6.3.1平面向量基本定理 课时作业——2020-2021学年高一下学期人教A版(2019)必修第二册(Word含答案)

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名称 6.3.1平面向量基本定理 课时作业——2020-2021学年高一下学期人教A版(2019)必修第二册(Word含答案)
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2021-08-05 09:59:07

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文档简介

平面向量基本定理
一、选择题
1.若{e1,e2}是平面内的一个基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(  )
A.e1-e2,e2-e1     B.e1-e2,e1+e2
C.2e2-e1,-2e2+e1 D.2e1+e2,4e1+2e2
2.(多选题)若e1,e2是平面α内两个不共线的向量,则下列说法不正确的是(  )
A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B.对于平面α内的任一向量a,使a=λe1+μe2的实数λ,μ有无数多对
C.若λ1,μ1,λ2,μ2均为实数,且向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)
D.若存在实数λ,μ,使λe1+μe2=0,则λ=μ=0
3.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为(  )
A.0,0    B.1,1    C.3,0    D.3,4
4.在△ABC中,点D在BC边上,且=2,设=a,=b,则可用基底a,b表示为(  )
A.(a+b) B.a+b
C.a+b D.(a+b)
5.在△ABC中,=,EF∥BC,EF交AC于F,设=a,=b,则等于(  )
A.-a+b B.a-b
C.a-b D.a+b
二、填空题
6.设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为以a,b为基向量的线性组合,即e1+e2=________.
7.若向量a=4e1+2e2与b=ke1+e2共线,其中e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,则k的值为________.
8.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.
三、解答题
9.如图,平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC,以a,b为基底表示向量与.
10.如图,在矩形OACB中,E和F分别是边AC和BC上的点,满足AC=3AE,BC=3BF,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,求λ,μ的值.
素养提升
1.(多选题)在直角三角形ABC中,P是斜边BC上一点,且满足=2,点M,N在过点P的直线上,若=m,=n(m>0,n>0),则下列结论正确的是(  )
A.+为常数
B.m+2n的最小值为3
C.m+n的最小值为
D.m,n的值可以为m=,n=2
2.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(λ∈[0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的(  )
A.外心   B.内心   C.重心   D.垂心
3.若点M是△ABC所在平面内一点,且满足:=+,则△ABM与△ABC的面积之比为________.
4.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于O点,线段OD上有点M满足=3,线段CO上有点N满足=λ(λ>0),设=a,=b,已知=μa-b,则λ=________,μ=________.
5.如图所示,在?ABCD中,=a,=b,BM=BC,AN=AB.
(1)试用向量a,b来表示,;
(2)AM交DN于O点,求AO∶OM的值.
一、选择题
1.若{e1,e2}是平面内的一个基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(  )
A.e1-e2,e2-e1     B.e1-e2,e1+e2
C.2e2-e1,-2e2+e1 D.2e1+e2,4e1+2e2
B [不共线的向量能作为基底,因为e1-e2=-(e2-e1),所以向量e1-e2,e2-e1共线,排除A;因为2e2-e1=-(-2e2+e1),所以2e2-e1,-2e2+e1共线,排除C;因为2e1+e2=(4e1+2e2),所以2e1+e2,4e1+2e2共线,排除D.故选B.]
2.(多选题)若e1,e2是平面α内两个不共线的向量,则下列说法不正确的是(  )
A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B.对于平面α内的任一向量a,使a=λe1+μe2的实数λ,μ有无数多对
C.若λ1,μ1,λ2,μ2均为实数,且向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)
D.若存在实数λ,μ,使λe1+μe2=0,则λ=μ=0
