2020-2021学年北师大版数学九年级下册1.4 解直角三角形 课时同步练习（word版含答案）

《1.4 解直角三角形》课时同步练习2020-2021学年北师大版数学九（下）
一．选择题（共8小题）
1．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，其坐标为（8，y），且OA与x轴正半轴的夹角α的正切值为，则y的值为（　　）
A．4 B． C．5 D．6
2．在△ABC中，AB＝12，AC＝13，cos∠B＝，则BC边长为（　　）
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
3．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，sinA＝，则AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则三边的比a：b：c等于（　　）
A．1：2：3 B．1：：2 C．1：1： D．1：：2
5．如图，菱形ABCD的周长为40cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA＝，则下列结论正确的有（　　）
①DE＝6cm；②BE＝2cm；③菱形面积为60cm2；④BD＝cm．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2，AB＝3，则tan∠BCD的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．已知AC＝，BC＝2，那么sin∠ACD＝（　　）
A． B． C． D．
8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，设∠BCD＝α，则tanα的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共3小题）
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，边D点作AB的垂线交AC于点E，AC＝8，cosA＝，则DE＝　 　．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝6，，那么BC＝　 　．
11．△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是　 　．
三．解答题（共13小题）
12．如图，把两幅完全相同的长方形图片粘贴在一矩形宣传板EFGH上，除D点外，其他顶点均在矩形EFGH的边上．AB＝50cm，BC＝40cm，∠BAE＝55°，求EF的长．参考数据：sin55°＝0.82，cos55°＝0.57，tan55°＝1.43．
13．如图，四边形ABCD中，∠ADB＝∠DBC＝90°，AD＝6，CD＝12，tanA＝，求sinC的值．
14．如图，学生用三角板中，等腰直角三角形三角板的斜边靠在另一个含60°角的三角形板的对边上恰好完全重合，拼成一个四边形ABCD．若60°所对的直角边长为12cm，求拼成四边形ABCD的面积．
15．如图，∠ACB＝∠CBD＝90°，AB＝8，CD＝10，sinA＝，求cos∠BCD的值．
16．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．
17．如图所示，已知△ABC中，AB＝6，BC＝5，sinB＝，求△ABC的面积．
18．如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，AD＝6．若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2﹣7x+12＝0的两个根，且OA＞OB；
（1）求sin∠ABC的值；
（2）若E为x轴上的点，且S△AOE＝，求出点E的坐标，并判断△AOE与△DAO是否相似？请说明理由．
19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝．点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°，求△ABC的周长（结果保留根号）．
20．如图1，在平面内有射线Ox和一点A，连接OA，若OA＝1.5，∠AOx＝30°，则可用（1.5，30°）表示点A的位置，如图2，在平面内有一点B（2，60°），以O为坐标原点，以Ox为x轴建立平面直角坐标系，求点B在平面直角坐标系xOy内的坐标．
21．在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．
（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；
（2）如图2，当α＝30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；
（3）在（2）的情况下，求ED的长．
