7.2 复数的概念-湘教版数学选修1-2

数系的扩充与复数的引入教学设计（共1学时）
重庆市江北中学 杨丽
课标解读：
1.让学生了解数系的扩充过程，让学生体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，体会虚数引入的必要性和合理性,让学生感受人类理性思维的作用以及与现实世界的联系。
2.注重对学生的方法引领，注重学生核心素养的培养和数学思想的提升。
3.倡导学生勤于思考、勇于探索、敢于质疑、坚持真理的学习精神和生活态度，突出强调个人修养、社会关爱、社会责任。
二、教材分析：
复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩充。本节课的学习，一方面让学生回忆数系的扩充过程，体会虚数引入的必要性和合理性，另一方面，让学生理解复数的有关概念，为今后的学习奠定基础。
三、教学目标：
1.知识与技能：了解数系的扩充过程，了解引进复数的必要性；理解复数的基本概念、及复数相等的充要条件。
2.过程与方法：通过微课展示，直观形象地展示数系的扩充过程，化抽象为具体，在数系的几次扩充过程中培养归纳思想与类比思想.
3. 情感、态度与价值观：通过多媒体，让学生体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充过程中的作用，通过数学文化的介绍，适时进行德育渗透，以达到立德树人的根本目的。
四、教学重难点：
重点：复数的概念、复数的分类和复数相等的条件。
难点：虚数单位i的引进及复数的概念。
五、设计说明：
本节课作为章节起始课，在学习过程中，如果单纯介绍复数的概念显得较为空洞无味，加之由于学生对数系扩充的知识不成体系，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难，所以本节课运用多媒体微课辅助教学，图文并茂地讲解数系的发展简史，增强生动性。另外，让学生体会数系的扩充，一方面是由于生产生活发展的需要；另一方面，对数学学科本身来说，数系的每一次扩充，也解决了在原有数集中某种运算不可以实施的矛盾——负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.
法国数学家亨利.庞加莱曾说：“如果我们想要预知数学的未来，最合适的途径是研究这门科学的历史和现状”。因此本节课教学中，把一些重要的数学史介绍给学生，使学生了解数学发展的基本规律和基本思想，感受数学发展的曲折，调动学生学习的积极性和创造性，使学生在获得新知的同时收获一些积极向上的人生感悟，以达到立德树人的根本任务。
六、教学过程
课题引入：
前段时间，《我是演说家》中游斯彬的演讲视频广为流传，多人下载。你们看了吗？--看了，那你一定有体会到：数学无处不在，数学文化深受青睐。其实，高中课标中也提出对“数学文化”的学习要求，要让学生了解数学产生与发展的过程。所以呢，这节课我们也来说说数的发展历程和复数产生的历史故事。（板书：数系的扩充与复数的概念）。故事要从1545年说起。
设计意图：由当下热门视频引入课标对数学文化的学习要求，为本节课接下来“对数的发展历程和复数产生的历史”研究提供理论依据。
（一）历史回顾，布疑激趣
【问题初现】
师：1545年，意大利数学家卡丹在《大术》中提出一个问题：“将10分成两个部分，使他们的乘积等于40。”如何求这两个数？
学生活动一：（独立思考，独立回答）
解：设其中一个数为x,则另一个数为10-x,得到方程，但这里的，方程无实数解。
师：对，卡丹也这么认为，但他运用二次方程求根公式却发现：。
为此，卡丹非常痛苦，他的行为不仅别人理解不了，他自己也接受不了，因为这里用了负数不可实施的开平方运算。
【哲人之惑】
师：几十年后，（也就是16世纪）意大利数学家邦贝利也遇到了一个奇怪的现象，他在解三次方程时，用三次方程求根公式（高中不要求）得到了方程的根为。他又换个角度，通过因式分解得到方程的根又为或。
同一个方程，根当然相同。但这两种解法中，出现了两个不同的根，一个是4，一个是由两个负数开平方组合而成的数，他们居然“站”在了一起。你想到了什么？想到这两个不同的根——相等？
【认知冲突】
邦贝利也做了这样的猜想：，但当时社会，大家认为这是不可能的，因为负数不可能开平方。
【问题聚焦】
前边卡丹首次引入负数开平方没引起重视，但如果邦贝利这个问题不解决，三次方程的求根问题就太多太多，逃避解决不了问题，与其安静的躲开，还不如勇敢的留下来直面矛盾。矛盾在哪？矛盾就是负数开平方。可负数很多，无法逐个解决。不过，我们发现：所有的负数都可以写成-1乘以一个正数，（PPT中显示），所以问题可以聚焦到“只要-1能开平方，那么所有的负数都可以开方了”。
育德教育一：如何让-1可以开平方呢？这是我们面临的问题。当我们遇见一个问题，一时无法解决时，要有向别人学习请教的习惯。并且，要想预知数学的未来，最合适的途径就是研究它的历史和现在。
设计意图：从学生已有的知识基础出发，再现历史上数学家遇见的问题，激发学生的好奇心，也让学生感受到数学家就在身边，数学发现也不神秘，还让学生感知通过学习探究，也可以解决数学家解决的问题。通过问题聚焦环节，引导学生透过问题的表面看到本质，为下一步探究解决途径打下伏笔。另外，借此契机，引导学生如何正面积极地面对生活学习中遇见的问题。
【历史回顾】
历史上出现这样的矛盾冲突不止一次，前事不忘，后事之师。我们不妨来回顾一下数系的扩充历史，向前辈们学习学习。
1. 首先我们借助微课来回顾。请同学们边看微课边思考：（1）数系扩充过程中遇见过几次矛盾?(2)每次遇见一个新的问题，都是怎么解决的？（播放微课）。
