初中数学华师大版九年级上学期第23章 23.3.2 相似三角形的判定 同步练习
一、单选题
1．（2021·海南模拟）能判定 与 相似的条件是（ ）
A．
B． ，且
C． 且
D． ，且
2．（2021九下·沁阳月考）如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021九上·韩城期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，F是BA延长线上一点，FD⊥BC于D，交AC于点E，则图中相似三角形共有几对（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
4．（2020九上·邛崃期中）如图，在 中， ， ， ，将 沿图示中的虚线 剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·贵港）下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两角分别相等的两个三角形相似
6．（2021·恩施）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1， 为 与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020九上·海淀期末）如图，点 在 的边 上，要判定 与 相似，需添加一个条件，则以下所添加的条件错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·大洼期末）如图正方形网格上的三角形（1）（2）（3）中与△ABC相似的是（ ）
A．（1） B．（2）
C．（3） D．都不与△ABC相似
9．（2020·石家庄模拟）如图，在 中， ， ， ，垂足为点 ，过点 作射线 ，点 是边 上任意一点，连接 并延长与射线 相交于点 ，设 ， 两点之间的距离为 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ．岑岑同学思考后给出了下面五条结论，正确的共有（ ）
① ；
②当 时， ；
③当 时，四边形 是平行四边形；
④当 或 时，都有 ；
⑤当 时， 与 一定相似．
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
二、填空题
10．（2021九上·海州期末）如图，要使△ACD∽△ABC，只需添加条件 (只要写出一种合适的条件即可).
11．（2020九上·北部湾月考）如图， ， ，则图中相似三角形有 对.
12．（2021·抚顺模拟）如图，在正方形网格中有3个斜三角形：① ；② ；③ ；其中能与 相似的是 ．（ 除外）
13．（2021·中江模拟）在 中， ，点P为 中点，经过点P的直线截 ，使截得的三角形与 相似，这样的直线共有 条.
14．（2020九上·合肥月考）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是S1=1，S2=4，S3=9，则△ABC的面积是
15．（2017·蜀山模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为t s，当t= 时，△CPQ与△CBA相似．
三、解答题
16．（2021·南昌模拟）如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD AB，求证：△ACD∽△ABC．
17．（2021·江西模拟）如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，CD=CE，试说明△ACE∽△BAD．
18．（2021九上·台州期末）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB
求证：△ADE∽△EFC.
四、综合题
19．（2021·青白江模拟）如图，在矩形 中，O是对角线 与 的交点， ，垂足为点E，已知 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、 ，
B、 ，且 ，
D、 ，且 ，
均不能判断 与 相似，故错误；
C、 且 ，能判定 与 相似，本选项正确.
故答案为：C.
【分析】相似三角形的判定方法：有两对角分别相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此即可判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=75°，∠A=30°，
A选项中三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B选项中三角形各角的度数都是60°，
C选项中三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D选项中三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故答案为：C.
【分析】根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”并结合各选项可判断求解.
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ED⊥BC，
∴∠CDE＝∠BDF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠CDE，∠EAF＝90°，
∵∠C＝∠C，∠F＝∠F，∠B＝∠B，
∴△ABC∽△DEC，△AEF∽△DEC，△DBF∽△ABC，
∴△ABC∽△DEC∽△AEF∽△DBF，
故共有6对相似三角形.
故答案为：A.
【分析】由题意根据有两个角对应相等的两个三角形相似可求解.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.∵ , ,
∴ ∽ ;
B.∵ , ,
∴ ∽ ;
D.∵ 在同一个圆上，
∴ ,
又∵ ,
∴ , ,
∴ ∽ ;
故剪下的三角形与原三角形不相似的是C.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断 ，即可求解.
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定；菱形的判定；矩形的判定；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、两角分别相等的两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定、矩形的判定、菱形的判定、相似三角形的判定，逐一进行判断即可.
6．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵每个小正方形的边长都为1，
∴ ，
∴ ， ，故C错误；
∴△BCD是直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故B错误；
∴ ，故D正确；
∵ 为 与正方形网格线的交点，
∴CE∥AB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A错误；
故答案为：D.
