： a=a：b，
∴a= b；
故答案为：
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a= a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ = ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： 或 ；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： b或 b.
【分析】（1）根据中点定义得出AH= AD，然后根据相似多边形的对应边之比等于相似比即可由求出答案；
（2）根据勾股定理求出AB，然后根据相似三角形对应边的比等于相似比，即可由得出结论；
（3）A、①根据矩形ABEF∽矩形FECD得出比例式即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论；
B、①分FM是矩形DFMN的长或DF是矩形DFMN的长两种情况，先根据相似矩形得出AF，AG，最后用矩形GABH∽矩形ABCD建立方程即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论.。
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期第23章 23.2 相似图形 同步练习
一、单选题
1．（2021·青白江模拟）下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；
C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据相似图形：边数相同的两个图形，它们的角对应相等，边对应成比例，这样的两个图形叫相似图形的定义可得结果.
2．（2021·抚顺模拟）如图，从图甲到图乙的变换是（ ）
A．轴对称变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．相似变换
【答案】D
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：从图甲到图乙的图形的形状相同，大小不相同，图甲与图乙是相似形，所以从图甲到图乙的变换是相似变换．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换，相似变换的定义判断即可．
3．（2021九上·平果期末）下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个菱形
C．两个正方形 D．两个等腰梯形
【答案】C
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解：A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意；
B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似多边形的定义，故不符合题意；
C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；
D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似多边形的定义，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据多边形相似的判定“各角对应相等、各边的比相等”并结合各选项可判断求解.
4．（2021九上·来宾期末）已知：如图，在 中， ，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴ .
由此可得，只有选项C正确，故答案为：C.
【分析】先由两组对角分别相等得出△ADE∽△ACB，再由相似三角形对应边成比例列式，结合每项分别判断即可.
5．（2021九上·甘井子期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．120°
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，
∴∠E＝∠A＝80°，
故答案为：B
【分析】根据相似多边形的对应角相等可求解.
6．（2021九上·铁西期末）两个相似多边形的一组对应边分别是3cm和4.5cm，如果它们的周长之和是80cm，那么较大的多边形的周长是（ ）
A．16cm B．32cm C．48cm D．52cm
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】由题可知，这两个相似多边形的相似比为 ，
∵相似图形的周长比等于相似比，
∴它们的周长之比为 ，
∴较大的多边形周长为 ，
故答案为：C.
【分析】根据相似图形的相似比等于周长比，从而计算即可.
7．（2021九上·慈溪期末）如图，矩形相框的外框矩形的长为12dm，宽为8dm，上下边框的宽度都为xdm，左右边框的宽度都为ydm．则符合下列条件的x，y的值能使内边框矩形和外边框矩形相似的为（ ）
A．x=y B．3x=2y C．x=1，y=2 D．x=3，y=2
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：如图，当矩形ABCD∽矩形EFGH时，有，
∴，
∴3x=2y.
故答案为B.
【分析】画出图形，由相似图形的对应边成比例进行解答即可.
8．（2020九上·邢台月考）一个长方形各边按 扩大后，得到的图形与原图形比较，下列说法中正确的是（ ）
A．周长扩大原来的16倍 B．周长缩小原来的
C．面积扩大原来的16倍 D．面积缩小原来的
【答案】C
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：一个长方形按 放大后，得到的图形与原图形相似，边长扩大到原来的4倍，
所以周长扩大到原来的4倍，面积扩大到原来的16倍，
所以A、B、D不符合题意，C符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据相似图形的性质逐项判定即可。
9．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.2相似图形 同步练习）如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到．矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依此类推．若各种开本的矩形都相似，那么 等于（ ）.
A．0.618 B． C． D．2
【答案】B
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】∵矩形ABCD∽矩形BFEA，
∴AB：BF=AD：AB，
∴AD BF=AB AB，
又∵BF= AD，
∴AD2=AB2，
∴ = = ．
故选：B．
【分析】根据相似多边形的对应边成比例求解．此题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．
二、填空题
10．（2020九上·株洲期中）下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有 （填序号）
【答案】②⑤
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】两个等腰三角形的顶角不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形一定相似；
两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似；
两个矩形的相邻边长比例不一定相等，故不一定相似；
两个正方形一定相似；
故答案为：②⑤．
【分析】根据相似多边形的判定定理对每个图形一一判断即可。
11．（2020九上·武功月考）若两个相似六边形的周长比是3∶2，其中较大六边形的面积为81，则较小六边形的面积为 .
