初中数学华师大版九年级上学期第23章 23.3.1 相似三角形 同步练习
一、单选题
1．（2019九上·中期中）下列说法正确的个数有（ ）个
①凡正方形都相似；②凡等腰三角形都相似；③凡等腰直角三角形都相似；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】相似图形；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：①凡正方形都相似，符合题意；
②等腰三角形两腰相等，对应成比例，但顶角不一定相等，所以不一定相似，故本小题不符合题意；
③凡等腰直角三角形都相似，符合题意；
④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为2：3，故本小题不符合题意；
所以，说法正确的有①③共2个．
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的概念以及相似多边形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比对各小题分析判断即可得解．
2．（2019·白银）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）.
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
【答案】B
【知识点】轴对称的性质；平移的性质；相似图形；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换。
故答案为：B。
【分析】平移变换只会改变图形的位置，方向、大小、形状都不变改变；相似变换不会改变图形的形状、但大小、会发生改变；旋转变换会改变图形的位置、方向，但不会改变图形的大小与形状；对称变换会改变图形的方向及位置，但不会改变图形的形状、大小；用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，从而即可做出判断得出答案。
3．（2017·河北）若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（ ）
A．增加了10% B．减少了10%
C．增加了（1+10%） D．没有改变
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B．
故选D．
【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
4．将一个三角形和一个矩形按照如图的方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是 （ ）
A．新三角形与原三角形相似
B．新矩形与原矩形相似
C．新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似
D．都不相似
【答案】A
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′；
∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴ ， ，
∴新矩形与原矩形对应边的比不相等，
∴新矩形与原矩形不相似，
故选：A
【分析】根据相似三角形的判定定理、相似多边形的判定定理证明即可．
5．下列说法正确的有（ ）
①有一个角对应相等的两直角三角形相似；
②两边分别对应成比例的两个直角三角形相似；
③含30°角的直角三角形都相似；
④黄金矩形都相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：①有一个锐角对应相等的两直角三角形相似，故错误；
②两边分别对应成比例的两个直角三角形相似，正确；
③含30°角的直角三角形都相似，正确；
④黄金矩形都相似，正确．
故选C．
【分析】利用相似图形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
6．用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（ ）
A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍
B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍
C．△ABC放大后，周长是原来的4倍
D．△ABC放大后，面积是原来的16倍
【答案】A
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：∵放大前后的三角形相似，
∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，
则A错误，符合题意．
故选：A．
【分析】用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变．
7．如图，在Rt△ABC内画有边长为9，6，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似图形
【解析】【分析】根据相似多边形的对应边的比相等，就可以判断。
【解答】
由已知可得PK∥EF∥AC，
∴△QPK∽△KGF∽△FDA，
∴由相似三角形的性质和正方形的性质可得：
又∵PK=KG-QP，GF=DF-GK，DF=9cm，GK=6cm
∴即
解得QP=4．
故选B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质，找到相应关系的边是解题的关键.
二、填空题
8．给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有 （填序号）．
【答案】①②④⑤
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；
⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．
其中，一定相似的有①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
【分析】根据相似图形的定义，即形状相同的图形是相似形，对每个命题判断可求解。
9．（2018九上·茂名期中）两个相似多边形一组对应边分别为3cm，5cm，那么它们的相似比为 ．
【答案】3：5
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：∵这组对应边的比为3：5
∴ 它们的相似比为 3:5.
