1.3.1 第二课时 函数的最值 师

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第二课时　函数的最值
Q　
你知道2008年北京奥运会开幕式时间为什么由原定的7月25日推迟到8月8日吗？
通过查阅资料，我们了解到开幕式推迟的主要原因是天气，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事．
在日常生活中，我们会关心很多数据的变化(如食品的价格、燃油价格等)，所有这些数据的变化，用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小的问题，也就是本节我们所要研究的函数的最值问题．
X　
最大值和最小值
最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足；对于任意的x∈I，都有
f(x)__≤__M
f(x)__≥__M
存在x0∈I，使得f(x0)＝__M__
结论
称M是函数y＝f(x)的最大值
称M是函数y＝f(x)的最小值
几何
意义
f(x)图象上最__高__点的纵坐标
f(x)图象上最__低__点的纵坐标
[知识拓展]　函数最大值和最小值定义中两个关键词：
①“存在”：
M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，
如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
②“任意”：
最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
Y　
1．在函数y＝f(x)的定义域中存在无数个实数x满足f(x)≥M，则(　D　)
A．函数y＝f(x)的最小值为M
B．函数y＝f(x)的最大值为M
C．函数y＝f(x)无最小值
D．不能确定M是函数y＝f(x)的最小值
2．函数y＝－|x|在R上(　A　)
A．有最大值0，无最小值
B．无最大值，有最小值0
C．既无最大值，又无最小值
D．以上都不对
[解析]　函数y＝－|x|在(－∞，0]上递增，在(0，＋∞)上递减，∴当x＝0时，y取最大值0，无最小值．
3．若定义在区间(0,3]上的函数y＝f(x)是减函数，则它的最大值(　D　)
A．是f(0)　　　　　　　
B．是f(3)
C．是0
D．不存在
[解析]　∵y＝f(x)在区间(0,3]上是减函数，
∴当x＝3时，f(x)取最小值f(3)，f(x)无最大值．故选D．
4．函数y＝在[2,3]上的最小值为____，最大值为____；在[－3，－2]上的最小值为__－__，最大值为__－__.
[解析]　函数y＝在区间[2,3]上单调递减，
∴ymin＝，ymax＝；在区间[－3，－2]上单调递减，
∴ymin＝－，ymax＝－.
H　
命题方向1　?利用图象求函数的最值
典例1　已知函数f(x)＝，求函数f(x)的最值．
[思路分析]　可作出分段函数的图象，利用图象法求函数最值．
[解析]　作出f(x)的图象如图：
由图象可知，当x＝1时，f(x)取最小值1，无最大值．
『规律方法』　利用图象法求函数最值的一般步骤是：
〔跟踪练习1〕
如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．
[解析]　由图象可知，f(x)的最大值是3，最小值是－2.
命题方向2　?利用单调性求最值
典例2　已知函数f(x)＝.
(1)求证：f(x)在[3,5]上为增函数；
(2)求f(x)在[3,5]上的最大值和最小值．
[思路分析]　利用函数单调性来求函数最值，即先判断函数的单调性，再求最值．
[解析]　(1)证明：任取x1，x2∈[3,5]且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝＝
∵x1，x2∈[3,5]且x1∴x1－x2<0，x1＋2>0，x2＋2>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)∴函数f(x)＝在x∈[3,5]上为增函数．
(2)由(1)知，当x＝3时，函数f(x)取得最小值为f(3)＝，当x＝5时，函数f(x)取得最大值为f(5)＝.
『规律方法』　1.利用函数单调性求最值的一般步骤：
(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值．
2．利用单调性求最值的三个常用结论
(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．
(2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)．
(3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
〔跟踪练习2〕
已知函数f(x)＝，x∈[－3，－2]，求函数的最大值和最小值．
[解析]　设－3≤x1则f(x1)－f(x2)＝－
＝＝.
∵－3≤x1∴x1－x2<0，x1＋1<0，x2＋1<0.
∴f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)∴函数f(x)＝，x∈[－3，－2]是增函数．
又∵f(－2)＝4，f(－3)＝3，
∴函数的最大值是4，最小值是3.
Y　　忽视端点值致误　　
典例3　已知函数f(x)＝为R上的减函数，则实数a的取值范围为__{a|a≤－4}__.
[错解]　因为函数f(x)＝为R上的减函数，所以f(x)＝(a－1)x－a在(－∞，1]上是减函数，
且f(x)＝(a＋1)x2在(1，＋∞)上是减函数，所以，解得a＜－1.
