【精品解析】初中数学华师大版九年级上学期第23章 23.3 相似三角形 同步练习

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名称 【精品解析】初中数学华师大版九年级上学期第23章 23.3 相似三角形 同步练习
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资源类型 试卷
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科目 数学
更新时间 2021-08-03 16:43:30

文档简介

初中数学华师大版九年级上学期第23章 23.3 相似三角形 同步练习
一、单选题
1.(2021·上虞模拟)如图所示,在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比,下面各个备选答案的量中,保持不变的量是(  )
A.角 B.边长 C.周长 D.面积
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解:在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比,角度没有改变,
故答案为:A.
【分析】因为在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相似,根据相似三角形的性质可知角度没有改变.
2.(2021·崆峒模拟)两个相似三角形的相似比是1:4,那么它们的面积比是(  )
A.1:2 B.1:4 C.1:16 D.1:
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解:∵两个相似三角形的相似比是1:4,
∴它们的面积比是1:16.
故答案为:C.
【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方,据此解答即可.
3.(2021九上·宜宾期末)如图,在 中, , , 的周长是 ,则 的周长是(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解: ,



∴ 和 周长之比为1:3.
∵ 的周长是 ,
∴ 的周长为 ,
故答案为:D.
【分析】由 可得,根据相似三角形周长比=相似比可得结果.
4.(2021·湘西)如图,在菱形 中, 是 的中点, ,交 于点 ,如果 ,那么菱形 的周长是(  )
A.11 B.22 C.33 D.44
【答案】D
【知识点】菱形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵ ,
∴ ,
∴ ,
∵ 是 的中点,
∴ ,即 ,
∵ ,
∴ ,
∵四边形 是菱形,
∴ ;
故答案为:D.
【分析】根据平行线可证 ,可得 ,由 是 的中点,可得EF是△ACD的中位线,可得CD=2EF=11,利用即可求出结论.
5.(2021·湘西)如图,在 中, , 于点 , , , ,则 的长是(  )
A.14 B.12.4 C.10.5 D.9.3
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵ , ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ , , ,
∴ ,
∴ ,
∴ ;
故答案为:C.
【分析】证明 ,可得,据此即可求出CD的长.
6.(2021·襄城模拟)如图,在平行四边形 中,点E是边 上一点,且 , 交对角线 于点F,则 等于(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵四边形 是平行四边形, ,
∴AD∥BC,AD=BC=3ED,
∴∠EDB=∠CBD,∠DEF=∠BCF,
∴△DFE∽△BFC,∴ .
故答案为:A.
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质解答即可.
7.(2021·迁西模拟)如图, ,下列说法错误的是(  )
A.两个三角形是位似图形
B.点A是两个三角形的位似中心
C.点B与点
D.点C与点E是对应位似点 D. 是相似比
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:A、∵BC∥ED,
∴△ADE∽△ABC,
∵△ADE与△ABC对应点的连线相交于一点,对应边平行或在同一条直线上,
∴△ADE与△ABC是位似图形,不符合题意;
B、点A是两个三角形的位似中心,不符合题意;
C、B与D、C与E是对应位似点,不符合题意;
D、AC:AB不是相似比,AE:AC是相似比,符合题意;
故答案为:D.
【分析】先求出△ADE∽△ABC,再对每个选项一一判断求解即可。
8.(2021·招远模拟)小刚身高 ,测得他站立在阳光下的影子长为 ,紧接着他把手臂竖直举起,测得影子长为 ,那么小刚举起的手臂超出头顶(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解:设手臂竖直举起时总高度 ,列方程得:

解得 ,

所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为 .
故答案为:B.
【分析】同一时刻,物体的实际高度与影长成比例,根据等量关系列方程。
9.(2021·北部湾模拟)《九章算术》中,有一数学史上有名的测量问题:“今有邑,东西七里,南北九里,各开中门,出东门一十五里有木,问:出南门几何步而见木?”今译如下:如图,矩形 ,东边城墙 长9里,南边城墙 长7里,东门点 ,南门点 分别位于 , 的中点, , , 里, 经过 点,则 的长为(  )
A.0.95里 B.1.05里 C.2.05里 D.2.15里
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解:

