初中数学华师大版九年级上学期第23章 23.4 中位线 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·福绵期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2020八下·木兰期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
3．（2020·太仓模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，若△BEF的面积为4cm2，则梯形ABCD的面积为（ ）
A．8cm2 B．12cm2 C．16cm2 D．20cm2
4．如图，已知AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的大小关系是（ ）
A．PD＞PC B．PD=PC C．PD＜PC D．无法判断
5．如图，DE是△ABC的中位线，FG为梯形BCED的中位线，若BC=8，则FG等于（ ）
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm
6．如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
7．（2020八下·松江期末）如果一个梯形的上底长为 ，中位线长是 ，那么这个梯形下底长为 ．
8．（2020九下·黄石月考）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，EF为中位线，若AB＝2b，EF＝a，则阴影部分的面积 .
9．（2021八下·黄浦期末）若梯形的中位线被它的两条对角线三等分，则梯形的上底与下底之比是
10．（2020八下·宝山期末）如图，已知 中， ，垂足为点H，点M、N分别是 、 的中点．联结 ．如果 ，那么 的度数是 ．
11．（2020八下·海州期末）如图，在平行四边形 中， 、 相交于点 ，点 是 的中点.若 ，则 的长是 .
12．（2020八下·抚顺期末）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么CD的长是
13．（2017·天津）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为 ．
三、解答题
14．在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到点E，使BE=AD，连接DE交AB于点M．若N是CD的中点，且MN=5，BE=2．求BC的长．
四、综合题
15．（2020·鼓楼模拟）如图，△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，点F是BC上一点，∠B＝∠DEF.
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）直接写出当△ABC满足什么条件时，四边形BDEF是菱形.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝3，
故答案为：B.
【分析】由已知可得DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线等于第三边的一半，可求出DE的长。
2．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，
∴DE= AC，同理 EF= BC，DF= AB，∴C△DEF=DE+EF+DF= （AC+BC+AB）= ×20=10．
故答案为：C．
【分析】利用三角形的中位线定理得到线段的等量关系，再求出三角形的周长即可.
3．【答案】C
【知识点】梯形；梯形中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过A作AN⊥BC于N，交EF于M，
∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD+BC＝2EF，EF∥AD∥BC，
∴AM⊥EF，AM＝MN，
∵△BEF的面积为4cm2，
∴ EF×AM＝4，
∴EF×AM＝8，
∴梯形ABCD的面积为 (AD+BC)×AN＝ ×2EF×2AM＝2EF×AM＝16cm2，
故答案为：C.
【分析】如图，过A作AN⊥BC于N，交EF于M，根据梯形的中位线性质得出AD+BC＝2EF，AM＝MN，再根据已知三角形的面积得出EF×AM＝8，由此进一步根据梯形面积公式变形求解即可.
4．【答案】B
【知识点】梯形中位线定理
【解析】【解答】解：作PE∥AD，交AB于点E．
∵AD∥BC，
∴PE∥BC
∴∠DAP=∠EPA
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠BAP，
∴∠EAP=∠EPA，
∴AE=EP，
同理可证EP=EB，
∴E为BA的中点，
∴P为DC的中点，
∴PD=PC，
故选B．
【分析】作PE∥AB与E点，利用角平分线的性质可以得到PA=PE，PB=PE，从而得到结论．
5．【答案】D
【知识点】梯形中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC=8，
∴DE=4；
又∵FG为梯形BCED的中位线，
∴FG=（DE+BC）= （4+8）=6cm，
故选D．
【分析】此题首先根据三角形的中位线定理求得DE的长，再根据梯形的中位线定理求得FG的长．
6．【答案】B
【知识点】梯形中位线定理
【解析】解答：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O，
则O是DC的中点，
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC=∠DCQ，
∴∠ADP=∠QCH，
又∵PD=CQ，
在Rt△ADP与Rt△HCQ中，
∠ADP＝∠QCH
∠A＝∠QHC
PD＝CQ
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS），
∴AD=HC，
∵AD=1，BC=3，
∴BH=4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．
故选B.
分析：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH=4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4；
7．【答案】8
【知识点】梯形中位线定理
【解析】【解答】解：如图：
∵EF是梯形ABCD（AD∥BC）的中位线，
∴EF＝ ×（AD＋BC），
∵EF＝5cm，AD＝2cm，
∴5cm＝ ×（2cm＋BC），
解得：BC＝8cm，
故答案为：8．
【分析】根据梯形中位线定理，可得EF＝（AD＋BC），据此即可求解.