所以a的取值范围为{a|a＜－1}．
[错因分析]　上述解法只考虑了分段函数在每一段的单调性，而忽视了接点处两段函数值的大小关系，从而导致答案错误．
[正解]　因为函数f(x)＝为R上的减函数，
所以，解得a≤－4.所以a的取值范围为{a|a≤－4}．
X　　逻辑推理训练——抽象函数　　
典例4　已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，f(x·y)＝f(x)＋f(y)，对任意x，y∈(0，＋∞)都成立．当x>1时，
f(x)>0.
(1)求f(1)；
(2)求证f(x)在定义域上是增函数；
(3)如果f()＝－1，求满足不等式f(x)－f(x－2)≥2的x的取值范围．
[思路分析]　(1)由于f(x·y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈(0，＋∞)都成立，故可给x、y赋值产生f(1)；
(2)欲证f(x)在(0，＋∞)上为增函数，需证对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x11时，
f(x)>0，这里>1.∴f()>0，即f(x2·)＝f(x2)＋f()>0，于是在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中令y＝可得f(x)＋f()＝0，从而f()＝－f(x)．从而有f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f()＝f()>0，即可沟通条件与结论．
(3)利用(2)和条件f()＝－1可得f(3)，求得f(m)＝2，将不等式f(x)－f(x－2)≥2化为f(x)≥f(x－2)＋f(m)的形式结合条件即可得f(x)≥f(m(x－2))，再利用单调性脱去符号“f”即可求解．莫忘定义域的限制．
[解析]　(1)令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，故f(1)＝0.
(2)证明：令y＝，得f(1)＝f(x)＋f()＝0，
故f()＝－f(x)．任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1由于>1，故f()>0，从而f(x2)>f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由于f()＝－1，而f()＝－f(3)，故f(3)＝1.
在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.
故所给不等式可化为f(x)－f(x－2)≥f(9)，∴f(x)≥f[9(x－2)]，∴x≤，
又，∴2『规律方法』　处理抽象函数问题的基本方法是赋值法．在本题的求解中，根据所给式子f(x·y)＝f(x)＋f(y)进行适当的赋值或配凑．该式及由该式推出的f()＝－f(x)可作为推理依据．
K　
1．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　C　)
A．f(－2)，0　　　　　
B．0,2
C．f(－2)，2
D．f(2)，2
[解析]　由图象可知，当x＝－2时，f(x)取最小值f(－2)，当x＝1时，f(x)取最大值f(1)＝2，故选C．
2．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为(　B　)
A．3,5
B．－3,5
C．1,5
D．5，－3
[解析]　∵函数f(x)在[－2,2]上单调递减，
∴f(x)min＝f(2)＝－3，f(x)max＝f(－2)＝5.
3．若函数f(x)＝|x＋2|在[－4,0]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝(　B　)
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析]　作出函数f(x)＝|x＋2|＝的图象如图所示，
由图象可知M＝f(x)max＝f(0)＝f(－4)＝2，m＝f(x)min＝f(－2)＝0，所以M＋m＝2.故选B．
4．(2019·湖南衡阳高一期末测试)已知函数f(x)＝，x∈[2,6]，则f(x)的最大值为__2__.
[解析]　设任意x1，x2∈[2,6]，且x1∵x1，x2∈[2,6]，∴x2－1>0，x1－1>0，
又∵x1∴<0，
∴f(x2)－f(x1)<0，
∴f(x2)∴f(x)＝，x∈[2,6]为减函数，
∴f(x)max＝f(2)＝2.
5．已知函数f(x)＝，求f(x)的最大值．
[解析]　当1≤x≤2时，f(x)＝2x＋6，
∴f(x)在[1,2]上单调递增，
∴f(x)max＝f(2)＝10.
当－4≤x<1时，
f(x)＝7－x，
∴f(x)在[－4,1)上单调递减，
∴f(x)max＝f(－4)＝11.
综上可知f(x)max＝f(－4)＝11.
A级　基础巩固
一、选择题
1．函数f(x)在区间[－2,5]上的图象如下图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　C　)
A．－2,
f(2)　　　　　
B．2,
f(2)
C．－2,
f(5)
D．2,
f(5)
[解析]　由函数最值的几何意义知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5)，故选C．
2．下列函数在[1,4]上最大值为3的是(　A　)
A．y＝＋2
B．y＝3x－2
C．y＝x2
D．y＝1－x
[解析]　B、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A．
3．二次函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是(　C　)
A．最小值是8，无最大值
B．最大值是－2，无最小值
C．最大值是8，无最小值
D．最小值是－2，无最大值
[解析]　因为二次函数图象开口向下，所以当x＝－1时，函数有最大值8，无最小值．
4．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值为(　C　)
A．2
B．－2
C．2或－2
D．0
[解析]　由题意知a≠0，当a＞0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a＜0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.故选C．
5．若函数y＝2ax－b
在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　C　)
A．1
B．－1
C．1或－1
D．0
[解析]　当a>0时，最大值为4a－b，最小值为2a－b，差为2a，∴a＝1；当a≤0时，最大值为2a－b，最小值为4a－b，差为－2a，∴a＝－1.
