5.1.1归纳_教案-湘教版数学选修1-2

归纳
【教学目标】
1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力。
2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤。
3．抽象思维和概括能力进一步得到提高。
【教学重难点】
重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数（取无限多个值）有关的数学命题。
难点：1．学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设做出证明；
2．运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
【教学过程】
（一）创设情景
对于数列，已知，，，通过对，2，3，4前4项的归纳，猜想其通项公式为。这个猜想是否正确需要证明。
一般来说，与正整数有关的命题，当比较小时可以逐个验证，但当较大时，验证就很麻烦。特别是可取所有正整数时逐一验证是不可能的。因此，我们需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明取所有正整数都成立。
（二）研探新知
1．了解多米诺骨牌游戏。
可以看出，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：
（1）第一块骨牌倒下；
（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。
思考：你认为条件（2）的作用是什么？
可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：
当第块倒下时，相邻的第块也倒下。
这样，要使所有的骨牌全部倒下，只要保证（1）（2）成立。
2．用多米诺骨牌原理解决数学问题。
思考：你认为证明数列的通过公式是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
分析：
多米诺骨牌游戏原理
通项公式的证明方法
（1）第一块骨牌倒下。
（1）当时，猜想成立
（2）若第块倒下时，则相邻的第块也倒下
（2）若当时猜想成立，即，则当时猜想也成立，即。
根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。
根据（1）和（2），可知对任意的正整数，猜想都成立。
3．数学归纳法的原理
一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当取第一个值时命题成立；
（2）（归纳递推）假设，时命题成立，证明当时命题也成立。
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立。
上述证明方法叫做数学归纳法
注意：（1）这两步，步骤缺一不可。
（2）用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当时命题成立”。
（3）数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析。
4．例题讲解
例1教师课件投影课本例1
例2教师课件投影课本例2
例3用数学归纳法证明：
证明：（1）当时，左边=1，右边=1，等式成立。
（2）假设当时，等式成立，就是，
那么
即当时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何都成立。
（三）课堂练习：
用数学归纳法证明：
（四）小结：
数学归纳法的原理和步骤。