22．图中有两个正方形，A、C两点在大正方形的对角线上，△HAC是等边三角形．若AB＝2，求EF的长．（参考数据：sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝；sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1）
23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°．求△ABC的面积．
24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点D在AB上，AD＝2，点E，F同时从点D出发，分别沿DA、DB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止，在点E，F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒，正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S．
（1）当0＜t＜2时，求正方形EFGH的顶点刚好落在线段AC上时t的值；
（2）当t≥2时，直接写出当△EGB为等腰三角形时t的值．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1．解：作AB⊥x轴于点B，如下图所示：
∵tanα＝，tanα＝，
∴y＝6．
故选项A错误，选项B错误，选项C错误，选项D正确．
故选：D．
2．解：∵cos∠B＝，
∴∠B＝45°，
当△ABC为钝角三角形时，如图1，
∵AB＝12，∠B＝45°，
∴AD＝BD＝12，
∵AC＝13，
∴由勾股定理得CD＝5，
∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7；
当△ABC为锐角三角形时，如图2，
BC＝BD+CD＝12+5＝17，
故选：D．
3．解：∵∠C＝90°，sinA＝，AB＝5，
∴BC＝AB×sinA＝5×＝3，
由勾股定理得：
AC＝＝4．
故选：B．
4．解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴a＝c，cos30°＝＝，
∴c＝2a，b＝c＝a
a：b：c＝a：a：2a＝1：：2．
故选：B．
5．解：∵菱形ABCD的周长为40cm，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝10．
∵DE⊥AB，垂足为E，
sinA＝＝＝，
∴DE＝6cm，AE＝8cm，BE＝2cm．
∴菱形的面积为：AB×DE＝10×6＝60cm2．
在三角形BED中，
BE＝2cm，DE＝6cm，BD＝2cm，∴①②③正确，④错误；＝2
∴结论正确的有三个．
故选：C．
6．解：由勾股定理知，c2＝a2+b2
∴BC＝＝．
根据同角的余角相等，∠BCD＝∠A．
∴tan∠BCD＝tan∠A＝＝．
故选：B．
7．解：在Rt△ABC中，
∵AB2＝AC2+BC2，∴AB＝3．
∵∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B．
∴sin∠ACD＝sinB＝＝．
故选：A．
8．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠BCD＝∠A＝α．
∴tanα＝tanA＝＝．
故选：A．
二．填空题（共3小题）
9．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，cosA＝，cosA＝，
∴AB＝10，BC＝．
∴tanA＝．
∵D是AB的中点，
∴AD＝＝5．
∵ED⊥AB，
∴∠EDA＝90°．
∵tanA＝，AD＝5，
∴DE＝．
10．解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AB是斜边，
∵AB＝6，，
∴BC＝AB?sinA＝6×＝3．
11．解：∵sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝75°，
∴△ABC的形状是锐角三角形．
故答案为：锐角三角形．
三．解答题（共13小题）
12．解：在直角三角形ABE中，AB＝50cm，∠BAE＝55°，
∴BE＝AB?sin∠BAE＝50?sin55°＝50×0.82＝41．
∵ABCD是矩形，
∴∠CBF＝∠BAE＝55°，
∴在直角三角形BCF中，BC＝40cm，∠CBF＝55°，
∴BF＝BC?cos∠CBF＝40?cos55°＝40×0.57＝22.8．
∴EF＝BE+BF＝41+22.8＝63.8．
所以EF的长为63.8cm．
13．解：∵∠ADB＝∠DBC＝90°，AD＝6，tanA＝，tanA＝，
∴BD＝4.8．
∵CD＝12，
∴sinC＝．
14．解：∵在Rt△ACD中，∠D＝90°，∠ACD＝∠CAD＝45°，
∴AD＝CD＝AC＝6．
∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠B＝60°，
∴AB＝AC＝4．