故答案为:B.
【分析】由平行线的性质可得∠DAH=∠EGA,进而证明△AHF∽△GAE,然后根据相似三角形的对应边成比例求解即可.
10.(2021·通辽)如图,已知 , , ,点E为射线 上一个动点,连接 ,将 沿 折叠,点B落在点 处,过点 作 的垂线,分别交 , 于M,N两点,当 为线段 的三等分点时, 的长为(  )
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【知识点】翻折变换(折叠问题);相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:当点 为线段 的三等分点时,需要分两种情况讨论:
①如图1,当 时,
∵ ∥ , , ,
∴四边形 为矩形,
∴ , , .
由折叠的性质可得 , .
在 中, .
∵ , ,
∴ ,
∴ ∽ ,
∴ ,即 ,解得 ,
∴ .
②如图2,当 时,
∵ ∥ , , ,
∴四边形 为矩形,
∴ , , .
由折叠的性质可得 , .
在 中, .
∵ , ,
∴ ,
∴ ∽ ,
∴ ,即 ,解得 ,
∴ .
综上所述, 的长为 或 .
故答案为:D.
【分析】根据勾股定理可得,根据相似三角形的性质,可得EN的长,根据勾股定理可得答案。
二、填空题
11.(2021·海南模拟)已知 ,它们的周长分别为 和 ,则 与 面积之比为   .
【答案】9:1
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解:∵ 且它们的周长分别为 和 ,
∴ 与 的相似比为3:1
∴ 与 的面积比为9:1
故答案为:9:1.
【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似之比,面积之比等于形似比的平方即可得出结果.
12.(2020九上·玉屏月考)如图,当∠AED=   时,△ADE与△ABC相似.
【答案】∠ACB或∠ABC
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠BAC=∠EAD(公共角),
再由∠AED=∠ACB或∠AED=∠ABC,
即可证明,△ADE与△ABC相似,
故答案为:∠ACB或∠ABC.
【分析】由题意可知∠A是公共角,根据“两个角对应相等的两个三角形相似”得∠AED=∠ACB或∠AED=∠ABC可求解(答案不唯一).
13.(2021·无锡)下列命题中,正确命题的个数为   .
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
【答案】①
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解:所有的正方形都相似,所以①正确;
所有的菱形不一定相似,所以②错误;
边长相等的两个菱形,形状不一定相同,即:边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误;
对角线相等的两个矩形,对应边不一定成比例,即不一定相似,所以④错误;
故答案是:①.
【分析】根据相似多边形的定义逐一判断即可.
14.(2021·毕节)学习投影后,小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如图,身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处,沿着平直的道路走8m到达点D处,测得影子DE长是2m,则路灯灯泡A离地面的高度AB为   m.
【答案】8.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解,根据题意得,



