初中数学华师大版九年级上学期第23章 23.3.3 相似三角形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2021·西城模拟）若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（ ）
A．1：16 B．16：1 C．1：4 D．1：2
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16，
故正确的答案为：A
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可。
2．（2021·集美模拟）如图，已知 ∽ ，则下列哪条线段与 的比等于相似比（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ∽ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质，找出对应边，即可.
3．（2021·船营模拟）如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是（ ）
A．∠A＝∠C B．∠A>∠C C．∠A<∠C D．无法比较
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由于图形放大或缩小后，形状没有发生变化，结合相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，可判定∠A＝∠C.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的性质进行作答求解即可。
4．（2021·下城模拟）如图，在△ABC中，点D，点E分别在边AB，AC上（不与端点重合），连接DE，若DE∥BC，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
故选：C．
【分析】首先根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，然后得到三角形对应边的比即可得到结果．
5．（2021·黄冈模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且 ，则 的值为（ ）
A． B．1:2 C．1:3 D．1:4
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED.
∴ .
∴ .
故答案为：C.
【分析】由相似三角形的面积比=相似比的平方可得 ，即可得 的结果.
6．（2021·雅安）如图，将 沿 边向右平移得到 ， 交 于点G.若 . .则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】由平移的性质可得：AD=BE，且AD∥BE
∴△CEG∽△ADG
∴
即
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：B.
【分析】由平移的性质可得AD=BE，且AD∥BE，可证△CEG∽△ADG，可得，由BC：EC=3：1可求出BE：EC=2：1，即得AD：EC=2：1，利用面积比即可求出结论.
7．（2021·无锡）如图，D、E、F分别是 各边中点，则以下说法错误的是（ ）
A． 和 的面积相等
B．四边形 是平行四边形
C．若 ，则四边形 是菱形
D．若 ，则四边形 是矩形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE、DF为△ABC得中位线，
∴ED∥AC，且ED＝ AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝ AB＝AE，
∴四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确；
∴ ，
∴ ， ，
∴ 和 的面积相等，故A正确；
∵ ，
∴DF＝ AB=AE，
∴四边形 不一定是菱形，故C错误；
∵∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，故D正确；
故答案为：C.
【分析】根据三角形中位线定理可得ED∥AC，且ED＝ AC＝AF，DF∥AB，且DF＝ AB＝AE，可证四边形AEDF一定是平行四边形，由∠A=90°，可证四边形AEDF是矩形；根据平行线可证 ， ，利用相似三角形的性质可得 ，，据此判断A、B、D；由，可得DF＝ AB=AE，从而得出四边形 不一定是菱形，据此判断C.
8．（2021·聊城）如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标为A（0，2），B（﹣1，0），将△ABO绕点O按顺时针旋转得到△A1B1O，若AB⊥OB1，则点A1的坐标为（ ）
A．（ ） B．（ ）
C．（ ） D．（ ）
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解:如图所示，∵点A，B的坐标分别为A（0，2），B（﹣1，0），
∴OB=1，OA=2，
∴ ，
∵∠AOB=90°，
∴∠A1OB1=90°，
∴O A1⊥OB1，
又∵AB⊥OB1，
∴O A1∥AB，
∴∠1=∠2，
过A1点作A1C⊥x轴，
∴∠A1CO=∠AOB，
∴ ，
∴ ，
∵O A1=OA=2，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出，最后求点的坐标即可。
9．（2021·温州模拟）三个大小相同的等边三角形△ABC，△CDE，△GCF按如图所示方式摆放，点A， C， E在同一直线上，且点D，C，G在同一直线上，H为DE中点，以HB、HF为邻边作 BHFI，交AE于点M，N，若MN为8，则图中阴影部分的面积和为（ ）
A．18 B．36 C．18 D．36
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CI、CH，设CG与IF交于点P，CD与BH交于点Q，如图所示：
易得∠BCD=∠FCE=60°，
∵△ABC，△CDE，△GCF为等边三角形，
∴∠E=60°，HE=DE，BC=CF，
易证B、C、F共线，
∵H为DE中点，
∴CH⊥DE，
∵∠D=60°，
∴∠DCH=90°-60°=30°，
∴∠BCH=90°，
∵BC=CF，
∴BH=FH，
∴四边形BHFI为菱形，
∴IH为四边形BHFI的对角线，
∴CI=CH，
∵BI∥HF，
∴∠CHN=∠CIM，
∴△CNH≌△CMI（ASA），
∴CN=CM，
同理可证明△CQH≌△CPI，
∴S阴影=S△BIF，
∵∠BCD=∠FCE=60°，
∴DE∥CF，
∴△NEH∽△NCF，
∴，
设FG为m，
∵H为DE中点，
∴，
∴，
∴，
∴CE=6，
∴HE=3，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】先运用等边三角形的性质结合中垂线定理即可证明四边形BHFI为菱形，再利用全等三角形的判定证明出△CNH≌△CMI即可得到S阴影=S△BIF，再由DE∥CF，得到△NEH∽△NCF，进而得到CE的长，从而得到CI的长，最后运用三角形面积公式即可求解.
