6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 课时作业——2020-2021学年高一下学期人教A版（2019）必修第二册(Word含答案)

平面向量数乘运算的坐标表示
一、选择题
1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
2．若向量a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线且方向相同，则x的值为(　　)
A．　　　　B．－　　　　C．2　　　　D．－2
3．向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为(　　)
A．－2 B．11
C．－2或11 D．2或11
4．已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(k,2)．若(3a－b)∥c，则实数k的值为(　　)
A．－8 B．－6 C．－1 D．6
5．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
二、填空题
6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________．
7．已知＝(k,2)，＝(1,2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________．
8．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
三、解答题
9．已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．
(1)求实数x的值，使向量与共线；
(2)当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？
10．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b．
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及的坐标．
素养提升
1．(多选题)已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，则下列结论正确的是(　　)
A．直线OC与直线BA平行
B．＋＝
C．＋＝
D．＝－2
2．设向量a＝(a1，b1)，b＝(a2，b2)，定义一种运算“?”，向量a?b＝(a1，b1)?(a2，b2)＝(a2b1，a1b2)．已知m＝，n＝，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动且满足＝m?＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最小值为(　　)
A．－1　　　　B．－2　　　　C．2　　　　D．
3．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
4．如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5，0)，D(1,0)，则直线AC与BD交点P的坐标为________．
5.已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF＝AE．
一、选择题
1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
B　[只有选项B中两个向量不共线可以表示向量a．]
2．若向量a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线且方向相同，则x的值为(　　)
A．　　　　B．－　　　　C．2　　　　D．－2
A　[由a∥b得－x2＋2＝0，
得x＝±．当x＝时，a与b方向相同，
当x＝－时，a与b方向相反．]
3．向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为(　　)
A．－2 B．11
C．－2或11 D．2或11
C　[＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)，由题知∥，故(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，解得k＝11或k＝－2．]
4．已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(k,2)．若(3a－b)∥c，则实数k的值为(　　)
A．－8 B．－6 C．－1 D．6
B　[由题意得3a－b＝(3，－1)，因为(3a－b)∥c，所以6＋k＝0，k＝－6．故选B．]
5．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
B　[由a∥b，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－＝0，即cos θ＝±，而θ是锐角，故θ＝45°．]
二、填空题
6．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________．
　[由题意得，点B的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则＝(4,6)．
又与a＝(1，λ)共线，
则4λ－6＝0，解得λ＝．]
7．已知＝(k,2)，＝(1,2k)，＝(1－k，－1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k＝________．
－　[＝－＝(1－k,2k－2)，＝－＝(1－2k，－3)，由题意可知∥，所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，解得k＝－或k＝1，当k＝1时，A，B重合，故舍去．]
8．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
或　[由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b．
由?
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
当λ＝时，x＝0时，y＝；
当λ＝－时，x＝，y＝0．
所以B或．]
三、解答题
9．已知点A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．
(1)求实数x的值，使向量与共线；
(2)当向量与共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？
[解]　(1)＝(x,1)，＝(4，x)．
∵∥，∴x2＝4，x＝±2．
(2)由已知得＝(2－2x，x－1)，
当x＝2时，＝(－2,1)，＝(2,1)，
∴和不平行，此时A，B，C，D不在一条直线上．
当x＝－2时，＝(6，－3)，＝(－2,1)，
∴∥，此时A，B，C三点共线．
又∥，∴A，B，C，D四点在一条直线上．
综上，当x＝2时，A，B，C，D不在一条直线上；
当x＝－2时，A，B，C，D四点在一条直线上．
10．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b．
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及的坐标．
[解]　a＝＝(5，－5)，b＝＝(－6，－3)，c＝＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵a＝mb＋nc，∴(5，－5)＝m(－6，－3)＋n(1,8)．
∴∴
(3)设M(x1，y1)，由＝3c，
得(x1＋3，y1＋4)＝3(1,8)，∴
∴x1＝0，y1＝20．∴M(0,20)．
设N(x2，y2)，由＝－2b，
得(x2＋3，y2＋4)＝－2(－6，－3)．
∴解得
∴N(9,2)．∴＝(9，－18)．
素养提升
1．(多选题)已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，则下列结论正确的是(　　)
A．直线OC与直线BA平行
B．＋＝
C．＋＝
D．＝－2
ACD　[因为＝(－2,1)，＝(2，－1)，所以＝－，又直线OC，BA不重合，所以直线OC∥BA，所以A正确；因为＋＝≠，所以B错误；因为＋＝(0,2)＝，所以C正确；因为＝(－4,0)，－2＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以D正确．]
2．设向量a＝(a1，b1)，b＝(a2，b2)，定义一种运算“?”，向量a?b＝(a1，b1)?(a2，b2)＝(a2b1，a1b2)．已知m＝，n＝，点P(x，y)在y＝sin x的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动且满足＝m?＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)的最小值为(　　)
A．－1　　　　B．－2　　　　C．2　　　　D．
B　[由题意知，点P的坐标为(x，sin x)，
则＝m?＋n＝＋＝．又因为点Q在y＝f(x)的图象上运动，所以点Q的坐标满足y＝f(x)的解析式，即y＝2sin，所以函数y＝f(x)的最小值为－2．]
3．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件为________．
m≠　[＝－＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，＝－＝(5－m，－3－m)－(3，－4)＝(2－m,1－m)，由于点A，B，C能构成三角形，则与不共线，则3(1－m)－(2－m)≠0，解得m≠．]
4．如图所示，在四边形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5，0)，D(1,0)，则直线AC与BD交点P的坐标为________．
　[设P(x，y)，则＝(x－1，y)，＝(5,4)，＝(－3,6)，＝(4,0)．
由B，P，D三点共线可得＝λ＝(5λ，4λ)．
又因为＝－＝(5λ－4,4λ)，
由与共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0．
解得λ＝，
所以＝＝，
所以P的坐标为．]
5.已知四边形ABCD是正方形，BE∥AC，AC＝CE，EC的延长线交BA的延长线于点F，求证：AF＝AE．
[证明]　建立如图所示的直角坐标系，为了研究方便，
不妨设正方形ABCD的边长为1，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(x，y)，这里y＞0，
于是＝(1,1)，＝(x－1，y)．
∵∥，
∴1×y－(x－1)×1＝0?y＝x－1． ①
∵AC＝OC＝CE，
∴CE2＝OC2?(x－1)2＋(y－1)2＝2． ②
由y＞0，联立①②解得
即E．
AE＝OE＝＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(,3),2))))＝＋1．
设F(t,0)，则＝(1－t,1)，＝．
∵F，C，E三点共线，∴∥．
∴(1－t)×－×1＝0，解得t＝－1－．
∴AF＝OF＝1＋，∴AF＝AE．