故答案为:8.5
【分析】根据题意得 ,利用相似三角形的对应边成比例即可求解.
15.(2021·台州)如图,点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB,BC,AD上,AF⊥EG.若AB=5,AE=DG=1,则BF=   .
【答案】
【知识点】正方形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵在正方形ABCD中,AF⊥EG,
∴∠AGE+∠GAM =90°,∠FAB+∠GAM=90°,
∴∠FAB =∠AGE,
又∵∠ABF=∠GAE=90°,
∴ ,
∴ ,即: ,
∴BF= .
故答案是: .
【分析】利用正方形的性质及垂直的定义可证∠AGE+∠GAM =90°,∠FAB+∠GAM=90°,可推出∠FAB =∠AGE,由此可推出△ABF∽△GAE,利用相似三角形的对应边成比例,可求出BF的长.
16.(2021·平房模拟)如图,在△ABC中,AB=BC=2 ,AE⊥BC,垂足为点E,延长AE至点D,使AD=AB,连接CD、BD,若∠ACD=90°,则BD的长为   .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:设BE=m,DE=n,则AE=2 ﹣n,CE=2 ﹣m,
∵AE⊥BC,∠ACD=90°,
∴∠ACE+∠EAC=90°,∠ACE+∠DCE=90°,
∴∠EAC=∠DCE,∠AEC=∠CED,
∴△AEC∽△CED,
∴ ,即 ,
∴m2+n2﹣4 m﹣2 n=﹣20①,
∵AE⊥BC,
∴AE2+BE2=AB2,即(2 ﹣n)2+m2=20,
∴m2+n2=4 n②,
联立①②得4 n﹣4 m﹣2 n=﹣20,
∴m= n+ ,代入②得( n+ )2+n2=4 n,
解得n= 或2 (不合题意,舍去),
∴m= ,
在Rt△BED中,BD= = =2 .
故答案为:2 .
【分析】设BE=m,DE=n,则AE=2 ﹣n,CE=2 ﹣m,证明△AEC∽△CED,根据相似三角形的性质可得,可得m2+n2﹣4 m﹣2 n=﹣20①,由勾股定理得出AE2+BE2=AB2,可得m2+n2=4 n②,联立得出m= n+ ,代入②得( n+ )2+n2=4 n,即可求出m= ,根据勾股定理求出BD的长。
17.(2021·洪洞模拟)如图,在矩形 中, , 为边 上两点,将矩形 沿 折叠,点 恰好落在 上的 处,且 ,再将矩形 沿过点 的直线折叠,使点 落在 上的 处,折痕交 于点 ,将矩形 再沿 折叠, 与 恰好重合,已知 ,则    .
【答案】
【知识点】翻折变换(折叠问题);相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:由折叠的性质得AE=A'E,又AE= ,
∴A'E= ,
∵A'E=A'F,∠EA'B=∠EAB=90°,
∴△A'EF为等腰直角三角形,
∴EF= A'E=2,∠EFC'=45°,
∴AF=AE+EF= +2,△ABF为等腰直角三角形,
∴AB=AF= +2,∠ABF=45°,
∴∠ABE=∠HBF=22.5°,
由折叠的性质得∠C'HF=∠DHF,∠BHC=∠BHC',
∴∠BHF=∠BHC'+∠C'HF=90°,
∵∠C'FH=∠BFH,∠BHF=∠FC'H=90°,
∴△FHC'∽△FBH,
同理△ABE∽△FBH,
∴△FDH∽△EAB,
∴ ,
∵DH=C'H=CH,
∴DF= AE= ,
∴AD=AF+DF= +2.
故答案为: +2.
【分析】先求出EF= A'E=2,∠EFC'=45°,再求出△FDH∽△EAB,最后计算求解即可。
三、解答题
18.(2021九下·江夏月考)如图,已知 ,求证: .
【答案】证明:∵ ,
∴ , ,
∴ , ,
∴ ,
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 根据相似三角形的性质得出,,从而得出,,根据两边成比例且夹角相等即证结论.
19.(2021·韩城模拟)青龙寺是西安最著名的櫻花观赏地,品种达到了13种之多,每年3、4月陆续开放的櫻花让这里成为了花的海洋.一天,小明和小刚去青龙寺游玩,想利用所学知识测量一棵樱花树的高度(櫻花树四周被围起来了,底部不易到达).小明在F处竖立了一根标杆 ,小刚走到C处时,站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上.此时测得小刚的眼睛到地面的距离 米;然后,小刚在C处蹲下,小明平移标杆到H处时,小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上,此时测得小刚的眼睛到地面的距离 米.已知 米, 米, 米,点C、F、H、A在一条直线上,点M在 上, , , , .根据以上测量过程及测量数据,请你求出这棵樱花树 的高度.
【答案】解:过点D作 于点P,交 于点N,过点M作 于点Q,交 于点K,
由题意可得: , 米, , 米, 米.
, , ,