BC [由平面向量基本定理,可知A,D说法正确,B说法不正确.对于C,当λ1=λ2=μ1=μ2=0时,这样的λ有无数个,故C说法不正确.]
3.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为(  )
A.0,0    B.1,1    C.3,0    D.3,4
D [因为e1与e2不共线,所以解方程组得x=3,y=4.]
4.在△ABC中,点D在BC边上,且=2,设=a,=b,则可用基底a,b表示为(  )
A.(a+b) B.a+b
C.a+b D.(a+b)
C [因为=2,所以=,
所以=+=+=+(-)=+=a+b.]
5.在△ABC中,=,EF∥BC,EF交AC于F,设=a,=b,则等于(  )
A.-a+b B.a-b
C.a-b D.a+b
A [∵=,∴=-.
又∵EF∥BC,∴==(-),
∴=+=-+(-)
=-=-a+b.]
二、填空题
6.设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为以a,b为基向量的线性组合,即e1+e2=________.
a-b [由a=e1+2e2①,b=-e1+e2②,由①+②得e2=a+b,代入①可求得e1=a-b,
所以e1+e2=a-b.]
7.若向量a=4e1+2e2与b=ke1+e2共线,其中e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,则k的值为________.
2 [∵向量a与b共线,
∴存在实数λ,使得b=λa,
即ke1+e2=λ(4e1+2e2)=4λe1+2λe2.
∵e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,
∴∴k=2.]
8.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.
 [如图,由题意知,D为AB的中点,
=,
所以=+=+
=+(-)=-+,
所以λ1=-,λ2=,
所以λ1+λ2=-+=.]
三、解答题
9.如图,平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC,以a,b为基底表示向量与.
[解] 在平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,BF=BC,
∴=+=+=+=b+a,
=-=+-=a+b-b=a-b.
10.如图,在矩形OACB中,E和F分别是边AC和BC上的点,满足AC=3AE,BC=3BF,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,求λ,μ的值.
[解] 在矩形OACB中,=+,
又=λ+μ
=λ(+)+μ(+)
=λ+μ
=+,
所以=1,=1,
所以λ=μ=.
素养提升
1.(多选题)在直角三角形ABC中,P是斜边BC上一点,且满足=2,点M,N在过点P的直线上,若=m,=n(m>0,n>0),则下列结论正确的是(  )
A.+为常数
B.m+2n的最小值为3
C.m+n的最小值为
D.m,n的值可以为m=,n=2
ABD [如图所示,
由=2,可得-=2(-),
∴=+,
若=m,=n(m>0,n>0),则=,=,
∴=+,
∵M,P,N三点共线,∴+=1,∴+=3,
当m=时,n=2,A,D选项正确;
m+2n=(m+2n)=++≥2 +=3,当且仅当m=n时等号成立,B选项正确;
m+n=(m+n)=++1≥2+1=+1,当且仅当n=m时等号成立,C选项错误.故选ABD.]
2.已知O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+λ(λ∈[0,+∞)),则点P的轨迹一定通过△ABC的(  )
A.外心   B.内心   C.重心   D.垂心
B [为上的单位向量,
为上的单位向量,则+的方向为∠BAC的角平分线的方向.又λ∈[0,+∞),
∴λ的方向与+的方向相同.
而=+λ,
∴点P在上移动,
∴点P的轨迹一定通过△ABC的内心.]
3.若点M是△ABC所在平面内一点,且满足:=+,则△ABM与△ABC的面积之比为________.
1∶4 [如图,由=+可知M,B,C三点共线,
令=λ,则=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ?λ=,所以=,即△ABM与△ABC面积之比为1∶4.]
4.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于O点,线段OD上有点M满足=3,线段CO上有点N满足=λ(λ>0),设=a,=b,已知=μa-b,则λ=________,μ=________.
3  [依题意得=b-a,=a+b,
且==(a-b)=a-b,
=+==(a+b),
所以=+=b+=a+b,
=+=a+b+=a+b,即=(a+b)=a+b,
由平面向量基本定理,得
解得]
5.如图所示,在?ABCD中,=a,=b,BM=BC,AN=AB.
(1)试用向量a,b来表示,;
(2)AM交DN于O点,求AO∶OM的值.
[解] (1)因为AN=AB,所以==a,所以=-=a-b.因为BM=BC,所以===b,所以=+=a+b.
(2)因为A,O,M三点共线,所以∥,
设=λ,则=-=λ-=λ-b=λa+b.
因为D,O,N三点共线,所以∥,存在实数μ使=μ,则λa+b=μ.
由于向量a,b不共线,则
解得所以=,=,
所以AO∶OM=3∶11.