8．【答案】ab
【知识点】梯形中位线定理
【解析】【解答】∵AB⊥BC，
∴AB为梯形ABCD的高，
∴阴影部分的面积=S△DEF+S△CEF= EF AB= ×2b a=ab.
故答案为：ab.
【分析】根据阴影部分的面积等于△DEF和△CEF两个三角形的面积列式计算即可得解.
9．【答案】1：2
【知识点】梯形中位线定理
【解析】【解答】解：设梯形的中位线被对角线分成的每一份是 ，则中位线为 ．
根据梯形的中位线定理，得梯形的中位线平行于两底．
根据三角形中线定理，得它的上底边为 ，下底边 ．
所以上底：下底 ，
故答案为：1：2．
【分析】设梯形的中位线被对角线分成的每一份是 ，则中位线为 ．再分别求出梯形的上底和下底，再进行求解即可。
10．【答案】120°
【知识点】平行四边形的性质；梯形中位线定理
【解析】【解答】解：∵CH∥AD，CH＜AD，
∴四边形ADCH是梯形，
∵点M、N分别是AH、CD的中点，
∴MN是梯形ADCH的中位线，
∴MN= （AD+CH），即6.5= （8+CH），
解得CH=5，
∴BH=BC-HC=8-5=3，
又∵AH⊥BH，AB=6，
∴Rt△ABH中，BH= AB，
∴∠BAH=30°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠B=120°，
故答案为：120°．
【分析】根据梯形中位线定理进行计算，可得CH的长，进而得到BH的长，再根据∠B的度数，即可得出∠C的度数。
11．【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ 点O是BD的中点
∵点E是AB的中点
∴
故答案为：6.
【分析】根据平行四边形的性质可得点O是BD的中点 ,据三角形中位线定理可得 .
12．【答案】6.5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，
AC2＋BC2＝52＋122＝169，
AB2＝132＝169，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB＝90°
，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC＝BD＝ AB＝6.5，
故答案是：6.5.
【分析】根据三角形中位线定理得到AC＝2DE＝5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC＝BD＝ AB.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；梯形中位线定理
【解析】【解答】解：延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．
则PH∥AB．
∵P是AE的中点，
∴PH是△AOE的中位线，
∴PH= OA= （3﹣1）=1．
∵直角△AOE中，∠OAE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，即OA=OE=2，
同理△PHE中，HE=PH=1．
∴HG=HE+EG=1+1=2．
∴在Rt△PHG中，PG= = = ．
故答案是： ．
【分析】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH是△OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解．
14．【答案】解：∵AD∥BC，∴∠A=∠MBE，∠ADM=∠E，在△AMD和△BME中，∴△AMD≌△BME（ASA）；∴MD=ME，ND=NC，∴MN=EC，∴EC=2MN=2×5=10，∴BC=EC﹣EB=10﹣2=8．∴BC的长是8．
【知识点】全等三角形的判定与性质；梯形中位线定理
【解析】【分析】找出全等的条件：BE=AD，∠A=∠ABE，∠E=∠ADE，即可证得△AMD≌△BME，然后证得MN是三角形的中位线，根据MN= （BE+BC），又BE=2，即可求得．
15．【答案】（1）证明：∵ 点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线.
∴ DE∥BC.
∴ ∠B＝∠ADE.
又 ∠B＝∠DEF.
∴ ∠ADE＝∠DEF.
∴ BD∥EF.
∵ DE∥BC，BD∥EF，
∴ 四边形BDEF是平行四边形.
（2）证明：答案不唯一，如AB＝BC.
∵ DE是△ABC的中位线
∴BD= AB ，BF= BC
∵ AB=BC
∴BD=BF
∴ BDEF是菱形
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后证明DB∥EF，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
（2）根据三角形的中位线定理结合AB=BC推出BD=BF，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形得出结论.
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期第23章 23.4 中位线 同步练习
一、单选题
1．（2020八下·福绵期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ BC＝3，
故答案为：B.