【分析】利用相似比的定义求解即可。
10．某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是8cm，最大长度是16cm；叶片②最大宽度是7cm，最大长度是14cm；叶片③最大宽度约为6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为 cm．
【答案】13
【知识点】相似图形
【解析】【解答】根据叶片①②的最大长度和宽度，可得出这种植物的叶片的最大宽度：最大长度=1：2．由此可得出完整的叶片③的最大长度应是6.5×2=13cm．
故答案为：13
【分析】根据这三种叶片都是同一种植物的叶片，那么这三个叶片应该相似，依据相似形的性质即可解决。
11．下列情形：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形；②用彩笔在黑板上写上三个大字1，2，3，它们是相似图形；③用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形；以上说法你认为正确的是 ，错误的是 （填序号）
【答案】①；②③
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，形状相同，但大小不一定相同，看到的图象是相似的图形，故正确；
②用彩笔在黑板上写上三个大字1，2，3，它们形状不同，故错误；
③用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，属于不唯一确定图形，故错误．
∴正确的是①，错误的是②③．
【分析】根据相似图形的定义，对题目中的条件进行一一分析，确定正确和错误答案．
12．如图，E、P、F分别是AB、AC、AD的中点，则四边形AEPF与四边形ABCD （填“是”或“不是”）位似图形．
【答案】是
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：∵E、P、F分别是AB、AC、AD的中点
∴△AFP∽△ADC，△APE∽△ACB
∴AF；AD=AP：AC，AP；AC=AE；AB
∴AF：AD=AP：AC=AE：AB
∴答案填：是．
【分析】根据位似图形概念，可把四边形分成两个三角形，得出AF：AD=AP：AC=AE：AB，即可确定两个四边形位似．
三、解答题
13．对应角相等的两个多边形一定是相似多边形吗？两个多边形的对应边的比值都相等，这样的两个多边形也是相似多边形吗？试分别举例说明。
【答案】解：对应角相等的两个多边形未必相似，如矩形和正方形；两个多边形的对应边成比例，这两个多边形未必相似，如；菱形和正方形．
【知识点】相似图形
【解析】【分析】对应角相等的两个多边形不一定相似，如矩形；对应边成比例的两个多边形不一定相似，如菱形。
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期第23章 23.3.1 相似三角形 同步练习
一、单选题
1．（2019九上·中期中）下列说法正确的个数有（ ）个
①凡正方形都相似；②凡等腰三角形都相似；③凡等腰直角三角形都相似；④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为16：81．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2019·白银）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）.
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
3．（2017·河北）若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比（ ）
A．增加了10% B．减少了10%
C．增加了（1+10%） D．没有改变
4．将一个三角形和一个矩形按照如图的方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是 （ ）
A．新三角形与原三角形相似
B．新矩形与原矩形相似
C．新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似
D．都不相似
5．下列说法正确的有（ ）
①有一个角对应相等的两直角三角形相似；
②两边分别对应成比例的两个直角三角形相似；
③含30°角的直角三角形都相似；
④黄金矩形都相似．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是（ ）
A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍
B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍
C．△ABC放大后，周长是原来的4倍
D．△ABC放大后，面积是原来的16倍
7．如图，在Rt△ABC内画有边长为9，6，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
二、填空题
8．给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有 （填序号）．
9．（2018九上·茂名期中）两个相似多边形一组对应边分别为3cm，5cm，那么它们的相似比为 ．
10．某课外活动小组的同学在研究某种植物标本（如图所示）时，测得叶片①最大宽度是8cm，最大长度是16cm；叶片②最大宽度是7cm，最大长度是14cm；叶片③最大宽度约为6.5cm，请你用所学数学知识估算叶片③的完整叶片的最大长度，结果约为 cm．
11．下列情形：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，看到的图象是相似的图形；②用彩笔在黑板上写上三个大字1，2，3，它们是相似图形；③用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，这两个字是相似图形；以上说法你认为正确的是 ，错误的是 （填序号）
12．如图，E、P、F分别是AB、AC、AD的中点，则四边形AEPF与四边形ABCD （填“是”或“不是”）位似图形．
三、解答题