【分析】根据图形可得AB=4，AC=2，利用勾股定理求出，据此判断C；利用勾股定理的逆定理求出△BCD是直角三角形，由于，可证△ABC∽△CBD，可得，据此判断B、D；根据网格特点可得CE∥AB，可得点E边B的的中点，利用直角三角形的性质判断A即可.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，故A符合题意；
∵ ， ，
∴ ，故B符合题意；
∵ ， ，
∴ ，故C符合题意；
D选项的条件不可以证明，它不满足相似三角形的判定条件．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判定即可。
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：△ABC的三边长分别为：AB=5，AC= ，BC= ，
标号为（1）的三角形的三边长为： ， ，3，与三角形ABC的对应边不成比例，故不符合题意；
标号为（2）的三角形的三边长为：4， ， ，与三角形ABC的对应边成比例，
即： ，故符合题意；
标号（3）的三角形的三边长为： ， ，5，与三角形ABC的对应边不成比例，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别求出每个三角形的边长，再根据三边是否对应成比例进行判断即可得到答案.
9．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①∵AB＝BC＝10，AC＝12，BO⊥AC，
∴AO＝CO，AB＝BC，BO＝BO，
∴△AOB≌△COB；
故此选项符合题意；
②∵AE∥BC，
∴∠AQO＝∠OCP，
∵AO＝CO，∠AOQ＝∠POC，
∴当0＜x＜10时，△AOQ≌△COP；
故此选项符合题意；
③当x＝5时，
∴BP＝PC＝5，
∵AQ＝PC，
∴AQ＝PB＝5，
∵AQ∥BC，
∴四边形ABPQ是平行四边形；
故此选项符合题意；
④当x＝0时，P与B重合，
∴∠OBC＝∠QPR，
又∵∠BOC＝∠PRQ＝90°，
∴△BCO∽△PQR；
当x＝10时，P与C重合，此时Q与A重合，
∵∠QPR＝∠BPO，∠QRP＝∠BOC＝90°，
∴△QRP∽△BOC，
当x＝0时，△BCO∽△PQR与△PQR∽△CBO不相符；故此选项不符合题意；
⑤若△PQR与△CBO一定相似，
则∠QPR＝∠BCO，
故OP＝OC＝6，
过点O作OH⊥BC于H，
由射影定理得CO2＝CH CB，
可求得CH＝ CP＝3.6，
故CP＝7.2，所以BP＝x＝2.8
故当 时，△PQR与△CBO一定相似．
故此选项符合题意．
故正确的有4条．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定以及平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定方法分别进行分析即可得出答案．
10．【答案】∠1=∠ABC或∠2=∠ACB或AC2=AD·AB(答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：两个三角形已有公共角∠A，故可采用添加∠1=∠ABC或∠2=∠ACB或AC2=AD·AB这三方法均可.
【分析】 要判定两三角形相似，已知有一组公共角，则再添加一组角或夹公共角的两组边对应成比例，即可证明两个三角形相似．
11．【答案】3
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵ ， ，
∴可直接得出 ， ，
由 ， ，可得： ， ，
∴ ，共有3对相似三角形，
故答案为：3.
【分析】根据相似三角形的判定定理分析即可.
12．【答案】③（ ）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据网格可知：AB=1，AC= ，BC= ，△ABC的三边之比是AB：AC：BC＝1： ： ，
同理可求：②△CDB的三边之比是CD：BC：BD＝1： ：2 ；
③△DEB中DE：BD：BE＝2：2 ： ＝1： ： ．
∴③（△DEB）与△ABC相似，
故答案为：③△DEB．
【分析】分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答．
13．【答案】3
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
过点P作PE∥AB交AB于点E，△CPE∽△CAB.
过点P作PF∥BC交AB于点F，△APF∽△ACB.
过点P作PG⊥AB交AB于点G，△PGA∽△BCA.
故满足条件的直线有3条，
故答案为：3.
【分析】根据相似三角形的判定方法，过点P分别作PE∥AB，作PF∥BC，作PG⊥AB即得结论.
