5.2.2间接证明：反证法_教案-湘教版数学选修1-2

间接证明：反证法
【教学目标】
1．了解命题、逆命题、否命题与逆否命题 的概念；
2．能正确判断命题的真假，掌握四种命题的关系，能求一般命题的逆命题、否命题、逆 否命题。合理进行思维的方法。
3．会用反证法证明简单的数学问题
【教学重难点】
1．从实例出发，抽象出命题、逆命题、否命题与逆否命题的概念；
2．由具 体事例入手，让学生发现命题、逆命题、否命题与逆否命题的关系；
3．由互为逆否命题的真假一致引导学生学会准确地判断命题的真假。
【教学过程】
1．复习引入
【师】昨天，我们学习了四种命题和四种命题间的关系。那么，四种命题是哪四种？它们间的关系如何呢？
【生】回答
【师】知道了四种命题间的关系有什么用途呢？
【生】回答
【师】下面我们来学习四种命题之间关系的应用。
2．新课教授
1．反证法的逻辑依据
【师生互动】
证明：若，且，则。
分析：对于该命题的证明，从正面着手：
∵
∴
又∵，
∴且，即
直接证明也可以。但总给人一种说理不是那么很得劲，美中不足的感觉。如果采用了证明方法：
假设不全为0，不妨设，则
∵
∴
这与已知的矛盾，故。
就会给人一种无可辩驳，不得不服的感觉。
【师】对于后一种证明方法，大家能把它以“若p则q”的形式表述出来再看看和原来要证明的命题是什么关系吗？
【生】后面要证明的命题写成“若则”的形式是：“若不全为0，则”原命题写成“若则”的形式是：“若，则”。
它们两者之间互为逆否命题，真假一致。
【师】像这样的证明方法我们把它叫做反证法。
2．反证法的概念
通过否定命题的结论而导出矛盾（可以是与原命题条件矛盾，也可以是与定义、定理、性质矛盾）来达到肯定命题的结论的一种数学证明方法。
关于反证法，实际上我们在初中学习平行线时，就早已遇到过了。
我们知道，在同一个平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行两种。我们学过了平行公理：“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”。下面我们用反证法来证明它的一个推论：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”。
49936407683500已知：如图，∥，∥，求证：∥。
证明：假设不平行于，即，则
∵∥，∥，
于是经过点就将有两条直线和都与平行，根据平行公理，这是不可能的。
∴与不能相交，只能平行。
3．反证法的主要步骤
仔细分析上述问题不难看出，运用反证法时，其主要步骤可以概括为：否定——推理——否定——肯定，四个步骤，即
（1）否定结论——假设命题的结论不对，即肯定结论的反面成立；
（2）推出矛盾——由结论的反面（称为“暂时假设”）出发，通过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾；
（3）否定假设——由正确推理导出了矛盾 ，说明“暂时假设”不对；
（4）肯定结论——由于否定结论是不对的，于是肯定结论成立。
在上述四步中，关键是第二步，即“由‘暂时假设’推出矛盾”，怎样导出矛盾？通常有以下几种情况：
①推出与定义、公理、定理相矛盾的结论；
②推出与已知条件相矛盾的结论；
①推出与“暂时假设”相矛盾的结论；
④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
【作业布置】
用反证法证明：如果，那么。
证明：假设不大于，则或者，或者。
∵，
∴当<与<与；=。这些都同已知条件矛盾，
∴。
若能被2整除，是整数，求证：也能被2整除。
证明：假设不能被2整除，则必为奇数，故可令=(为整数)，由此得
，此结果表明是奇数，这与题中的已知条件（能被2整除）相矛盾，
∴能被2整除。