, ,
, .
, .
(米).
答:这棵樱花树 的高度是8.8米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 过点D作DP⊥AB于点P,交EF于点N,过点M作MQ⊥AB于点Q,交GH于点K,证得△DEN∽△DBP,△GMK∽△BMQ,利用相似三角形的对应边成比例即可求得AB.
四、作图题
20.(2020九上·鄞州期中)如图,△ABC是正方形网格图中的格点三角形(顶点在格点上),请分别在图1和图2的正方形网格内按下列要求画出格点三角形.
(1)在图1中,画△DEF与△ABC相似,且相似比为 ;
(2)在图2中,画△PQR与△ABC相似,且相似比为 .
【答案】(1)解:如图,△DEF为所求,
(2)解:如图, △PQR为所求,
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】(1)由△ABC的边长分别为1、和,构造△DEF的边长分别为、2和即可;
(2)由△ABC的边长分别为1、和,构造△DEF的边长分别为、和5即可.
五、综合题
21.(2021·玉林)如图,在 中,D在 上, , .
(1)求证: ∽ ;
(2)若 ,求 的值.
【答案】(1)证明:∵ , ,
∴ ,
∴ ;
(2)解:由(1)可知 ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据 可得 ,根据 可得 可得结果;
(2)由(1)可得 , ,根据相似三角形面积比=相似比的平方可得 ,即可得结果.
22.(2020九下·宝山期中)如图,在 中, 的平分线交边 于点 ,交 的延长线于点 ,点 在 上,联结
(1)求证: ;
(2)连结 ,如果 ,且 ,求 的长.
【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DF,AD∥BC,
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF=∠F,
∴AD=DF,
∵∠GDF=∠F,
∴△GDF∽△DAF,
∴ ,
∴ ;
(2)解:∵AF平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAF,
∵AD∥BC,
∴∠BEA=∠DAF,
∴∠BEA=∠BAE,
∴ 是等腰三角形,
∴BA=BE=6,
∵BG⊥AE,
∴AG=EG,
∵∠BEA=∠CEF,
∴∠CEF=∠F,
∴EC=CF=3,DF=AD=9,
∴ ,
即AG=GE=EF,
∵△GDF∽△DAF,AD=FD,
∴DG=FG,
∴DG= ,
∵ ,
∴ AF2=81,
∴AF= .
【知识点】平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)先求出 AB∥DF,AD∥BC, 再求出 △GDF∽△DAF, 最后求解即可;
(2)先求出 ∠BEA=∠BAE, 再求出 DG=FG, 最后求解即可。
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期第23章 23.3 相似三角形 同步练习
一、单选题
1.(2021·上虞模拟)如图所示,在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比,下面各个备选答案的量中,保持不变的量是(  )
A.角 B.边长 C.周长 D.面积
2.(2021·崆峒模拟)两个相似三角形的相似比是1:4,那么它们的面积比是(  )
A.1:2 B.1:4 C.1:16 D.1:
3.(2021九上·宜宾期末)如图,在 中, , , 的周长是 ,则 的周长是(  )
A. B. C. D.
4.(2021·湘西)如图,在菱形 中, 是 的中点, ,交 于点 ,如果 ,那么菱形 的周长是(  )
A.11 B.22 C.33 D.44
5.(2021·湘西)如图,在 中, , 于点 , , , ,则 的长是(  )
A.14 B.12.4 C.10.5 D.9.3
6.(2021·襄城模拟)如图,在平行四边形 中,点E是边 上一点,且 , 交对角线 于点F,则 等于(  )
A. B. C. D.
7.(2021·迁西模拟)如图, ,下列说法错误的是(  )
A.两个三角形是位似图形
B.点A是两个三角形的位似中心
C.点B与点
D.点C与点E是对应位似点 D. 是相似比
8.(2021·招远模拟)小刚身高 ,测得他站立在阳光下的影子长为 ,紧接着他把手臂竖直举起,测得影子长为 ,那么小刚举起的手臂超出头顶(  )
A. B. C. D.
9.(2021·北部湾模拟)《九章算术》中,有一数学史上有名的测量问题:“今有邑,东西七里,南北九里,各开中门,出东门一十五里有木,问:出南门几何步而见木?”今译如下:如图,矩形 ,东边城墙 长9里,南边城墙 长7里,东门点 ,南门点 分别位于 , 的中点, , , 里, 经过 点,则 的长为(  )
A.0.95里 B.1.05里 C.2.05里 D.2.15里
10.(2021·通辽)如图,已知 , , ,点E为射线 上一个动点,连接 ,将 沿 折叠,点B落在点 处,过点 作 的垂线,分别交 , 于M,N两点,当 为线段 的三等分点时, 的长为(  )
A. B. C. 或 D. 或
二、填空题
11.(2021·海南模拟)已知 ,它们的周长分别为 和 ,则 与 面积之比为   .
12.(2020九上·玉屏月考)如图,当∠AED=   时,△ADE与△ABC相似.
13.(2021·无锡)下列命题中,正确命题的个数为   .
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
14.(2021·毕节)学习投影后,小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如图,身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处,沿着平直的道路走8m到达点D处,测得影子DE长是2m,则路灯灯泡A离地面的高度AB为   m.
15.(2021·台州)如图,点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB,BC,AD上,AF⊥EG.若AB=5,AE=DG=1,则BF=   .
16.(2021·平房模拟)如图,在△ABC中,AB=BC=2 ,AE⊥BC,垂足为点E,延长AE至点D,使AD=AB,连接CD、BD,若∠ACD=90°,则BD的长为   .
17.(2021·洪洞模拟)如图,在矩形 中, , 为边 上两点,将矩形 沿 折叠,点 恰好落在 上的 处,且 ,再将矩形 沿过点 的直线折叠,使点 落在 上的 处,折痕交 于点 ,将矩形 再沿 折叠, 与 恰好重合,已知 ,则    .
三、解答题
18.(2021九下·江夏月考)如图,已知 ,求证: .
19.(2021·韩城模拟)青龙寺是西安最著名的櫻花观赏地,品种达到了13种之多,每年3、4月陆续开放的櫻花让这里成为了花的海洋.一天,小明和小刚去青龙寺游玩,想利用所学知识测量一棵樱花树的高度(櫻花树四周被围起来了,底部不易到达).小明在F处竖立了一根标杆 ,小刚走到C处时,站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上.此时测得小刚的眼睛到地面的距离 米;然后,小刚在C处蹲下,小明平移标杆到H处时,小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上,此时测得小刚的眼睛到地面的距离 米.已知 米, 米, 米,点C、F、H、A在一条直线上,点M在 上, , , , .根据以上测量过程及测量数据,请你求出这棵樱花树 的高度.
四、作图题
20.(2020九上·鄞州期中)如图,△ABC是正方形网格图中的格点三角形(顶点在格点上),请分别在图1和图2的正方形网格内按下列要求画出格点三角形.
(1)在图1中,画△DEF与△ABC相似,且相似比为 ;
(2)在图2中,画△PQR与△ABC相似,且相似比为 .
五、综合题
21.(2021·玉林)如图,在 中,D在 上, , .
(1)求证: ∽ ;
(2)若 ,求 的值.
22.(2020九下·宝山期中)如图,在 中, 的平分线交边 于点 ,交 的延长线于点 ,点 在 上,联结
(1)求证: ;
(2)连结 ,如果 ,且 ,求 的长.
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解:在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比,角度没有改变,
故答案为:A.
【分析】因为在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相似,根据相似三角形的性质可知角度没有改变.
2.【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解:∵两个相似三角形的相似比是1:4,
∴它们的面积比是1:16.
故答案为:C.
【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方,据此解答即可.
3.【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解: ,



