1.3.1 第一课时　函数的单调性 师

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1．3　函数的基本性质
1.3.1　单调性与最大(小)值
第一课时　函数的单调性
Q　
德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的，最初遗忘速度较快，以后逐渐缓慢．他认为“保持和遗忘是时间的函数”，并根据实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线．如下图：
这条曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐变慢了．这条曲线表明了遗忘规律是“先快后慢”．通过这条曲线能说明什么数学问题呢？
X　
1．增函数和减函数
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有
f(x1)__＜__
f(x2)
f(x1)__＞__
f(x2)
那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．区间D称为函数f(x)的单调递增区间
那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．区间D称为函数f(x)的单调递减区间
图象
特征
函数f(x)在区间D上的图象是__上升__的
函数f(x)在区间D上的图象是__下降__的
图示
[知识点拨]　(1)函数f(x)在区间D上是增函数，x1，x2∈D，则x1(2)函数f(x)在区间D上是减函数，x1，x2∈D，则x1f(x2)．
2．单调性
(1)定义：如果函数y＝f(x)在区间D上是__增函数__或__减函数__，那么就说函数y＝f(x)在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的__单调区间__.
(2)图象特征：函数y＝f(x)在区间D上具有单调性，则函数y＝f(x)在区间D上的图象是上升的或下降的．
[归纳总结]　基本初等函数的单调区间如下表所示：
函数
条件
单调递增区间
单调递减区间
正比例函数(y＝kx，k≠0)与一次函数(y＝kx＋b，k≠0)
k＞0
R
无
k＜0
无
R
反比例函数
(y＝，k≠0)
k＞0
无
(－∞，0)和
(0，＋∞)
k＜0
(－∞，0)和
(0，＋∞)
无
二次函数
(y＝ax2＋bx＋c，a≠0)
a＞0
[－，＋∞)
(－∞，－]
a＜0
(－∞，－]
[－，＋∞)
Y　
1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，且x1＜x2，则有(　B　)
A．f(x1)B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．以上都有可能
[解析]　因为函数y＝f(x)在(a，b)上是减函数，且x1f(x2)，故选B．
2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是(　B　)
A．y＝3－x
B．y＝x2＋1
C．y＝
D．y＝－x2
[解析]　分别画出各个函数的图象，在区间(0,2)上上升的图象只有B．
3．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有
>0成立，则必有(　A　)
A．f(x)在R上是增函数
B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)是先增后减
D．函数f(x)是先减后增
[解析]　由单调性的定义可知，对任意两个不相等的实数a、b，总有>0成立，则f(x)在R上是增函数，故选A．
4．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与f()的大小关系为__f(a2－a＋1)≤f()__.
[解析]　∵a2－a＋1＝(a－)2＋≥，
又∵f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数，
∴f(a2－a＋1)≤f()．
5．判断并证明函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上的单调性．
[解析]　函数f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．
证明：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1f(x1)－f(x2)＝(－＋1)－(－＋1)＝－＋＝.
由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x2>0.
又由x1于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)＝－＋1在(0，＋∞)上是增函数．
H　
命题方向1　?利用图象求函数的单调区间
典例1　如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间．
[思路分析]　(1)函数f(x)在D上单调递增(或单调递减)表现在其图象上有怎样的特征？
(2)单调增、减区间与函数在该区间上为增、减函数一样吗？
[解析]　函数的单调增区间为[－1.5,3)，[5,6)，单调减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．
『规律方法』　函数单调区间的求法及表示方法
(1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求．
(2)单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，而只能写成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数．
(3)区间端点的写法；对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点．
〔跟踪练习1〕
据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间．
[解析]　由图象(1)知此函数的增区间为(－∞，2]，[4，＋∞)，减区间为[2,4]．
由图象(2)知，此函数的增区间为(－∞，－1]，[1，＋∞)，减区间为[－1,0)，(0,1]．
命题方向2　?用定义证明函数的单调性
典例2　利用函数单调性的定义证明f(x)＝在(－1,1)上单调递减．
[思路分析]　利用减函数的定义来证明，其关键是对f(x1)－f(x2)进行变形，尽量化成几个最简单因式的乘积的形式．
[解析]　设－1＝＝.