14．【答案】36
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解： ∵△1、△2、△3的面积比为1：4：9，
∴他们对应边边长的比为1：2：3，
∵四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，
∴DM=BG，EM=CH，
设DM=x，则ME=2x，GH=3x，
∴BC=BG+GH+CH=DM+GH+ME=x+2x+3x=6x，
∴BC：DM=6x：x=6：1，
∴S△ABC：S△FDM=36：1，
∴S△ABC=36×S△FDM=36×1=36．
故答案为：A．
【分析】 根据相似三角形的面积比是相似比的平方，先求出相似比．再根据平行四边形的性质及相似三角形的性质得到BC：DM=6：1，即S△ABC：S△FDM=36：1，从而得到△ABC面积．
15．【答案】4.8或
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以， = ，
即 = ，
解得t=4.8；
CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以， = ，
即 = ，
解得t= ．
综上所述，当t=4.8或 时，△CPQ与△CBA相似．
故答案为4.8或 ．
【分析】△CPQ与△CBA相似可分为两类：△CPQ∽△CBA或△CPQ∽△CAB，用t的代数式表示边，对应边成比例列出方程即可.
16．【答案】证明：∵AC2＝AD AB，
∴AC：AB＝AD：AC．
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由对应边成比例，及夹角可得△ACD∽△ABC即可．
17．【答案】解：∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠DAC=∠B，
∴△ACE∽△BAD．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先求出 ∠CED=∠CDE， 再求出 ∠AEC=∠ADB， 最后求解即可。
18．【答案】证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B，∠B=∠EFC，
∴∠ADE=∠EFC，
∴△ADE∽△EFC.
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】利用两直线平行，同位角相等，易证∠AED=∠C，∠ADE=∠B，∠B=∠EFC，由此可推出∠ADE=∠EFC；然后利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得结论.
19．【答案】（1）证明：
∵四边形 是矩形
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∵O是对角线 与 的交点
∴ ，
∴
∴ 为等边三角形，
∴
∵ ，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由矩形的性质以及同角的余角相等易得∠BAC=∠ADE，可得 ；
（2）由 易得∠ADE=30°，即可得∠BAC=30°，∠DAE=60°，可得BC的长度，根据矩形的性质以及∠DAE=60°可得△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OE的长度.
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期第23章 23.3.2 相似三角形的判定 同步练习
一、单选题
1．（2021·海南模拟）能判定 与 相似的条件是（ ）
A．
B． ，且
C． 且
D． ，且
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、 ，
B、 ，且 ，
D、 ，且 ，
均不能判断 与 相似，故错误；
C、 且 ，能判定 与 相似，本选项正确.
故答案为：C.
【分析】相似三角形的判定方法：有两对角分别相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此即可判断得出答案.
2．（2021九下·沁阳月考）如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=75°，∠A=30°，
A选项中三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B选项中三角形各角的度数都是60°，
C选项中三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D选项中三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故答案为：C.
【分析】根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”并结合各选项可判断求解.
3．（2021九上·韩城期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，F是BA延长线上一点，FD⊥BC于D，交AC于点E，则图中相似三角形共有几对（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ED⊥BC，
∴∠CDE＝∠BDF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠CDE，∠EAF＝90°，
∵∠C＝∠C，∠F＝∠F，∠B＝∠B，
∴△ABC∽△DEC，△AEF∽△DEC，△DBF∽△ABC，
∴△ABC∽△DEC∽△AEF∽△DBF，
故共有6对相似三角形.
故答案为：A.
【分析】由题意根据有两个角对应相等的两个三角形相似可求解.
4．（2020九上·邛崃期中）如图，在 中， ， ， ，将 沿图示中的虚线 剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A.∵ , ,
∴ ∽ ;
B.∵ , ,
∴ ∽ ;
D.∵ 在同一个圆上，
∴ ,
又∵ ,
∴ , ,
∴ ∽ ;
故剪下的三角形与原三角形不相似的是C.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项进行判断 ，即可求解.
5．（2021·贵港）下列命题是真命题的是（ ）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．两角分别相等的两个三角形相似
【答案】D
【知识点】平行线的判定；菱形的判定；矩形的判定；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、两角分别相等的两个三角形相似，正确，是真命题，符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定、矩形的判定、菱形的判定、相似三角形的判定，逐一进行判断即可.
6．（2021·恩施）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1， 为 与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵每个小正方形的边长都为1，
∴ ，
∴ ， ，故C错误；
∴△BCD是直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故B错误；
∴ ，故D正确；
∵ 为 与正方形网格线的交点，
∴CE∥AB，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A错误；
故答案为：D.
