6.4.3.1余弦定理 课时作业——2020-2021学年高一下学期人教A版（2019）必修第二册(word含答案)

余弦定理
一、选择题
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)
A．　　　　B．　　　　C．2　　　　D．3
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°，若b(1－cos A)＝a(1－cos B)，则A＝(　　)
A．90° B．60° C．45° D．30°
3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a＝7，b＝8，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
5．锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是(　　)
A．1C．二、填空题
6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________．
7．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________．
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝b，c2＝b2＋bc，则内角A的大小是________．
三、解答题
9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b．
10．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
素养提升
1．(多选题)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)
A．2 B．3 C．4 D．2
2．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
3．△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，则x的取值范围是________．
4．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos (A＋B)＝1．
(1)角C的度数为________；
(2)AB的长为________．
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0．
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
一、选择题
1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)
A．　　　　B．　　　　C．2　　　　D．3
D　[∵a＝，c＝2，cos A＝，∴由余弦定理，可得cos A＝＝＝，整理可得3b2－8b－3＝0，∴b＝3或b＝－(舍去)，故选D．]
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°，若b(1－cos A)＝a(1－cos B)，则A＝(　　)
A．90° B．60° C．45° D．30°
D　[结合余弦定理得b＝a，
即2bc－b2－c2＋a2＝2ac－a2－c2＋b2，
即a2－b2＝c(a－b)，即(a＋b－c)(a－b)＝0．
因为三角形中，两边之和大于第三边，所以a－b＝0，
即a＝b，△ABC是等腰三角形，结合C＝120°，得到A＝30°．故选：D．]
3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a＝7，b＝8，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
C　[由余弦定理，得cos C＝＝，得c＝3，所以角B为最大角，则cos B＝＝－．故选C．]
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
C　[由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．]
5．锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是(　　)
A．1C．C　[若a为最大边，则b2＋c2－a2>0，即a2<5，∴a<，若c为最大边，则a2＋b2>c2，即a2>3，∴a>，故二、填空题
6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________．
0　[∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac，
∴a2＋c2＋ac－b2＝0．]
7．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________．
　[由 (a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C＝2abcos 60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝．]
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＝b，c2＝b2＋bc，则内角A的大小是________．
45°　[∵a＝b，a2＝b2＋c2－2bccos A，∴2b2＝b2＋c2－2bccos A．又c2＝b2＋bc，∴cos A＝，∴A＝45°．]
三、解答题
9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b．
[解]　在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，
∴B＝60°．
由余弦定理，
得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B
＝82－2×15－2×15×＝19．
∴b＝．
10．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
[解]　由余弦定理的推论得：
cos A＝＝＝，
设所求的中线长为x，由余弦定理知：
x2＝＋AB2－2··ABcos A＝42＋92－2×4×9×＝49，
则x＝7．所以所求中线长为7．
素养提升
1．(多选题)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)
A．2 B．3 C．4 D．2
AC　[由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
∴4＝b2＋12－6b，即b2－6b＋8＝0，
∴b＝2或b＝4．]
2．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2＝ac，则B的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
A　[cos B＝＝
＝＋≥，
∵03．△ABC为钝角三角形，a＝3，b＝4，c＝x，则x的取值范围是________．
(1，)∪(5,7)　[①若x>4，则x所对的角为钝角，
∴<0且x<3＋4＝7，∴5②若x<4，则4对的角为钝角，
∴<0且3＋x>4，
∴1∴x的取值范围是(1，)∪(5,7)．]
4．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos (A＋B)＝1．
(1)角C的度数为________；
(2)AB的长为________．
(1)π　(2)　[(1)∵cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B)＝－，且C∈(0，π)，
∴C＝．
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
∴
∴AB2＝b2＋a2－2abcos ＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝．]
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0．
(1)求角B的大小；
(2)若a＋c＝1，求b的取值范围．
[解]　(1)由已知得－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin A·cos B＝0，即有sin Asin B－sin Acos B＝0．
因为sin A≠0，所以sin B－ cos B＝0．又cos B≠0，所以tan B＝．又0＜B＜π，所以B＝．
(2)由余弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B．
因为a＋c＝1，cos B＝，
有b2＝3＋．
又0＜a＜1，
于是有≤b2＜1，即有≤b＜1．