【分析】由已知可得DE是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线等于第三边的一半，可求出DE的长。
2．（2020八下·木兰期末）如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC的中点，如果△ABC的周长为20，那么△DEF的周长是（ ）
A．20 B．15 C．10 D．5
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵D、E分别是△ABC的边BC、AB的中点，
∴DE= AC，同理 EF= BC，DF= AB，∴C△DEF=DE+EF+DF= （AC+BC+AB）= ×20=10．
故答案为：C．
【分析】利用三角形的中位线定理得到线段的等量关系，再求出三角形的周长即可.
3．（2020·太仓模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，若△BEF的面积为4cm2，则梯形ABCD的面积为（ ）
A．8cm2 B．12cm2 C．16cm2 D．20cm2
【答案】C
【知识点】梯形；梯形中位线定理
【解析】【解答】解：如图，过A作AN⊥BC于N，交EF于M，
∵EF是梯形ABCD的中位线，
∴AD+BC＝2EF，EF∥AD∥BC，
∴AM⊥EF，AM＝MN，
∵△BEF的面积为4cm2，
∴ EF×AM＝4，
∴EF×AM＝8，
∴梯形ABCD的面积为 (AD+BC)×AN＝ ×2EF×2AM＝2EF×AM＝16cm2，
故答案为：C.
【分析】如图，过A作AN⊥BC于N，交EF于M，根据梯形的中位线性质得出AD+BC＝2EF，AM＝MN，再根据已知三角形的面积得出EF×AM＝8，由此进一步根据梯形面积公式变形求解即可.
4．如图，已知AD∥BC，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的大小关系是（ ）
A．PD＞PC B．PD=PC C．PD＜PC D．无法判断
【答案】B
【知识点】梯形中位线定理
【解析】【解答】解：作PE∥AD，交AB于点E．
∵AD∥BC，
∴PE∥BC
∴∠DAP=∠EPA
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠BAP，
∴∠EAP=∠EPA，
∴AE=EP，
同理可证EP=EB，
∴E为BA的中点，
∴P为DC的中点，
∴PD=PC，
故选B．
【分析】作PE∥AB与E点，利用角平分线的性质可以得到PA=PE，PB=PE，从而得到结论．
5．如图，DE是△ABC的中位线，FG为梯形BCED的中位线，若BC=8，则FG等于（ ）
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．6 cm
【答案】D
【知识点】梯形中位线定理
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，BC=8，
∴DE=4；
又∵FG为梯形BCED的中位线，
∴FG=（DE+BC）= （4+8）=6cm，
故选D．
【分析】此题首先根据三角形的中位线定理求得DE的长，再根据梯形的中位线定理求得FG的长．
6．如图四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，P为AB边上的一动点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，则对角线PQ的长的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】梯形中位线定理
【解析】解答：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点O，
则O是DC的中点，
过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCH，即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC=∠DCQ，
∴∠ADP=∠QCH，
又∵PD=CQ，
在Rt△ADP与Rt△HCQ中，
∠ADP＝∠QCH
∠A＝∠QHC
PD＝CQ
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS），
∴AD=HC，
∵AD=1，BC=3，
∴BH=4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．
故选B.
分析：在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，可得G是DC的中点，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H，易证得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH=4，则可得当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4；
二、填空题
7．（2020八下·松江期末）如果一个梯形的上底长为 ，中位线长是 ，那么这个梯形下底长为 ．
【答案】8
【知识点】梯形中位线定理
【解析】【解答】解：如图：
∵EF是梯形ABCD（AD∥BC）的中位线，
∴EF＝ ×（AD＋BC），
∵EF＝5cm，AD＝2cm，
∴5cm＝ ×（2cm＋BC），
解得：BC＝8cm，
故答案为：8．
【分析】根据梯形中位线定理，可得EF＝（AD＋BC），据此即可求解.
8．（2020九下·黄石月考）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，EF为中位线，若AB＝2b，EF＝a，则阴影部分的面积 .
【答案】ab
【知识点】梯形中位线定理
【解析】【解答】∵AB⊥BC，
∴AB为梯形ABCD的高，
∴阴影部分的面积=S△DEF+S△CEF= EF AB= ×2b a=ab.
故答案为：ab.
【分析】根据阴影部分的面积等于△DEF和△CEF两个三角形的面积列式计算即可得解.