∵x10.又＋>0，∴f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，故函数f(x)＝在(－1,1)上单调递减．
『规律方法』　1.函数单调性的证明方法——定义法
利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：
2．用定义证明函数单调性时，作差f(x1)－f(x2)后，若f(x)为多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；若f(x)是分式函数，则“先通分”，再因式分解；若f(x)解析式是根式，则先“分子有理化”再分解因式．
〔跟踪练习2〕
(1)用函数单调性定义证明函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是单调减函数；
(2)用函数单调性定义证明，函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数．
[证明]　(1)设x1f(x1)－f(x2)＝(2x＋4x1)－(2x＋4x2)＝2(x－x)＋4(x1－x2)＝2(x1－x2)(x1＋x2＋2)．
∵x1∴x1－x2<0，x1＋x2＋2<0，
∴f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(－∞，－1]上是减函数．
(2)设x1>x2>－1，
则x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，
y1－y2＝－＝>0，
∴y1>y2，
∴函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数．
命题方向3　?单调性的应用
典例3　已知函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a－7)>f(11＋8a)，求实数a的取值范围．
[思路分析]　根据函数的单调性定义可知，由两个自变量的大小可以得到相应的函数值的大小，反之，由两个函数值的大小也可以得到相应自变量的大小．
[解析]　∵函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(3a－7)>f(11＋8a)，
∴3a－7>11＋8a，
∴a<－，
∴实数a的取值范围是(－∞，－)．
『规律方法』　利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f”，转化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件，以防出错．
〔跟踪练习3〕
已知函数g(x)是定义在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，求实数t的取值范围．
[解析]　∵g(x)在R上为增函数，且g(t)>g(1－2t)，
∴t>1－2t，∴t>，即所求t的取值范围为(，＋∞)．
Y　　对单调区间和在区间上单调两个概念理解错误　　
典例4　若函数f(x)＝x2＋2ax＋4的单调递减区间是(－∞，2]，则实数a的取值范围是__－2__.
[错解]　函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－a，由于函数在区间(－∞，2]上单调递减，因此－a≥2，即a≤－2.
[错因分析]　错解中把单调区间误认为是在区间上单调．
[正解]　因为函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2]，且函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－a，所以有－a＝2，即a＝－2.
[警示]　若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子区间上也是单调的，因此f(x)在区间A上单调增(或减)和f(x)的单调增(或减)区间为A不等价．
X　　抽象函数单调性的判断与证明　　
所谓抽象函数，一般是指没有给出具体解析式的函数，研究抽象函数的单调性，主要是考查对函数单调性的理解，是一类重要的题型，而证明抽象函数的单调性常采用定义法．
典例5　设f(x)是定义在R上的函数，对m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且当x>0时，0(1)f(0)＝1；
(2)x∈R时，恒有f(x)>0；
(3)f(x)在R上是减函数．
[思路分析]　(1)可通过赋值求f(0)；(2)可通过f(0)＝f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)证明f(x)>0；(3)利用定义可证明函数的单调性．
[解析]　(1)根据题意，令m＝0，可得f(0＋n)＝f(0)·f(n)，
∵f(n)≠0，∴f(0)＝1.
(2)由题意知x>0时，0当x＝0时，f(0)＝1>0；
当x<0时，－x>0，∴0∵f[x＋(－x)]＝f(x)·f(－x)，
∴f(x)·f(－x)＝1，
∴f(x)＝>0.
故x∈R时，恒有f(x)>0.
(3)设x1，x2∈R，且x1则f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，
∴f(x2)－f(x1)＝f[x1＋(x2－x1)]－f(x1)＝f(x1)·f(x2－x1)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]．
由(2)知f(x1)>0，又x2－x1>0，∴0故f(x2)－f(x1)<0，∴f(x)在R上是减函数．
『规律方法』　一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“f(x＋y)”型[即给出f(x＋y)所具有的性质，如本例]，二是“f(xy)”型．对于f(x＋y)型的函数，只需构造f(x2)＝f[x1＋(x2－x1)]，再利用题设条件将它用f(x1)与f(x2－x1)表示出来，然后利用题设条件确定f(x2－x1)的范围(如符号、与“1”的大小关系)，从而确定f(x2)与f(x1)的大小关系；对f(xy)型的函数，则只需构造f(x2)＝f(x1·)即可．
K　
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是(　C　)
A．[0,1]　　　　　　　
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
[解析]　结合图象分析可知，函数图象在区间[－3,1]是上升的，故其增区间是[－3,1]．
2．已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是(　B　)
A．(－∞，)　　　
B．(，＋∞)
C．(－∞，]
D．[，＋∞)
[解析]　f(x)＝(3a－1)x＋b为增函数，应满足3a－1＞0，即a＞，故选B．
3．(2019·山东潍坊市高一期中测试)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，若a∈R，则(　D　)
A．f(a)>f(2a)
B．f(a2)C．f(a2＋a)D．f(a2＋1)[解析]　∵a2＋1－a＝(a－)2＋>0，
∴a2＋1>a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，
∴f(a2＋1)4．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是__(－∞，1)和(1，＋∞)__.
[解析]　由图象可知，f(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．
5．求证：函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0)上是增函数．
[证明]　对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，有
f(x1)－f(x2)＝－＝＝.
因为x1＜x2＜0，所以x2－x1＞0，x1＋x2＜0，xx＞0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
所以函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．
对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，有f(x1)－f(x2)＝.
因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x2＋x1＞0，xx＞0.