∵S△ACD＝AD?CD＝×6×6＝36，
S△ABC＝AB?AC＝×4×12＝24，
∴四边形ABCD的面积＝S△ACD+S△ABC＝36+24（cm2）．
15．解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，
则BC＝AB?sinA＝8×＝6，
在Rt△DBC中，∠CBD＝90°，
cos∠BCD＝＝＝．
16．解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝AC×tan60°＝10，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝10×＝5，
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．
17．解：如图，作AD⊥BC的延长线于D；
由题意得：AB＝6，sinB＝，则AD＝AB?sinB＝6×＝2；
又BC＝5，则S△ABC＝×BC×AD＝×5×2＝5；
故△ABC的面积为5．
18．解：（1）解方程：x2﹣7x+12＝0
解得x1＝3，x2＝4（1分）
∵OA＞OB
∴OA＝4，OB＝3（2分）
由勾股定理得出：
∴AB＝5（3分）
∴在Rt△OAB中，sin∠ABC＝＝（4分）
（2）①∵S△AOE＝
∴OA?OE＝
∴OE＝（5分）
∴点E的坐标为（﹣，0）或（，0）（6分）
②△AOE与△DAO相似，理由如下：
∵＝，
∴
∵∠AOE＝∠DAO＝90°（7分）
∴△AOE∽△DAO．（8分）
19．解：在Rt△ADC中，
∵sin∠ADC＝，
∴AD＝＝＝2．
∴BD＝2AD＝4，
∵tan∠ADC＝，DC＝＝＝1，
∴BC＝BD+DC＝5．
在Rt△ABC中，AB＝＝2，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝2+5+．
20．解：作BC⊥OX于点C，
∵OB＝2，∠BOX＝60°，
∴OC＝OB×cos60°＝1，BC＝OB×sin60°＝，
∴点B在平面直角坐标系xOy内的坐标为：（1，）．
21．解：（1）EA1＝FC．
证明：（证法一）∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C．
由旋转可知，AB＝BC1，∠A＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF，
∴△ABE≌△C1BF．
∴BE＝BF，又∵BA1＝BC，
∴BA1﹣BE＝BC﹣BF．即EA1＝FC．
（证法二）∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．
由旋转可知，∠A1＝∠C，A1B＝CB，而∠EBC＝∠FBA1，
∴△A1BF≌△CBE．
∴BE＝BF，∴BA1﹣BE＝BC﹣BF，
即EA1＝FC．
（2）四边形BC1DA是菱形．
证明：∵∠A1＝∠ABA1＝30°，
∴A1C1∥AB，同理AC∥BC1．
∴四边形BC1DA是平行四边形．
又∵AB＝BC1，
∴四边形BC1DA是菱形．
（3）（解法一）过点E作EG⊥AB于点G，则AG＝BG＝1．
在Rt△AEG中，AE＝．
由（2）知四边形BC1DA是菱形，
∴AD＝AB＝2，
∴ED＝AD﹣AE＝2﹣．
（解法二）∵∠ABC＝120°，∠ABE＝30°，∴∠EBC＝90°．
在Rt△EBC中，BE＝BC?tanC＝2×tan30°＝．
∴EA1＝BA1﹣BE＝2﹣．
∵A1C1∥AB，
∴∠A1DE＝∠A．
∴∠A1DE＝∠A1．
∴ED＝EA1＝2﹣．
22．解：在小正方形ABCD中，AB＝2，则AC＝2，
在等边三角形ACH中，CH＝2，CO＝，HO＝，
在等腰直角三角形HOG中，HG＝2，
即EF＝2．
23．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°．
∴BC＝12，AC＝4，
∴△ABC的面积＝．
24．解：（1）①当点G落在线段AC上时，如图1所示：
则GF＝2t，AF＝2+t
∵∠AFG＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△AFG∽△ACB，
∴＝，
即＝，
解得：t＝；
②当点H落在线段AC上时，如图2所示：
则AE＝2﹣t，EH＝2t，
∵∠AEH＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，
∴△AEH∽△ACB，
∴＝，
即＝，
解得：t＝；
∴当0＜t＜2时，正方形EFGH的顶点刚好落在线段AC上时t的值为秒或秒；
（2）当t≥2时，△EGB为等腰三角形，如图3所示：
则EF＝4，
∵四边形EFGH为正方形，
∴EG＝EF＝4，
由题意得：BE＝8+2﹣（t﹣2）＝12﹣t，BF＝8﹣t，
∴BG＝＝＝，
①当EG＝BE时，4＝12﹣t，∴t＝12﹣4；
②当GE＝GB时，4＝，
解得：t1＝4，t2＝12（不合题意舍去）；
③当BE＝BG时，12﹣t＝，
解得：t＝8；
综上所述，当t≥2时，△EGB为等腰三角形时t的为12﹣4或4或8．