13．对应角相等的两个多边形一定是相似多边形吗？两个多边形的对应边的比值都相等，这样的两个多边形也是相似多边形吗？试分别举例说明。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似图形；相似多边形的性质
【解析】【解答】解：①凡正方形都相似，符合题意；
②等腰三角形两腰相等，对应成比例，但顶角不一定相等，所以不一定相似，故本小题不符合题意；
③凡等腰直角三角形都相似，符合题意；
④两个相似多边形的面积比为4：9，则周长的比为2：3，故本小题不符合题意；
所以，说法正确的有①③共2个．
故答案为：B．
【分析】根据相似图形的概念以及相似多边形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比对各小题分析判断即可得解．
2．【答案】B
【知识点】轴对称的性质；平移的性质；相似图形；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换。
故答案为：B。
【分析】平移变换只会改变图形的位置，方向、大小、形状都不变改变；相似变换不会改变图形的形状、但大小、会发生改变；旋转变换会改变图形的位置、方向，但不会改变图形的大小与形状；对称变换会改变图形的方向及位置，但不会改变图形的形状、大小；用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，从而即可做出判断得出答案。
3．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′=∠B．
故选D．
【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
4．【答案】A
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′；
∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，
∴ ， ，
∴新矩形与原矩形对应边的比不相等，
∴新矩形与原矩形不相似，
故选：A
【分析】根据相似三角形的判定定理、相似多边形的判定定理证明即可．
5．【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：①有一个锐角对应相等的两直角三角形相似，故错误；
②两边分别对应成比例的两个直角三角形相似，正确；
③含30°角的直角三角形都相似，正确；
④黄金矩形都相似，正确．
故选C．
【分析】利用相似图形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
6．【答案】A
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：∵放大前后的三角形相似，
∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，
则A错误，符合题意．
故选：A．
【分析】用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而内角的度数不会改变．
7．【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似图形
【解析】【分析】根据相似多边形的对应边的比相等，就可以判断。
【解答】
由已知可得PK∥EF∥AC，
∴△QPK∽△KGF∽△FDA，
∴由相似三角形的性质和正方形的性质可得：
又∵PK=KG-QP，GF=DF-GK，DF=9cm，GK=6cm
∴即
解得QP=4．
故选B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质，找到相应关系的边是解题的关键.
8．【答案】①②④⑤
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；
⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．
其中，一定相似的有①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
【分析】根据相似图形的定义，即形状相同的图形是相似形，对每个命题判断可求解。
9．【答案】3：5
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：∵这组对应边的比为3：5
∴ 它们的相似比为 3:5.
【分析】利用相似比的定义求解即可。
10．【答案】13
【知识点】相似图形
【解析】【解答】根据叶片①②的最大长度和宽度，可得出这种植物的叶片的最大宽度：最大长度=1：2．由此可得出完整的叶片③的最大长度应是6.5×2=13cm．
故答案为：13
【分析】根据这三种叶片都是同一种植物的叶片，那么这三个叶片应该相似，依据相似形的性质即可解决。
11．【答案】①；②③
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：①用眼睛看月亮和用望远镜看月亮，形状相同，但大小不一定相同，看到的图象是相似的图形，故正确；
②用彩笔在黑板上写上三个大字1，2，3，它们形状不同，故错误；
③用粉笔在黑板上写上“天”和用毛笔在纸上写上“天”，属于不唯一确定图形，故错误．
∴正确的是①，错误的是②③．
【分析】根据相似图形的定义，对题目中的条件进行一一分析，确定正确和错误答案．
12．【答案】是
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：∵E、P、F分别是AB、AC、AD的中点
∴△AFP∽△ADC，△APE∽△ACB
∴AF；AD=AP：AC，AP；AC=AE；AB
∴AF：AD=AP：AC=AE：AB
∴答案填：是．
【分析】根据位似图形概念，可把四边形分成两个三角形，得出AF：AD=AP：AC=AE：AB，即可确定两个四边形位似．
13．【答案】解：对应角相等的两个多边形未必相似，如矩形和正方形；两个多边形的对应边成比例，这两个多边形未必相似，如；菱形和正方形．
【知识点】相似图形
【解析】【分析】对应角相等的两个多边形不一定相似，如矩形；对应边成比例的两个多边形不一定相似，如菱形。
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