10．（2021·婺城模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以其三边为边向外作正方形，延长EA交BG于点M，连接IM交AB于点N，若M是BG的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形AEDC是正方形，
∴∠EAC=∠DCA=90°，EA∥DC，
∴∠MAB=∠CBA，
又∵四边形AFGB是正方形，
∴AB=BG，∠ABG=90°，
∴∠ACB=∠ABM=90°，
∴△ACB∽△MBA，
∴，
又∵M是BG中点，设BM=a，
∴AB=BG=2a，AM=，
∴
AE∥DC，IM与BC相交于O，
∴
∴.
故答案为：A
【分析】利用正方形的性质及平行线的性质可证得∠MAB=∠CBA，AB=BG，∠ACB=∠ABM=90°，由此可推出△ACB∽△MBA，利用相似三角形的性质可得对应边成比例；利用线段中点的定义表示出AB，AM的长，利用比列式可表示出AC，BC，IA的长；利用平行线分线等成比列定理可表示出CO的长；根据BO=BC-OC，可表示出BO的长，然后求出BN与AN的比值.
二、填空题
11．（2021·永州模拟）已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△ 的最短边为10，则△ 的周长是
【答案】36
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： △ABC与△ 相似，
经检验： 符合题意；
故答案为：
【分析】利用相似三角形的对应边之比等于周长比，可求出结果.
12．（2020九上·西安月考）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 和 ，另一个三角形的最短边长为 ，则它的最长边为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由两个形状相同的三角形框架，则这两个三角形相似，设另一个三角形的最长边长为 ，
，
故答案为：
【分析】由两个三角形框架的形状相同知这两个三角形相似，由相似三角形的对应边成比例建立方程可得答案.
13．（2021·南充）如图，在 中，D为BC上一点， ，则 的值为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴ .
故答案为： .
【分析】利用已知条件可证得AB，CB，BD，AB四条线段成比例，利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可求出AD与AC的比值.
14．（2021·宿迁）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、E分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 .
【答案】
【知识点】比例线段；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接DF，
∵CD=2BD，CF=2AF，
∴ ，
∵∠C=∠C，
∴△CDF∽△CBA，
∴ ，∠CFD=∠CAB，
∴DF∥BA，
∴△DFE∽△ABE，
∴ ，
∴ ，
∵CF=2AF，
∴ ，
∴ ，
∵CD=2BD，
∴ ，
∴ ，
∵△ABC中，AB=4，BC=5，
∴，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，为 ，
此时△AFE面积最大为 .
故答案为：
【分析】 连接DF，由 ，∠C=∠C，易得△CDF∽△CBA，可得∠CFD=∠CAB，即可得DF∥BA，即△DFE∽△ABE，可得 ，根据△AEF与△ADF同高，可得 ，同理可得 ， ，可得 ，当△ABC面积最大时， △AFE面积最大，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，可得结果.
15．（2021·无锡）如图，在 中， ， ， ，点E在线段 上，且 ，D是线段 上的一点，连接 ，将四边形 沿直线 翻折，得到四边形 ，当点G恰好落在线段 上时， .