9．（2021八下·黄浦期末）若梯形的中位线被它的两条对角线三等分，则梯形的上底与下底之比是
【答案】1：2
【知识点】梯形中位线定理
【解析】【解答】解：设梯形的中位线被对角线分成的每一份是 ，则中位线为 ．
根据梯形的中位线定理，得梯形的中位线平行于两底．
根据三角形中线定理，得它的上底边为 ，下底边 ．
所以上底：下底 ，
故答案为：1：2．
【分析】设梯形的中位线被对角线分成的每一份是 ，则中位线为 ．再分别求出梯形的上底和下底，再进行求解即可。
10．（2020八下·宝山期末）如图，已知 中， ，垂足为点H，点M、N分别是 、 的中点．联结 ．如果 ，那么 的度数是 ．
【答案】120°
【知识点】平行四边形的性质；梯形中位线定理
【解析】【解答】解：∵CH∥AD，CH＜AD，
∴四边形ADCH是梯形，
∵点M、N分别是AH、CD的中点，
∴MN是梯形ADCH的中位线，
∴MN= （AD+CH），即6.5= （8+CH），
解得CH=5，
∴BH=BC-HC=8-5=3，
又∵AH⊥BH，AB=6，
∴Rt△ABH中，BH= AB，
∴∠BAH=30°，∠B=60°，
∴∠C=180°-∠B=120°，
故答案为：120°．
【分析】根据梯形中位线定理进行计算，可得CH的长，进而得到BH的长，再根据∠B的度数，即可得出∠C的度数。
11．（2020八下·海州期末）如图，在平行四边形 中， 、 相交于点 ，点 是 的中点.若 ，则 的长是 .
【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴ 点O是BD的中点
∵点E是AB的中点
∴
故答案为：6.
【分析】根据平行四边形的性质可得点O是BD的中点 ,据三角形中位线定理可得 .
12．（2020八下·抚顺期末）如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么CD的长是
【答案】6.5
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，
AC2＋BC2＝52＋122＝169，
AB2＝132＝169，
∴AC2＋BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵AC∥DE，
∴∠DEB＝90°
，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC＝BD＝ AB＝6.5，
故答案是：6.5.
【分析】根据三角形中位线定理得到AC＝2DE＝5，AC∥DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC＝BD＝ AB.
13．（2017·天津）如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；梯形中位线定理
【解析】【解答】解：延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．
则PH∥AB．
∵P是AE的中点，
∴PH是△AOE的中位线，
∴PH= OA= （3﹣1）=1．
∵直角△AOE中，∠OAE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，即OA=OE=2，
同理△PHE中，HE=PH=1．
∴HG=HE+EG=1+1=2．
∴在Rt△PHG中，PG= = = ．
故答案是： ．
【分析】延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH是△OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解．
三、解答题
14．在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到点E，使BE=AD，连接DE交AB于点M．若N是CD的中点，且MN=5，BE=2．求BC的长．
【答案】解：∵AD∥BC，∴∠A=∠MBE，∠ADM=∠E，在△AMD和△BME中，∴△AMD≌△BME（ASA）；∴MD=ME，ND=NC，∴MN=EC，∴EC=2MN=2×5=10，∴BC=EC﹣EB=10﹣2=8．∴BC的长是8．
【知识点】全等三角形的判定与性质；梯形中位线定理
【解析】【分析】找出全等的条件：BE=AD，∠A=∠ABE，∠E=∠ADE，即可证得△AMD≌△BME，然后证得MN是三角形的中位线，根据MN= （BE+BC），又BE=2，即可求得．
四、综合题
15．（2020·鼓楼模拟）如图，△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，点F是BC上一点，∠B＝∠DEF.
（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；
（2）直接写出当△ABC满足什么条件时，四边形BDEF是菱形.
【答案】（1）证明：∵ 点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线.
∴ DE∥BC.
∴ ∠B＝∠ADE.
又 ∠B＝∠DEF.
∴ ∠ADE＝∠DEF.
∴ BD∥EF.
∵ DE∥BC，BD∥EF，
∴ 四边形BDEF是平行四边形.
（2）证明：答案不唯一，如AB＝BC.
∵ DE是△ABC的中位线
∴BD= AB ，BF= BC
∵ AB=BC
∴BD=BF
∴ BDEF是菱形
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后证明DB∥EF，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
（2）根据三角形的中位线定理结合AB=BC推出BD=BF，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形得出结论.
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