【分析】根据图形可得AB=4，AC=2，利用勾股定理求出，据此判断C；利用勾股定理的逆定理求出△BCD是直角三角形，由于，可证△ABC∽△CBD，可得，据此判断B、D；根据网格特点可得CE∥AB，可得点E边B的的中点，利用直角三角形的性质判断A即可.
7．（2020九上·海淀期末）如图，点 在 的边 上，要判定 与 相似，需添加一个条件，则以下所添加的条件错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，故A符合题意；
∵ ， ，
∴ ，故B符合题意；
∵ ， ，
∴ ，故C符合题意；
D选项的条件不可以证明，它不满足相似三角形的判定条件．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判定即可。
8．（2021九上·大洼期末）如图正方形网格上的三角形（1）（2）（3）中与△ABC相似的是（ ）
A．（1） B．（2）
C．（3） D．都不与△ABC相似
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：△ABC的三边长分别为：AB=5，AC= ，BC= ，
标号为（1）的三角形的三边长为： ， ，3，与三角形ABC的对应边不成比例，故不符合题意；
标号为（2）的三角形的三边长为：4， ， ，与三角形ABC的对应边成比例，
即： ，故符合题意；
标号（3）的三角形的三边长为： ， ，5，与三角形ABC的对应边不成比例，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别求出每个三角形的边长，再根据三边是否对应成比例进行判断即可得到答案.
9．（2020·石家庄模拟）如图，在 中， ， ， ，垂足为点 ，过点 作射线 ，点 是边 上任意一点，连接 并延长与射线 相交于点 ，设 ， 两点之间的距离为 ，过点 作直线 的垂线，垂足为 ．岑岑同学思考后给出了下面五条结论，正确的共有（ ）
① ；
②当 时， ；
③当 时，四边形 是平行四边形；
④当 或 时，都有 ；
⑤当 时， 与 一定相似．
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①∵AB＝BC＝10，AC＝12，BO⊥AC，
∴AO＝CO，AB＝BC，BO＝BO，
∴△AOB≌△COB；
故此选项符合题意；
②∵AE∥BC，
∴∠AQO＝∠OCP，
∵AO＝CO，∠AOQ＝∠POC，
∴当0＜x＜10时，△AOQ≌△COP；
故此选项符合题意；
③当x＝5时，
∴BP＝PC＝5，
∵AQ＝PC，
∴AQ＝PB＝5，
∵AQ∥BC，
∴四边形ABPQ是平行四边形；
故此选项符合题意；
④当x＝0时，P与B重合，
∴∠OBC＝∠QPR，
又∵∠BOC＝∠PRQ＝90°，
∴△BCO∽△PQR；
当x＝10时，P与C重合，此时Q与A重合，
∵∠QPR＝∠BPO，∠QRP＝∠BOC＝90°，
∴△QRP∽△BOC，
当x＝0时，△BCO∽△PQR与△PQR∽△CBO不相符；故此选项不符合题意；
⑤若△PQR与△CBO一定相似，
则∠QPR＝∠BCO，
故OP＝OC＝6，
过点O作OH⊥BC于H，
由射影定理得CO2＝CH CB，
可求得CH＝ CP＝3.6，
故CP＝7.2，所以BP＝x＝2.8
故当 时，△PQR与△CBO一定相似．
故此选项符合题意．
故正确的有4条．
故答案为：C．
【分析】根据相似三角形的判定以及平行四边形的判定与性质，以及全等三角形的判定方法分别进行分析即可得出答案．
二、填空题
10．（2021九上·海州期末）如图，要使△ACD∽△ABC，只需添加条件 (只要写出一种合适的条件即可).
【答案】∠1=∠ABC或∠2=∠ACB或AC2=AD·AB(答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：两个三角形已有公共角∠A，故可采用添加∠1=∠ABC或∠2=∠ACB或AC2=AD·AB这三方法均可.
【分析】 要判定两三角形相似，已知有一组公共角，则再添加一组角或夹公共角的两组边对应成比例，即可证明两个三角形相似．
11．（2020九上·北部湾月考）如图， ， ，则图中相似三角形有 对.
【答案】3
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵ ， ，
∴可直接得出 ， ，
由 ， ，可得： ， ，
∴ ，共有3对相似三角形，
故答案为：3.
【分析】根据相似三角形的判定定理分析即可.