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点F作FM⊥AC于点M，
∵将四边形 沿直线 翻折，得到四边形 ，当点G恰好落在线段 上，
∴FG= ，∠EFG= ，EF=AE=1，
∴EG= ，
∵∠FEM=∠GEF，∠FME=∠GFE=90°，
∴ ，
∴ ，
∴ = ， ，
∴AM=AE+EM= ，
∴ .
故答案是： .
【分析】过点F作FM⊥AC于点M，根据折叠的性质可得FG= ，∠EFG= ，EF=AE=1，由勾股定理求出EG=3，证明，可得，从而求出EM、MF、AM的长，利用勾股定理求出AF即可.
三、解答题
16．（2021·永州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD= ，AF交BC于E，交DC的延长线于F，且CF=1，求CE的长
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝ ，AB=3，
∴∠BAE=∠F，∠ABE=∠ECF，
∴△ABE∽△FCE，
∴ ，
∴BE＝3CE，
∵BC＝BE＋CE＝ ，
∴CE＝ ，
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，同时可求出BC的长，再证明△ABE∽△FCE，利用相似三角形的对应边成比例可证得BE=3CE，根据BC=BE+CE，代入计算求出CE的长.
17．（2021·嘉定模拟）清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？
如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是多少里？
【答案】解：设这座方城每面城墙的长为x里，
由题意得，BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，CE=CD= x，BE=2里，AD=8里，
∴∠B=∠ACD，
∴△CEB∽△ADC，
∴ ，
∴
∴x=8，
答：这座方城每面城墙的长为8里．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】设这座方城每面城墙的长为x里，根据题意得到BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
四、综合题
18．（2021·铜仁）如图，在 中， ， cm， cm.点 是 边上的一动点，点 从点 出发以每秒2cm的速度沿 方向匀速运动，以 为边作等边 （点 、点在 同侧），设点 运动的时间为 秒， 与 重叠部分的面积为 .
（1）当点 落在 内部时，求此时 与 重叠部分的面积 （用含 的代数式表示，不要求写 的取值范围）；
（2）当点 落在 上时，求此时 与 重叠部分的面积 的值：
（3）当点 落在 外部时，求此时 与 重叠部分的面积 （用含 的代数式表示）.
【答案】（1）解：过点Q作QD⊥AC于点D，如图：
∵ΔCPQ是等边三角形，
∴CP=CQ=2x，∠QCP=60°，则CD=DP=x，
∴QD=2x = ，
∴ ；
（2）解：过点Q作QD⊥AC于点D，如图：
由（1）知，QD= ，CD=DP=x，则AD=12-x，
∵QD⊥AC，∠ACB=90°，
∴QD∥BC，则△AQD △ABC，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ；
（3）解：当 时，设QC、PQ分别交AB于M、N，
过点Q作QD⊥AC于点D，过点E作EM⊥AC于点M，过点F作FN⊥AC于点N，如图：
同（2）得CM=4，
设NP=a，则FN= a，
同理：FN∥BC，则△AFN △ABC，
∴ ，即 ，
∴ ，则FN= ，
∴
.
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 过点Q作QD⊥AC于点D ，求出等边三角形△CPQ的面积即可；
（2） 过点Q作QD⊥AC于点D，由（1）知，QD= ，CD=DP=x，则AD=12-x，证明△AQD △ABC，可得，据此求出x值，即可求出CP、QD，利用计算即可；
（3） 当点 落在 外部时，即是当 时，设QC、PQ分别交AB于M、N，过点Q作QD⊥AC于点D，过点E作EM⊥AC于点M，过点F作FN⊥AC于点N，设NP=a，则FN= a，
证明△AFN △ABC，利用对应边成比例可求出 ，则FN= ， 由于，利用三角形的面积公式求解即可.
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期第23章 23.3.3 相似三角形的性质 同步练习
一、单选题
1．（2021·西城模拟）若相似三角形的相似比为1：4，则面积比为（ ）
A．1：16 B．16：1 C．1：4 D．1：2
2．（2021·集美模拟）如图，已知 ∽ ，则下列哪条线段与 的比等于相似比（ ）.