6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　C　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
[解析]　f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，
∴函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，
∴f(x)在[0,1]上单调递增．
又∵f(x)min＝f(0)＝a＝－2，
∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
二、填空题
7．函数f(x)＝x－在[1,2]上的最大值是__1__.
[解析]　函数f(x)＝x－在[1,2]上是增函数，∴当x＝2时，f(x)取最大值f(2)＝2－1＝1.
8．函数y＝x2－2x－1的值域是__[－2，＋∞)__.
[解析]　因为二次函数图象开口向上，所以它的最小值为＝－2.故值域为[－2，＋∞)．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x＋＋2，其中x∈[1，＋∞)．
(1)试判断它的单调性；
(2)试求它的最小值．
[解析]　(1)f(x)在[1，＋∞)上单调递增，
理由如下：
f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋(－)＝(x1－x2)(1－)＝(x1－x2)，
∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，
∴2x1x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0.
即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知，f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴当x＝1时，f(x)有最小值.
B级　素养提升
一、选择题
1．函数f(x)＝2－在区间[1,3]上的最大值是(　D　)
A．2
B．3
C．－1
D．1
[解析]　函数f(x)＝2－在[1,3]上单调递增，
∴f(x)的最大值为f(3)＝2－＝2－1＝1.故选D．
2．(2019·南阳市高一期中测试)已知f(x)＝－，则(　C　)
A．f(x)max＝，
f(x)无最小值
B．f(x)min＝1,
f(x)无最大值
C．f(x)max＝1,
f(x)min＝－1
D．f(x)max＝1,
f(x)min＝0
[解析]　要使f(x)有意义，应满足，∴0≤x≤1，显然f(x)在[0,1]上单调递增，所f(x)max＝1，f(x)min＝－1.
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(　B　)
A．45.606万元
B．45.6万元
C．45.56万元
D．45.51万元
[解析]　设在甲地销售量为a辆，则在乙地销售量为15－a辆，设利润为y万元，则y＝5.06a－0.15a2＋2(15－a)(0≤a≤15且a∈N)，
则y＝－0.15a2＋3.06a＋30，可求ymax＝45.6万元．
4．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　D　)
A．[1，＋∞)
B．[0,2]
C．(－∞，2]
D．[1,2]
[解析]　f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2，故选D．
二、填空题
5．已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值范围是__(－∞，－1]__.
[解析]　∵f(x)＝2x－3在[1，＋∞)上单调递增，
∴f(x)≥f(1)＝－1.
∵m≤f(x)恒成立，∴m≤－1.
6．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是__1＜a≤3__.
[解析]　画f(x)＝x2－6x＋8的图象，
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，∴1＜a≤3.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．
(1)写出函数f(x)的单调区间；
(2)求函数f(x)在区间[－1，]的最大值．
[解析]　f(x)＝|x|(x＋1)＝的图象如图所示．
(1)f(x)在(－∞，－]和[0，＋∞)上是增函数，在[－，0]上是减函数，
因此f(x)的单调增区间为(－∞，－]，[0，＋∞)，单调减区间[－，0]．
(2)∵f(－)＝，f()＝，∴f(x)在区间[－1，]的最大值为.
8．设f(x)是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f(1－x)＝x2－3x＋3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)－5x＋1在[m，m＋1]上的最小值为－2，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)令1－x＝t，则x＝1－t，
得f(t)＝(1－t)2－3(1－t)＋3，
化简得f(t)＝t2＋t＋1，
即f(x)＝x2＋x＋1，x∈R.
(2)由(1)知g(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2(m≤x≤m＋1)，
∵g(x)min＝－2，∴m≤2≤m＋1，∴1≤m≤2.
9．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f()＝f(x1)－f(x2)，且当x＞1时f(x)＜0.
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．
[解析]　(1)令x1＝x2，则f(1)＝f()＝f(x1)－f(x2)＝0.
(2)任取x1，x2满足0＜x1＜x2，则＞1，∴f()＜0.
∵f()＝f(x2)－f(x1)，
∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(3)∵f(3)＝f()＝f(9)－f(3)，∴f(9)＝2f(3)＝－2.
又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x)在[2,9]上是减函数．
∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)＝－2.
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