∴ 和 周长之比为1:3.
∵ 的周长是 ,
∴ 的周长为 ,
故答案为:D.
【分析】由 可得,根据相似三角形周长比=相似比可得结果.
4.【答案】D
【知识点】菱形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵ ,
∴ ,
∴ ,
∵ 是 的中点,
∴ ,即 ,
∵ ,
∴ ,
∵四边形 是菱形,
∴ ;
故答案为:D.
【分析】根据平行线可证 ,可得 ,由 是 的中点,可得EF是△ACD的中位线,可得CD=2EF=11,利用即可求出结论.
5.【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵ , ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ , , ,
∴ ,
∴ ,
∴ ;
故答案为:C.
【分析】证明 ,可得,据此即可求出CD的长.
6.【答案】A
【知识点】平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵四边形 是平行四边形, ,
∴AD∥BC,AD=BC=3ED,
∴∠EDB=∠CBD,∠DEF=∠BCF,
∴△DFE∽△BFC,∴ .
故答案为:A.
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质解答即可.
7.【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:A、∵BC∥ED,
∴△ADE∽△ABC,
∵△ADE与△ABC对应点的连线相交于一点,对应边平行或在同一条直线上,
∴△ADE与△ABC是位似图形,不符合题意;
B、点A是两个三角形的位似中心,不符合题意;
C、B与D、C与E是对应位似点,不符合题意;
D、AC:AB不是相似比,AE:AC是相似比,符合题意;
故答案为:D.
【分析】先求出△ADE∽△ABC,再对每个选项一一判断求解即可。
8.【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解:设手臂竖直举起时总高度 ,列方程得:

解得 ,

所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为 .
故答案为:B.
【分析】同一时刻,物体的实际高度与影长成比例,根据等量关系列方程。
9.【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解:

故答案为:B.
【分析】由平行线的性质可得∠DAH=∠EGA,进而证明△AHF∽△GAE,然后根据相似三角形的对应边成比例求解即可.
10.【答案】D
【知识点】翻折变换(折叠问题);相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:当点 为线段 的三等分点时,需要分两种情况讨论:
①如图1,当 时,
∵ ∥ , , ,
∴四边形 为矩形,
∴ , , .
由折叠的性质可得 , .
在 中, .
∵ , ,
∴ ,
∴ ∽ ,
∴ ,即 ,解得 ,
∴ .
②如图2,当 时,
∵ ∥ , , ,
∴四边形 为矩形,
∴ , , .
由折叠的性质可得 , .
在 中, .
∵ , ,
∴ ,
∴ ∽ ,
∴ ,即 ,解得 ,
∴ .
综上所述, 的长为 或 .
故答案为:D.
【分析】根据勾股定理可得,根据相似三角形的性质,可得EN的长,根据勾股定理可得答案。
11.【答案】9:1
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解:∵ 且它们的周长分别为 和 ,
∴ 与 的相似比为3:1
∴ 与 的面积比为9:1
故答案为:9:1.
【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似之比,面积之比等于形似比的平方即可得出结果.
12.【答案】∠ACB或∠ABC
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠BAC=∠EAD(公共角),
再由∠AED=∠ACB或∠AED=∠ABC,
即可证明,△ADE与△ABC相似,
故答案为:∠ACB或∠ABC.
【分析】由题意可知∠A是公共角,根据“两个角对应相等的两个三角形相似”得∠AED=∠ACB或∠AED=∠ABC可求解(答案不唯一).
13.【答案】①
【知识点】图形的相似
【解析】【解答】解:所有的正方形都相似,所以①正确;
所有的菱形不一定相似,所以②错误;
边长相等的两个菱形,形状不一定相同,即:边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误;
对角线相等的两个矩形,对应边不一定成比例,即不一定相似,所以④错误;
故答案是:①.
【分析】根据相似多边形的定义逐一判断即可.
14.【答案】8.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解,根据题意得,