A． B． C． D．
3．（2021·船营模拟）如图，赵师傅透过平举的放大镜从正上方看水平桌面上的菱形图案的一角，那么∠A与放大镜中的∠C的大小关系是（ ）
A．∠A＝∠C B．∠A>∠C C．∠A<∠C D．无法比较
4．（2021·下城模拟）如图，在△ABC中，点D，点E分别在边AB，AC上（不与端点重合），连接DE，若DE∥BC，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·黄冈模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且 ，则 的值为（ ）
A． B．1:2 C．1:3 D．1:4
6．（2021·雅安）如图，将 沿 边向右平移得到 ， 交 于点G.若 . .则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（2021·无锡）如图，D、E、F分别是 各边中点，则以下说法错误的是（ ）
A． 和 的面积相等
B．四边形 是平行四边形
C．若 ，则四边形 是菱形
D．若 ，则四边形 是矩形
8．（2021·聊城）如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标为A（0，2），B（﹣1，0），将△ABO绕点O按顺时针旋转得到△A1B1O，若AB⊥OB1，则点A1的坐标为（ ）
A．（ ） B．（ ）
C．（ ） D．（ ）
9．（2021·温州模拟）三个大小相同的等边三角形△ABC，△CDE，△GCF按如图所示方式摆放，点A， C， E在同一直线上，且点D，C，G在同一直线上，H为DE中点，以HB、HF为邻边作 BHFI，交AE于点M，N，若MN为8，则图中阴影部分的面积和为（ ）
A．18 B．36 C．18 D．36
10．（2021·婺城模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以其三边为边向外作正方形，延长EA交BG于点M，连接IM交AB于点N，若M是BG的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021·永州模拟）已知△ABC的三边分别是5，6，7，则与它相似△ 的最短边为10，则△ 的周长是
12．（2020九上·西安月考）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 和 ，另一个三角形的最短边长为 ，则它的最长边为 .
13．（2021·南充）如图，在 中，D为BC上一点， ，则 的值为 .
14．（2021·宿迁）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、E分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 .
15．（2021·无锡）如图，在 中， ， ， ，点E在线段 上，且 ，D是线段 上的一点，连接 ，将四边形 沿直线 翻折，得到四边形 ，当点G恰好落在线段 上时， .
三、解答题
16．（2021·永州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，AD= ，AF交BC于E，交DC的延长线于F，且CF=1，求CE的长
17．（2021·嘉定模拟）清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立．又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？
如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一塔（点A），自西门（点E）直行2里至点B，切城角（点C）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长是多少里？
四、综合题
18．（2021·铜仁）如图，在 中， ， cm， cm.点 是 边上的一动点，点 从点 出发以每秒2cm的速度沿 方向匀速运动，以 为边作等边 （点 、点在 同侧），设点 运动的时间为 秒， 与 重叠部分的面积为 .
（1）当点 落在 内部时，求此时 与 重叠部分的面积 （用含 的代数式表示，不要求写 的取值范围）；
（2）当点 落在 上时，求此时 与 重叠部分的面积 的值：
（3）当点 落在 外部时，求此时 与 重叠部分的面积 （用含 的代数式表示）.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】两个相似三角形的相似比为1：4，相似三角形面积的比等于相似比的平方是1：16，
故正确的答案为：A
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可。
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ∽ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质，找出对应边，即可.
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由于图形放大或缩小后，形状没有发生变化，结合相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，可判定∠A＝∠C.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的性质进行作答求解即可。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
故选：C．
【分析】首先根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，然后得到三角形对应边的比即可得到结果．
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED.
∴ .
∴ .
故答案为：C.
【分析】由相似三角形的面积比=相似比的平方可得 ，即可得 的结果.
6．【答案】B
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】由平移的性质可得：AD=BE，且AD∥BE
∴△CEG∽△ADG
∴
即
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：B.
【分析】由平移的性质可得AD=BE，且AD∥BE，可证△CEG∽△ADG，可得，由BC：EC=3：1可求出BE：EC=2：1，即得AD：EC=2：1，利用面积比即可求出结论.
