6.4.3.3正弦定理习题课 课时作业——2020-2021学年高一下学期人教A版（2019）必修第二册(Word含答案解析)

正弦定理习题课
一、选择题
1．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　)
A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°
2．在△ABC中，b＋c＝＋1，C＝45°，B＝30°，则(　　)
A．b＝1，c＝ B．b＝，c＝1
C．b＝，c＝1＋ D．b＝1＋，c＝
3．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　)
A． B． C． D．1
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsin A，则sin B＝(　　)
A． B． C． D．－
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为(　　)
A． B．π C．2π D．4π
二、填空题
6．在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________．
7．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．
三、解答题
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为．
(1)求sin Bsin C；
(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
10．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，A＝45°，AB＝2，BD＝5．
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC．
素养提升
1．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于(　　)
A． B． C． D．2
2．(多选题)在△ABC中，A＝，BC＝3，下列选项中，可能是△ABC的两边AC＋AB的取值的是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
3．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则cos C＝________，sin B＝________．
4．在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．
5.在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面积．
条件①：c＝7，cos A＝－；
条件②：cos A＝，cos B＝．
一、选择题
1．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　)
A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°
B　[由正弦定理得，＝＝，则cos C＝sin C，即C＝45°，故选B．]
2．在△ABC中，b＋c＝＋1，C＝45°，B＝30°，则(　　)
A．b＝1，c＝ B．b＝，c＝1
C．b＝，c＝1＋ D．b＝1＋，c＝
A　[∵＝＝＝＝2，∴b＝1，c＝．]
3．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　)
A． B． C． D．1
B　[在△ABC中，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝．]
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsin A，则sin B＝(　　)
A． B． C． D．－
B　[由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
所以sin A＝sin Bsin A，故sin B＝．]
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为(　　)
A． B．π C．2π D．4π
B　[在△ABC中，A＝75°，B＝45°，所以C＝180°－A－B＝60°．设△ABC的外接圆的半径为R，则由正弦定理，可得2R＝＝＝2，解得R＝1，故△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π．]
二、填空题
6．在△ABC中，A＝，a＝c，则＝________．
1　[由＝得sin C＝＝×＝，
又0所以＝＝＝1．]
7．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
2　[在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sin B＝1．因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以C＝30°，所以S△ABC＝·AC·BC·sin C＝2．]
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．
　[在△ABC中由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，由正弦定理得b＝＝．]
三、解答题
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为．
(1)求sin Bsin C；
(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
[解]　(1)由题设得acsin B＝，
即csin B＝．
由正弦定理得sin Csin B＝．
故sin Bsin C＝．
(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，
即cos(B＋C)＝－，所以B＋C＝，故A＝．
法一：由题设得bcsin A＝，即bc＝8．
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝．
故△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋．
法二：因为a＝3，所以2R＝＝2(R为△ABC外接圆的半径)，所以sin Bsin C＝·＝＝＝，则bc＝8．
由余弦定理得b2＋c2－2bc·cos＝9，
即b2＋c2－bc＝9，
所以(b＋c)2－3bc＝9，
所以(b＋c)2＝9＋3bc＝9＋3×8＝33，故b＋c＝．
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋．
10．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，A＝45°，AB＝2，BD＝5．
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC．
[解]　法一：(1)在△ABD中，由正弦定理得＝，所以＝，所以sin∠ADB＝．
由BD＞AB知，∠ADB＜90°，
所以cos∠ADB＝＝．
(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝．
在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC
＝25＋8－2×5×2×＝25．
所以BC＝5．
法二：(1)如图，过点B作BE⊥AD，垂足为E，BF⊥CD，垂足为F．
在Rt△AEB中，因为A＝45°，AB＝2，所以AE＝BE＝．
在Rt△BED中，因为BD＝5，则DE＝＝＝，所以cos∠ADB＝＝．
(2)BF＝DE＝，FC＝DC－DF＝，由勾股定理得BC＝5．
素养提升
1．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于(　　)
A． B． C． D．2
B　[由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C得＝2R＝＝＝．]
2．(多选题)在△ABC中，A＝，BC＝3，下列选项中，可能是△ABC的两边AC＋AB的取值的是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
BCD　[∵A＝，∴B＋C＝π．
∴AC＋AB＝(sin B＋sin C)
＝
＝2
＝6sin，
∴B∈，∴B＋∈，
∴sin∈，
∴AC＋AB∈(3,6]．]
3．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则cos C＝________，sin B＝________．
　　[由正弦定理，得＝，即sin C＝＝＝．
可知C为锐角，∴cos C＝＝．
∴sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)＝sin 60°·cos C－cos 60°·sin C＝．]
4．在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．
(1，]　[∵a＋b＝cx，∴x＝＝＝sin A＋cos A＝sin．
∵A∈，∴A＋∈，
∴sin∈，∴x∈(1，]．]
5.在△ABC中，a＋b＝11，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1)a的值；
(2)sin C和△ABC的面积．
条件①：c＝7，cos A＝－；
条件②：cos A＝，cos B＝．
[解]　方案一：选①．
(1)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，及b＝11－a，c＝7，
得a2＝(11－a)2＋49－2(11－a)×7×，
∴a＝8．
(2)∵cos A＝－，A∈(0，π)，∴sin A＝．
由正弦定理＝，得sin C＝＝＝，
由(1)知b＝11－a＝3，
∴S△ABC＝absin C＝×8×3×＝6．
方案二：选②．
(1)∵cos A＝，∴A∈，sin A＝．
∵cos B＝，∴B∈，sin B＝．
由正弦定理＝，得＝，∴a＝6．
(2)sin C＝sin(π－A－B)＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝．
∵a＋b＝11，a＝6，∴b＝5．
∴S△ABC＝absin C＝×6×5×＝．