【答案】36
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：∵两个相似六边形的周长的比是3﹕2，
∴它们的面积的比为9:4，
∵较大一个六边形的面积为81，
∴较小一个六边形的面积为
故答案为：36.
【分析】根据相似多边形的面积的比等于周长比的平方，即可建立方程求得另一个六边形的面积.
12．（2021九下·杭州开学考）复印纸型号多样，而各型号复印纸之间存在这样的关系：将其中一型号纸张（如A3纸）沿较长边中点的连线对折，就能得到下一型号（A4纸）的纸张，且对折得到的两个矩形和原来的矩形相似（即A3纸与A4纸相似），则这些型号的复印纸宽与长之比为 .
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：这些型号的复印纸的长与宽分别为a、b ，
∵得到的矩形与原来的矩形相似，
∴，
∴a2=b2，
∴，
故答案为：.
【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a ， 根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可
13．（2020九上·运城月考）如图，方桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射方桌后，在地面上形成阴影（正方形）示意图，已知方桌边长1.2 m，桌面离地面1.2 m，灯泡离地面3.6 m，则地面上阴影部分的面积为 ．
【答案】3.24 m2
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：根据题意由图可知，
，
由于面积比等于相似比的平方，故地面上阴影部分的面积为
×1.2×1.2=3.24m2．
【分析】将四棱锥中高的比转化为相似比解答即可。
14．（2019九上·北京期中）北京紫禁城是中国古代宫廷建筑之精华． 经测算发现， 太和殿，中和殿， 保和殿这三大殿的矩形宫院ABCD（北至保和殿， 南至太和门，西至弘义阁， 东至体仁阁）与三大殿下的工字形大台基所在的矩形区域EFGH为相似形， 若比较宫院与台基之间的比例关系， 可以发现接近于9：5， 取“九五至尊”之意． 根据测量数据， 三大殿台基的宽(EF)为40丈， 请你估算三大殿宫院的宽(AB)为 丈．
【答案】72
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：设三大殿宫院的宽为x丈，由题意得：
x：40=9：5，
解得：x=72．
故答案为：72．
【分析】设三大殿宫院的宽为x丈，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
15．（2019·抚顺模拟）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2；正六边形A2B2C2D2E2F2的6条对角线又围成一个正六边形A3B3C3D3E3F3…；如此继续下去，则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是 .
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，
∴B1B2＝ A1B1＝ ，
∴A2B2＝ A1B2＝B1B2＝ ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积＝ × ＝ ，
同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积＝（ ）3× ＝ ；
故答案为： .
【分析】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，进而得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ，结合正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ，即可得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积，以此类推，即可得到答案.
三、解答题
16．（2020九上·镇海期末）两个相似多边形的最长边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为56cm，面积之差为28cm2，求较小相似多边形的周长与面积.
【答案】解：设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，
根据题意得 ， ，
解得x＝24，y＝36，
所以较小相似多边形的周长为24cm，面积为36cm2.
【知识点】相似多边形
【解析】【分析】设较小相似多边形的周长为x，面积为y，则较大相似多边形的周长为56﹣x，面积28+y，根据相似多边形的 周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方列出方程，求解即可.
17．（2020九上·罗山期末）学生会要举办一个校园书画艺术展览会，为国庆献礼，小华和小刚准备将长AD为400cm，宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰，如图所示，两人在设计时要求内外两个矩形相似，矩形作品面积是总面积的 ，他们一致认为上下彩色纸边要等宽，左右彩色纸边要等宽，这样效果最好，请你帮助他们设计彩色纸边宽度.
【答案】解：∵AB＝130，AD＝400，
∴ ，
∵内外两个矩形相似，
∴ ，
∴设A′B′＝13x，则A′D′＝40x，
∵矩形作品面积是总面积的 ，
∴ ，
解得：x＝±12，
∵x＝﹣12＜0不合题意，舍去，
∴x＝12，
∴上下彩色纸边宽为（13x﹣130）÷2＝13，左右彩色纸边宽为（40x﹣400）÷2＝40.