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： ∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DE、DF为△ABC得中位线，
∴ED∥AC，且ED＝ AC＝AF；同理DF∥AB，且DF＝ AB＝AE，
∴四边形AEDF一定是平行四边形，故B正确；
∴ ，
∴ ， ，
∴ 和 的面积相等，故A正确；
∵ ，
∴DF＝ AB=AE，
∴四边形 不一定是菱形，故C错误；
∵∠A＝90°，则四边形AEDF是矩形，故D正确；
故答案为：C.
【分析】根据三角形中位线定理可得ED∥AC，且ED＝ AC＝AF，DF∥AB，且DF＝ AB＝AE，可证四边形AEDF一定是平行四边形，由∠A=90°，可证四边形AEDF是矩形；根据平行线可证 ， ，利用相似三角形的性质可得 ，，据此判断A、B、D；由，可得DF＝ AB=AE，从而得出四边形 不一定是菱形，据此判断C.
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解:如图所示，∵点A，B的坐标分别为A（0，2），B（﹣1，0），
∴OB=1，OA=2，
∴ ，
∵∠AOB=90°，
∴∠A1OB1=90°，
∴O A1⊥OB1，
又∵AB⊥OB1，
∴O A1∥AB，
∴∠1=∠2，
过A1点作A1C⊥x轴，
∴∠A1CO=∠AOB，
∴ ，
∴ ，
∵O A1=OA=2，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】先求出，再求出，最后求点的坐标即可。
9．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接CI、CH，设CG与IF交于点P，CD与BH交于点Q，如图所示：
易得∠BCD=∠FCE=60°，
∵△ABC，△CDE，△GCF为等边三角形，
∴∠E=60°，HE=DE，BC=CF，
易证B、C、F共线，
∵H为DE中点，
∴CH⊥DE，
∵∠D=60°，
∴∠DCH=90°-60°=30°，
∴∠BCH=90°，
∵BC=CF，
∴BH=FH，
∴四边形BHFI为菱形，
∴IH为四边形BHFI的对角线，
∴CI=CH，
∵BI∥HF，
∴∠CHN=∠CIM，
∴△CNH≌△CMI（ASA），
∴CN=CM，
同理可证明△CQH≌△CPI，
∴S阴影=S△BIF，
∵∠BCD=∠FCE=60°，
∴DE∥CF，
∴△NEH∽△NCF，
∴，
设FG为m，
∵H为DE中点，
∴，
∴，
∴，
∴CE=6，
∴HE=3，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】先运用等边三角形的性质结合中垂线定理即可证明四边形BHFI为菱形，再利用全等三角形的判定证明出△CNH≌△CMI即可得到S阴影=S△BIF，再由DE∥CF，得到△NEH∽△NCF，进而得到CE的长，从而得到CI的长，最后运用三角形面积公式即可求解.
10．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形AEDC是正方形，
∴∠EAC=∠DCA=90°，EA∥DC，
∴∠MAB=∠CBA，
又∵四边形AFGB是正方形，
∴AB=BG，∠ABG=90°，
∴∠ACB=∠ABM=90°，
∴△ACB∽△MBA，
∴，
又∵M是BG中点，设BM=a，
∴AB=BG=2a，AM=，
∴
AE∥DC，IM与BC相交于O，
∴
∴.
故答案为：A
【分析】利用正方形的性质及平行线的性质可证得∠MAB=∠CBA，AB=BG，∠ACB=∠ABM=90°，由此可推出△ACB∽△MBA，利用相似三角形的性质可得对应边成比例；利用线段中点的定义表示出AB，AM的长，利用比列式可表示出AC，BC，IA的长；利用平行线分线等成比列定理可表示出CO的长；根据BO=BC-OC，可表示出BO的长，然后求出BN与AN的比值.
11．【答案】36
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： △ABC与△ 相似，
经检验： 符合题意；
故答案为：
【分析】利用相似三角形的对应边之比等于周长比，可求出结果.
12．【答案】
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：由两个形状相同的三角形框架，则这两个三角形相似，设另一个三角形的最长边长为 ，
，
故答案为：
【分析】由两个三角形框架的形状相同知这两个三角形相似，由相似三角形的对应边成比例建立方程可得答案.