12．（2021·抚顺模拟）如图，在正方形网格中有3个斜三角形：① ；② ；③ ；其中能与 相似的是 ．（ 除外）
【答案】③（ ）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据网格可知：AB=1，AC= ，BC= ，△ABC的三边之比是AB：AC：BC＝1： ： ，
同理可求：②△CDB的三边之比是CD：BC：BD＝1： ：2 ；
③△DEB中DE：BD：BE＝2：2 ： ＝1： ： ．
∴③（△DEB）与△ABC相似，
故答案为：③△DEB．
【分析】分别求出三个三角形的三边的比，再根据相似三角形的判定方法解答．
13．（2021·中江模拟）在 中， ，点P为 中点，经过点P的直线截 ，使截得的三角形与 相似，这样的直线共有 条.
【答案】3
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
过点P作PE∥AB交AB于点E，△CPE∽△CAB.
过点P作PF∥BC交AB于点F，△APF∽△ACB.
过点P作PG⊥AB交AB于点G，△PGA∽△BCA.
故满足条件的直线有3条，
故答案为：3.
【分析】根据相似三角形的判定方法，过点P分别作PE∥AB，作PF∥BC，作PG⊥AB即得结论.
14．（2020九上·合肥月考）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是S1=1，S2=4，S3=9，则△ABC的面积是
【答案】36
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解： ∵△1、△2、△3的面积比为1：4：9，
∴他们对应边边长的比为1：2：3，
∵四边形BDMG与四边形CEMH为平行四边形，
∴DM=BG，EM=CH，
设DM=x，则ME=2x，GH=3x，
∴BC=BG+GH+CH=DM+GH+ME=x+2x+3x=6x，
∴BC：DM=6x：x=6：1，
∴S△ABC：S△FDM=36：1，
∴S△ABC=36×S△FDM=36×1=36．
故答案为：A．
【分析】 根据相似三角形的面积比是相似比的平方，先求出相似比．再根据平行四边形的性质及相似三角形的性质得到BC：DM=6：1，即S△ABC：S△FDM=36：1，从而得到△ABC面积．
15．（2017·蜀山模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=16cm，AC=12cm，点P从点B出发，沿BC以2cm/s的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C同时出发，设运动时间为t s，当t= 时，△CPQ与△CBA相似．
【答案】4.8或
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，
所以， = ，
即 = ，
解得t=4.8；
CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，
所以， = ，
即 = ，
解得t= ．
综上所述，当t=4.8或 时，△CPQ与△CBA相似．
故答案为4.8或 ．
【分析】△CPQ与△CBA相似可分为两类：△CPQ∽△CBA或△CPQ∽△CAB，用t的代数式表示边，对应边成比例列出方程即可.
三、解答题
16．（2021·南昌模拟）如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD AB，求证：△ACD∽△ABC．
【答案】证明：∵AC2＝AD AB，
∴AC：AB＝AD：AC．
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由对应边成比例，及夹角可得△ACD∽△ABC即可．
17．（2021·江西模拟）如图，D是△ABC的BC边上一点，E为AD上一点，若∠DAC=∠B，CD=CE，试说明△ACE∽△BAD．
【答案】解：∵CE=CD，
∴∠CED=∠CDE，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠DAC=∠B，
∴△ACE∽△BAD．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先求出 ∠CED=∠CDE， 再求出 ∠AEC=∠ADB， 最后求解即可。
18．（2021九上·台州期末）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB
求证：△ADE∽△EFC.
【答案】证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B，∠B=∠EFC，
∴∠ADE=∠EFC，
∴△ADE∽△EFC.
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】利用两直线平行，同位角相等，易证∠AED=∠C，∠ADE=∠B，∠B=∠EFC，由此可推出∠ADE=∠EFC；然后利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得结论.
四、综合题
19．（2021·青白江模拟）如图，在矩形 中，O是对角线 与 的交点， ，垂足为点E，已知 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长.
【答案】（1）证明：
∵四边形 是矩形
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∴
∴
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴
∵O是对角线 与 的交点
∴ ，
∴
∴ 为等边三角形，
∴
∵ ，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）由矩形的性质以及同角的余角相等易得∠BAC=∠ADE，可得 ；
（2）由 易得∠ADE=30°，即可得∠BAC=30°，∠DAE=60°，可得BC的长度，根据矩形的性质以及∠DAE=60°可得△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OE的长度.
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