3.3.2指数函数的图像和性质（第四课时）课件（共33张PPT）——2021-2022学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

3.3.2指数函数的图像和性质
第四课时
教学目标
1.求含指数的函数的值域的方法
2.值域与不等式恒成立
3. 值域与集合问题综合运用
含指数函数的值域求法
重点
难点
值域的相关运用
环节一
求值域
图像法
角度一 基本指数函数
例1.函数????????=?????????????
解析：函数是R上的增函数，在指定范围内，单调增， 所以，值域是????,????
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点评：用的是单调性，其实，观察也能观察出来。看两端，略中间
例2.函数y=ax(a>0,且a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差为5,则a=　　　　　.?
解析:当a>1时,有a1-a0=5,即a=6;
当0综上知,a=6.
答案:6
角度二 基本指数函数的组合
例3.函数f（x)＝12????－3x在区间[－1，1]上的最大值为________
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解： 12????↘， 3????↗，????（????)↘,最大值是?????????=?????????????=????????
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点评：整 个函数是由两个基本指数函数以差的方式组合在一起，先分后总。
例4.已知函数f(x)＝1?12????+1(x∈R)，求函数在?1,1上值域；
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解：f(x)的定义域为R，
设x1，x2是R上的任意两个不相等的实数，且x1?????????????????????????=?????????????????????????????????????+????????????????+????
因为????????所以函数在R上为增函数，值域是????????,????????
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点评：整 个函数是由基本指数函数????????，以加、商、差的方式组合在一起。在单调性上，逐层分析和定义法都行。
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角度三 基本指数函数与一次函数复合
例5.????????=?????????????+????，????∈?????,????上值域
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分析：一般能观察出函数的增减性，求出值域
解：易判断出该函数在区间上是减函数，所以，值域是?????,????
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角度四 基本指数函数与二次函数复合
例6.已知函数 y=?????????????????????????, 求其值域.
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提示：先利用【同增异减】判断其单调性，然后，利用单调性求值域
解:令u=x2-2x,则原函数变为y=????????u.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1在区间(-∞,1]上单调递减,
在区间[1,+∞)上单调递增,又∵ y=????????u在(-∞,+∞)上为减函数,
∴ y=?????????????????????????在区间(-∞,1]上单调递增,在区间[1,+∞)上单调递减.
∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,∴ ????????u ≤2,∴原函数的值域为?∞,????.
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复合方式一 外指内二次
内层二次
外层指数
求函数y＝12????2?2????+2(0≤x≤3)的值域
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微练
提示：为了减化复合函数求值域过程，可以用换元法，把内层函数的值域求出，再根据【内增异减】原则，处理好添加底数后，值域的情况。
[解]　令t＝x2－2x＋2，则y＝12????，又t＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，0≤x≤3，∴当x＝1时，tmin＝1；当x＝3时，tmax＝5.故1≤t≤5，∴132≤y≤15，故所求函数的值域为132,15．
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复合方式二 内指外二次
例7.已知函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)，当x≥0时，求函数f(x)的值域．
解：y＝a2x＋2ax－1，令t＝ax，
∴y＝g(t)＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a>1时，∵x≥0，∴t≥1，∴当a>1时，y≥2.
当0 ∴当0 综上所述，当a>1时，函数的值域是[2，＋∞)；
当0内层指数
外层二次
换元法
经验一
1.fx=agxa>0,a≠1，gx是二次函数，叫【外指内二次】一般用单调性；
2. fx=agx2+bgx+ca≠0
， gx是指数函数，叫【外二次内指数】一般用换元法。
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角度五 基本指数函数与根式函数复合
例8.求函数值域（1）????????=????????；（2）????????=????????+????
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解析（1）是【外指内根】用单调性。
????=????≥????，????=????????在????∈????,+∞上增，所以，原函数值域是????,+∞
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（2）是【外根内指】用换元法。
????=????????+????>????，????=????>????，值域是????,+∞
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角度六 基本指数函数与分式函数复合
例9.求函数值域（1）????????=????????????；（2）????????=?????????????????，????∈????,????
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解析（1）是【外指内分】用单调性。
????=????????≠????，????=????????在????∈?∞,????∪????,+∞上增，所以，原函数值域是????,????∪????,+∞
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（2）是【外分内指】用换元法。
????=????????，????∈????,????，????∈????,????，????=?????????????，值域是????,????????
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t
0
y
y=1
1
2
????????
?
角度七 基本指数函数与绝对值结合
例10.函数y＝????????????的值域为(　　)
A．{y|y>0}　　　　　　　 B．{y|y≤1}
C．{y|y≥1} D．{y|0?
解析：在不去掉绝对值化成分段函数的前提下，试一试能不能画出图像。
x
0
y
1
环节二
值域与恒成立
角度一 转化为二次不等式恒成立
例11.已知定义域为R的函数f(x)＝1?2????2????+1+2 ,若对于任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
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解析：经判断函数是R上减函数且是奇函数，不等式可化 为
t2－2t>－2t2＋k，即对一切t∈R，有3t2－2t－k>0，
∴Δ<0，即4＋12k<0，∴k<－?13.
故k的取值范围是?∞,?13.
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角度二 转化为指型不等式恒成立
例12.已知????????=?????????????????????+????，当????∈????,????时，2+mf(x)-????????≥0恒成立，则m的取值范围.
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解析：将f(x)代入不等式，进行【分离】得到
????>?????????????????????+?????????????????在????∈????,????上恒成立，
令t= ?????????????∈????,????,m>????????+?????????????=?????????????+????=????????
,????????在????,????上是增函数，最大值是????????=????????????
.所以，????>????????????.
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用换元法求指数型函数最值
环节三
值域与集合问题
例13.????=?????????
解： B=????????=????????,????????∩????=????,????
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例14.????????=????????+????，????????=????????+????，对任意????????∈????,????，都存在????????∈????,????，使得????????????=????????????，求a的取值范围。
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解析：从集合的角度理解，????????的值域包含????????的值域。
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在????,????上，????????∈????+????,????+?????????,?????????????
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1
5
1+a
2+a
????+????≥????,????+????≤?????????∈????,????
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课堂小结
1．核心要点
1.求含指数的函数的值域的方法
2.值域的相关应用
2．数学素养
合理归类，培养运算能力.
谢谢观看
课件制作老师：胡琪