答：上下彩色纸边宽为13cm，左右彩色纸边宽为40cm.
【知识点】相似多边形；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】由内外两个矩形相似可得 ，设A′B′=13x，根据矩形作品面积是总面积的 列方程可求出x的值，进而可得答案.
四、综合题
18．（2020九上·宁夏期中）如图，四边形 四边形 .
（1） ＝ ，它们的相似比是 .
（2）求边x、y的长度.
【答案】（1）83°；
（2）解：∵四边形 四边形 ，相似比为
∴
解得： ， .
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：（1）∵四边形 四边形 ，
∴∠ =∠A=62°，∠ =∠B=75°
∵∠ =140°
∴ ＝360°－∠ －∠ －∠ =83°
相似比为
故答案为：83°； ；
【分析】（1）直接根据相似多边形的性质即可得出∠ ，∠ ，然后利用四边形的内角和即可求出 ，根据相似比的定义即可求出结论；（2）直接根据相似多边形的性质列出比例式即可求出结论.
19．（2019九上·海口期末）阅读下列材料，完成任务：
自相似图形
定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形.例如：正方形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点，连接EG，HF交于点O，易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形，且与原正方形相似，故正方形是自相似图形.
任务：
（1）如图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中，每个正方形与原正方形的相似比为 ；
（2）如图2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明发现△ABC也是“自相似图形”，他的思路是：过点C作CD⊥AB于点D，则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC，则△ACD与△ABC的相似比为 ；
（3）现有一个矩形ABCD是自相似图形，其中长AD=a，宽AB=b（a＞b）.
请从下列A、B两题中任选一条作答.
A：①如图3﹣1，若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形，且与原矩形都相似，则a= （用含n，b的式子表示）；
B：①如图4﹣1，若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= （用含b的式子表示）；
②如图4﹣2，若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形，再将剩余的部分横向分割成n个全等矩形，且分割得到的矩形与原矩形都相似，则a= （用含m，n，b的式子表示）.
【答案】（1）
（2）
（3）；； 或 ； 或 .
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：（1）∵点H是AD的中点，
∴AH= AD，
∵正方形AEOH∽正方形ABCD，
∴相似比为： == ；
故答案为：
（ 2 ）解：在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根据勾股定理得，AB=5，
∴△ACD与△ABC相似的相似比为： = ，
故答案为：
（ 3 ）解：A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，
∴AF：AB=AB：AD，
即 a：b=b：a，
∴a= b；
故答案为：
②每个小矩形都是全等的，则其边长为b和 a，
则b： a=a：b，
∴a= b；
故答案为：
B、①如图2，
由①②可知纵向2块矩形全等，横向3块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a= a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ = ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： 或 ；
②如图3，
由①②可知纵向m块矩形全等，横向n块矩形也全等，
∴DN= b，
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时，
∵矩形FMND∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AD：AB，
即FD： b=a：b，
解得FD= a，
∴AF=a﹣ a，
∴AG= = = a，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 a：b=b：a
得：a= b；
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时，
∵矩形DFMN∽矩形ABCD，
∴FD：DN=AB：AD
即FD： b=b：a
解得FD= ，
∴AF=a﹣ ，
∴AG= = ，
∵矩形GABH∽矩形ABCD，
∴AG：AB=AB：AD
即 ：b=b：a，
得：a= b；
故答案为： b或 b.
【分析】（1）根据中点定义得出AH= AD，然后根据相似多边形的对应边之比等于相似比即可由求出答案；
（2）根据勾股定理求出AB，然后根据相似三角形对应边的比等于相似比，即可由得出结论；
（3）A、①根据矩形ABEF∽矩形FECD得出比例式即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论；
B、①分FM是矩形DFMN的长或DF是矩形DFMN的长两种情况，先根据相似矩形得出AF，AG，最后用矩形GABH∽矩形ABCD建立方程即可得出结论；
②同①的方法即可得出结论.。
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