13．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵∠B=∠B，
∴△ABD∽△CBA，
∴ .
故答案为： .
【分析】利用已知条件可证得AB，CB，BD，AB四条线段成比例，利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可求出AD与AC的比值.
14．【答案】
【知识点】比例线段；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接DF，
∵CD=2BD，CF=2AF，
∴ ，
∵∠C=∠C，
∴△CDF∽△CBA，
∴ ，∠CFD=∠CAB，
∴DF∥BA，
∴△DFE∽△ABE，
∴ ，
∴ ，
∵CF=2AF，
∴ ，
∴ ，
∵CD=2BD，
∴ ，
∴ ，
∵△ABC中，AB=4，BC=5，
∴，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，为 ，
此时△AFE面积最大为 .
故答案为：
【分析】 连接DF，由 ，∠C=∠C，易得△CDF∽△CBA，可得∠CFD=∠CAB，即可得DF∥BA，即△DFE∽△ABE，可得 ，根据△AEF与△ADF同高，可得 ，同理可得 ， ，可得 ，当△ABC面积最大时， △AFE面积最大，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，可得结果.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点F作FM⊥AC于点M，
∵将四边形 沿直线 翻折，得到四边形 ，当点G恰好落在线段 上，
∴FG= ，∠EFG= ，EF=AE=1，
∴EG= ，
∵∠FEM=∠GEF，∠FME=∠GFE=90°，
∴ ，
∴ ，
∴ = ， ，
∴AM=AE+EM= ，
∴ .
故答案是： .
【分析】过点F作FM⊥AC于点M，根据折叠的性质可得FG= ，∠EFG= ，EF=AE=1，由勾股定理求出EG=3，证明，可得，从而求出EM、MF、AM的长，利用勾股定理求出AF即可.
16．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC＝ ，AB=3，
∴∠BAE=∠F，∠ABE=∠ECF，
∴△ABE∽△FCE，
∴ ，
∴BE＝3CE，
∵BC＝BE＋CE＝ ，
∴CE＝ ，
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，同时可求出BC的长，再证明△ABE∽△FCE，利用相似三角形的对应边成比例可证得BE=3CE，根据BC=BE+CE，代入计算求出CE的长.
17．【答案】解：设这座方城每面城墙的长为x里，
由题意得，BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，CE=CD= x，BE=2里，AD=8里，
∴∠B=∠ACD，
∴△CEB∽△ADC，
∴ ，
∴
∴x=8，
答：这座方城每面城墙的长为8里．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】设这座方城每面城墙的长为x里，根据题意得到BE∥CD，∠BEC=∠ADC=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
18．【答案】（1）解：过点Q作QD⊥AC于点D，如图：
∵ΔCPQ是等边三角形，
∴CP=CQ=2x，∠QCP=60°，则CD=DP=x，
∴QD=2x = ，
∴ ；
（2）解：过点Q作QD⊥AC于点D，如图：
由（1）知，QD= ，CD=DP=x，则AD=12-x，
∵QD⊥AC，∠ACB=90°，
∴QD∥BC，则△AQD △ABC，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ；
（3）解：当 时，设QC、PQ分别交AB于M、N，
过点Q作QD⊥AC于点D，过点E作EM⊥AC于点M，过点F作FN⊥AC于点N，如图：
同（2）得CM=4，
设NP=a，则FN= a，
同理：FN∥BC，则△AFN △ABC，
∴ ，即 ，
∴ ，则FN= ，
∴
.
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1） 过点Q作QD⊥AC于点D ，求出等边三角形△CPQ的面积即可；
（2） 过点Q作QD⊥AC于点D，由（1）知，QD= ，CD=DP=x，则AD=12-x，证明△AQD △ABC，可得，据此求出x值，即可求出CP、QD，利用计算即可；
（3） 当点 落在 外部时，即是当 时，设QC、PQ分别交AB于M、N，过点Q作QD⊥AC于点D，过点E作EM⊥AC于点M，过点F作FN⊥AC于点N，设NP=a，则FN= a，
证明△AFN △ABC，利用对应边成比例可求出 ，则FN= ， 由于，利用三角形的面积公式求解即可.
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