所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．
所以函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
A级　基础巩固
一、选择题
1．下列命题正确的是(　D　)
A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)，使得x1C．若f(x)在区间I1上为减函数，在区间I2上也为减函数，那么f(x)在I1∪I2上也一定为减函数
D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)[解析]　A错误，x1，x2只是区间(a，b)上的两个值，不具有任意性；B错误，无穷并不代表所有、任意；C错误，例如函数y＝在(－∞，1)和(1，＋∞)上分别递减，但不能说y＝在(－∞，1)∪(1，＋∞)上递减；D正确，符合单调性定义．
2．如图中是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　C　)
A．函数在区间[－5，－3]上单调递增
B．函数在区间[1,4]上单调递增
C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减
D．函数在区间[－5,5]上不单调
[解析]　若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．
3．函数y＝－x2的单调减区间为(　C　)
A．(－∞，0]　　　　　
B．(－∞，0)
C．(0，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
[解析]　根据二次函数y＝－x2的图象可知函数y＝－x2的单调递减区间为(0，＋∞)．
4．(2019·河北沧州市高一期中测试)在区间(－∞，0)上为增函数的是(　C　)
A．y＝－2x＋2
B．y＝
C．y＝－|x|＋1
D．y＝－x2－2x
[解析]　函数y＝－2x＋2是减函数，y＝在(－∞，0)上是减函数，y＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1]上是增函数，在(－1,0)上是减函数，只有函数y＝－|x|＋1在(－∞，0)上是增函数，故选C．
5．定义在R上的函数，对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则(　A　)
A．f(3)B．f(1)C．f(2)D．f(3)[解析]　对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数．又3>2>1，则f(3)6．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是(　C　)
A．(－∞，－3)
B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
[解析]　因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3，故选C．
二、填空题
7．函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是__[－1，＋∞)__.
[解析]　∵函数f(x)＝的单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，又∵函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，∴(a，＋∞)?(－1，＋∞)，∴a≥－1.
8．函数f(x)＝－2x2＋4x－3的单调递增区间为__(－∞，1]__.
[解析]　f(x)＝－2x2＋4x－3的图象是开口向下，对称轴为x＝1的抛物线，∴其单调递增区间为(－∞，1]．
三、解答题
9．求证函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
[证明]　任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2).
因为24，x1x2－4>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以函数f(x)＝x＋在(2，＋∞)上是增函数．
B级　素养提升
一、选择题
1．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(2x)>f(1)的实数x的取值范围是(　D　)
A．(－∞，1)
B．(1，＋∞)
C．(，＋∞)
D．(－∞，)
[解析]　∵f(x)在R上为减函数且f(2x)>f(1)．
∴2x<1，∴x<.
2．设(a，b)，(c，d)都是函数f(x)的单调增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1＜x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系是(　D　)
A．f(x1)＜f(x2)
B．f(x1)＞f(x2)
C．f(x1)＝f(x2)
D．不能确定
[解析]　∵x1，x2不在同一单调区间内，∴大小关系无法确定．
3．已知函数y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则函数f(x)＝bx＋a在R上是(　A　)
A．减函数且f(0)＜0
B．增函数且f(0)＜0
C．减函数且f(0)＞0
D．增函数且f(0)＞0
[解析]　∵y＝ax和y＝－在(0，＋∞)都是减函数，∴a＜0，b＜0，f(x)＝bx＋a为减函数且f(0)＝a＜0，故选A．
4．下列有关函数单调性的说法，不正确的是(　C　)
A．若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则f(x)＋g(x)为增函数
B．若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为减函数
C．若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)为增函数
D．若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则f(x)－g(x)为减函数
[解析]　若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则f(x)＋g(x)的增减性不确定．
例如f(x)＝x＋2为R上的增函数，当g(x)＝－x时，
则f(x)＋g(x)＝x＋2为增函数；当g(x)＝－3x，则f(x)＋g(x)＝－2x＋2在R上为减函数，∴选C．
二、填空题
5．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间为__[0，]__.
[解析]　y＝－(x－3)|x|＝.作出其图象如图，观察图象知递增区间为[0，]．
6．若函数f(x)＝4x2－kx－8在[5,8]上是单调函数，则k的取值范围是__(－∞，40]∪[64，＋∞)__.
[解析]　对称轴为x＝，则≤5或≥8，得k≤40或k≥64.
三、解答题
7．用函数单调性的定义判断函数f(x)＝(a<)在(－2，＋∞)上的单调性．
[解析]　证明：
f(x)在(－2，＋∞)上是减函数．
∵函数f(x)＝＝＝a＋，
任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝(a＋)－(a＋)＝－＝.
∵－20，(x1＋2)(x2＋2)>0，
∵a<，∴1－2a>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在(－2，＋∞)上是减函数．
8．已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)[解析]　由题意可知，解得0又f(x)在(－1,1)上是减函数，且f(1－a)∴1－a>2a－1，即a<.②
由①②可知，0即所求a的取值范围是(0，)．
9．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≥3.
[解析]　(1)f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1，
又f(4)＝5，∴f(2)＝3.
(2)由(1)知f(2)＝3，∴原不等式可化为f(m－2)≥f(2)，∴，∴2＜m≤4.
∴不等式的解集为{m|221世纪教育网(www.21cnjy.com)