4.4一元线性回归案例_教案-湘教版数学选修1-2

一元线性回归案例
【教学目标】
（1）通过收集现实问题中两个有关联变量的数据做出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；
（2）在两个变量具有线性相关关系时，会在散点较长中做出线性直线，会用线性回归方程进行预测；
（3）知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的定义。
【教学重点】
散点图的画法，回归直线方程的求解方法。
【教学难点】
回归直线方程的求解方法。
【教学过程】
一、问题情境
1．情境：
客观事物是相互联系的 过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说 事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度 所以说，函数关系存在着一种确定性关系 但还存在着另一种非确定性关系——相关关系。
2．问题：
某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：
气温/
26
18
13
10
4
杯数
20
24
34
38
50
64
如果某天的气温是，你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗？
二、学生活动
为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标表示气温，纵坐标表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下图，今后我们称这样的图为散点图(scatterplot)。
从上图可以看出。这些点散布在一条直线的附近，故可用一个线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系。
选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？
我们有多种思考方案：
（1）选择能反映直线变化的两个点，例如取，这两点的直线；
（2）取一条直线，使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；
（3）多取几组点，确定几条直线方程，再分别算出各条直线斜率、截距的平均值，作为所求直线的斜率、截距；
怎样的直线最好呢？
三、建构数学
1．最小平方法：
用方程为的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近。那么，怎样衡量直线与图中六个点的接近程度呢？
我们将表中给出的自变量的六个值带入直线方程，得到相应的六个的值：
，，，，，。这六个值与表中相应的实际值应该越接近越好。所以，我们用类似于估计平均数时的思想，考虑离差的平方和。
是直线与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和，可以用来衡量直线与图中六个点的接近程度，所以，设法取的值，使达到最小值。这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法) 。
先把看作常数，那么是关于的二次函数。易知，当时， 取得最小值。同理， 把看作常数，那么是关于的二次函数。当时， 取得最小值。因此，当时，取的最小值，由此解得。所求直线方程为。当时，，故当气温为时，热茶销量约为杯。
2．线性相关关系：
像能用直线方程近似表示的相关关系叫做线性相关关系。
3．线性回归方程：
一般地，设有个观察数据如下：
…
…
当，使取得最小值时，就称为拟合这对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线。
上述式子展开后，是一个关于的二次多项式，应用配方法，可求出使为最小值时的，的值。即
，（*） ，
四、数学运用
1．例题：
例1．下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由。
机动车辆数／千台
95
110
112
120
129
135
150
180
交通事故数／千件
6.2
7.5
7.7
8.5
8.7
9.8
10.2
13
解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系。计算相应的数据之和：
，
将它们代入（）式计算得，
所以，所求线性回归方程为。
2．练习：
（1）下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ D ）
A．角度和它的余弦值 B．正方形边长和面积
C．正ｎ边形的边数和它的内角和 D．人的年龄和身高
（2）给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据：
施化肥量x
15
20
25
30
35
40
45
水稻产量y
330
345
365
405
445
450
455
1）画出上表的散点图；2）求出回归直线并且画出图形
解：1）散点图（略）。
2）表中的数据进行具体计算，列成以下表格
i
1
2
3
4
5
6
7
xi
15
20
25
30
35
40
45
yi
330
345
365
405
445
450
455
xiyi
4950
6900
9125
12150
15575
18000
20475
，
故可得到
从而得回归直线方程是。(图形略)
五、回顾小结：
1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数的计算公式，算出。由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误。求线性回归方程的步骤：计算平均数；计算的积，求；计算；将结果代入公式求；用 求；写出回归方程。