故答案为:8.5
【分析】根据题意得 ,利用相似三角形的对应边成比例即可求解.
15.【答案】
【知识点】正方形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵在正方形ABCD中,AF⊥EG,
∴∠AGE+∠GAM =90°,∠FAB+∠GAM=90°,
∴∠FAB =∠AGE,
又∵∠ABF=∠GAE=90°,
∴ ,
∴ ,即: ,
∴BF= .
故答案是: .
【分析】利用正方形的性质及垂直的定义可证∠AGE+∠GAM =90°,∠FAB+∠GAM=90°,可推出∠FAB =∠AGE,由此可推出△ABF∽△GAE,利用相似三角形的对应边成比例,可求出BF的长.
16.【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:设BE=m,DE=n,则AE=2 ﹣n,CE=2 ﹣m,
∵AE⊥BC,∠ACD=90°,
∴∠ACE+∠EAC=90°,∠ACE+∠DCE=90°,
∴∠EAC=∠DCE,∠AEC=∠CED,
∴△AEC∽△CED,
∴ ,即 ,
∴m2+n2﹣4 m﹣2 n=﹣20①,
∵AE⊥BC,
∴AE2+BE2=AB2,即(2 ﹣n)2+m2=20,
∴m2+n2=4 n②,
联立①②得4 n﹣4 m﹣2 n=﹣20,
∴m= n+ ,代入②得( n+ )2+n2=4 n,
解得n= 或2 (不合题意,舍去),
∴m= ,
在Rt△BED中,BD= = =2 .
故答案为:2 .
【分析】设BE=m,DE=n,则AE=2 ﹣n,CE=2 ﹣m,证明△AEC∽△CED,根据相似三角形的性质可得,可得m2+n2﹣4 m﹣2 n=﹣20①,由勾股定理得出AE2+BE2=AB2,可得m2+n2=4 n②,联立得出m= n+ ,代入②得( n+ )2+n2=4 n,即可求出m= ,根据勾股定理求出BD的长。
17.【答案】
【知识点】翻折变换(折叠问题);相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:由折叠的性质得AE=A'E,又AE= ,
∴A'E= ,
∵A'E=A'F,∠EA'B=∠EAB=90°,
∴△A'EF为等腰直角三角形,
∴EF= A'E=2,∠EFC'=45°,
∴AF=AE+EF= +2,△ABF为等腰直角三角形,
∴AB=AF= +2,∠ABF=45°,
∴∠ABE=∠HBF=22.5°,
由折叠的性质得∠C'HF=∠DHF,∠BHC=∠BHC',
∴∠BHF=∠BHC'+∠C'HF=90°,
∵∠C'FH=∠BFH,∠BHF=∠FC'H=90°,
∴△FHC'∽△FBH,
同理△ABE∽△FBH,
∴△FDH∽△EAB,
∴ ,
∵DH=C'H=CH,
∴DF= AE= ,
∴AD=AF+DF= +2.
故答案为: +2.
【分析】先求出EF= A'E=2,∠EFC'=45°,再求出△FDH∽△EAB,最后计算求解即可。
18.【答案】证明:∵ ,
∴ , ,
∴ , ,
∴ ,
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 根据相似三角形的性质得出,,从而得出,,根据两边成比例且夹角相等即证结论.
19.【答案】解:过点D作 于点P,交 于点N,过点M作 于点Q,交 于点K,
由题意可得: , 米, , 米, 米.
, , ,

, ,
, .
, .
(米).
答:这棵樱花树 的高度是8.8米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 过点D作DP⊥AB于点P,交EF于点N,过点M作MQ⊥AB于点Q,交GH于点K,证得△DEN∽△DBP,△GMK∽△BMQ,利用相似三角形的对应边成比例即可求得AB.
20.【答案】(1)解:如图,△DEF为所求,
(2)解:如图, △PQR为所求,
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】(1)由△ABC的边长分别为1、和,构造△DEF的边长分别为、2和即可;
(2)由△ABC的边长分别为1、和,构造△DEF的边长分别为、和5即可.
21.【答案】(1)证明:∵ , ,
∴ ,
∴ ;
(2)解:由(1)可知 ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)根据 可得 ,根据 可得 可得结果;
(2)由(1)可得 , ,根据相似三角形面积比=相似比的平方可得 ,即可得结果.
22.【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥DF,AD∥BC,
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAF=∠DAF=∠F,
∴AD=DF,
∵∠GDF=∠F,
∴△GDF∽△DAF,
∴ ,
∴ ;
(2)解:∵AF平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAF,
∵AD∥BC,
∴∠BEA=∠DAF,
∴∠BEA=∠BAE,
∴ 是等腰三角形,
∴BA=BE=6,
∵BG⊥AE,
∴AG=EG,
∵∠BEA=∠CEF,
∴∠CEF=∠F,
∴EC=CF=3,DF=AD=9,
∴ ,
即AG=GE=EF,
∵△GDF∽△DAF,AD=FD,
∴DG=FG,
∴DG= ,
∵ ,
∴ AF2=81,
∴AF= .
【知识点】平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)先求出 AB∥DF,AD∥BC, 再求出 △GDF∽△DAF, 最后求解即可;
(2)先求出 ∠BEA=∠BAE, 再求出 DG=FG, 最后求解即可。
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