2.下面我们从解方程的角度再来回顾数系的扩充，请继续思考刚刚提出的问题。
（1）我们知道，最先有的是自然数，在自然数集中，方程无解，为了解决这类问题，我们引入了新数——负整数，至此，自然数集N扩充到了整数集Z。（可以实施加减乘法运算。）
（2）但在整数集中，方程3x-2=0又无解了，为了解决这个矛盾，又引入了新数——分数，至此，整数集Z扩充到有理数集Q。（并可以实施加减乘除法运算--除数不为0。）
（3）可在有理数集中又不能解决x2-2=0这样的方程，为了解决这个矛盾，再次引入了新数——无理数。至此，有理数集Q扩充到了实数集R，（可以实施加减乘除和开方运算--被开方数为非负数）
数系的每一次扩充，都遵循原有的运算律，可以说，运算是向前兼容的，同时，还解决了某些运算在原有数集中不能实施的矛盾。
好了，我们从两个角度回顾了数系扩充的历史，这些历史对你有什么启发？你从中又有什么感悟呢？
设计意图：本节课运用自己编辑自己制作自己配音的微课辅助教学，图文并茂地讲解数系的发展简史，增强生动性，并且让学生带着问题回顾数系的扩充历史，提高了课堂效率。另外，通过对数系的扩充历史回顾，让学生了解数学知识、思想、方法的来龙去脉，让学生体会虚数引入的必要性和合理性。把一些重要的数学史介绍给学生，使学生了解数学发展的基本规律和基本思想，感受数学发展的曲折，从而调动学生学习的积极性和创造性，也为接下来的育德教育作好铺垫。
育德教育二：
刚刚大家思考的，数系扩充过程中遇见了几次矛盾？——3次。不少吧！矛盾都解决没有呢？--解决了。怎么解决的？——引入新数。对此，你有什么体会呢？说明：
1.勤于思考（板书：勤思）——只要勤思考，办法总比困难多。矛盾可不可怕呀——不可怕，只要积极面对，每次矛盾的解决，都是一次大的进步。
请同学们想想：如果西伯斯对所有人公认的“万物皆数（有理数）”没有怀疑，新数可不可能被他发现？——不可能。说明我们要有什么样的精神呢？
2.敢于质疑（板书：质疑）——有质疑，才有机会发现新事物。当然，学习中我们要有质疑的精神，生活中，我们处在一个信息的时代，面对网络传言，我们也要有质疑的态度，要有理性的判断，不要看着别人发了自己就跟着转发。有道是，谣言止于智者，我们要做那个“智者”。
再请同学们想想：如果西伯斯没有坚持自己独有的想法，无理数会不会在他手中诞生？这说明什么很重要呢？
3.坚持真理（板书：坚持）----所以说，全世界的黑暗不影响一支蜡烛的光辉，全世界的荒芜不影响一段生命的热情。
说到生命，在此提醒大家：我们要时刻铭记，生命永远是最可贵的，我们要时刻珍爱生命。
4.虽然如此，西伯斯却因为坚持真理献出了自己的生命，这种精神是可贵的。要感谢我们生在了一个好时代，这个时代下，我们不需要献出生命，需要的是付出努力。习主席曾说：“每一代青年都有自己的际遇和机缘，都要在自己所处的时代条件下谋划人生，创造历史。”所以，我们需要更加努力，去创造时出辉煌的历史。为此，我们继续探究。
设计意图： “立德树人”是教育的根本任务。教学过程中，把思想教育内容与学科教育内容揉和在一起，使教学的思想性水到渠成的引导出来，让学生在获取知识、发展能力的同时受到思想教育，帮助学生树立科学进取的人生观、正确的政治方向、良好的思想品德和个性品质，突出强调个人修养、社会关爱、社会责任，以达教书育人的目的。
【引入新知】
前边我们把问题聚焦到“如何让-1开平方？”如何让-1开平方呢？借鉴前辈的方法（如果说有数的平方为-1，问题都解决了。）你怎么解决这个问题呢？——生：引入一个新数，使他的平方等于-1.我们想到了，欧拉也想到了，1777年，我们的数学家欧拉提出，用“imaginary”(本意“想象之中”）一词的首字母i来表示这个新数，（则这个新数的平方等于-1的数）。即i2=-1,把i叫做虚数单位，并规定：实数可以与i进行四则运算，运算时原有的关于加法与乘法的运算律（包括交换律、结合律和分配律）仍然成立。（板书：虚数引入（i2=-1）。）
（二）问题导向，探究新知
【问题探究】
1.复数概念
问题1：把新引入的数i和-2,3像实数一样进行加法、乘法运算，你能得到哪些结果？
生：1+i,-2+3i，-2-3i，-6i,3i,-6.......(预案：如果学生够出了i1,i2,i3,i4则指出以4为周期，i,-1,-i,1循环出现，并总结出i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i.没有提出这个问题放在后边再讲)
问题2：能否概括出他们共同的结构形式？
学生活动二：（问题1,2同桌交流完成，然后抽人回答）
师：怎么概括出一般形式呢？通常将自然语言符号化，数字字母化转化成数学语言。（板书：数学思想方法：符号化、字母化）。这些数都可以看成：实数+实数×i.将这两个实数字母化为a,b,可以表示成a+bi(a,bR).这就是复数的一般表示形式，我们称形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,通常用字母 z 表示.其中a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。（板书：复数实数+实数×i，z=a+bi(a,bR).a是实部，b是虚部）全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母 C 表示.由于虚数的加入，至此，R扩充到C。
（这个复数集与原有实数集有什么关系呢？）
2.复数分类
问题3：复数集 C 和实数集 R 之间有什么关系？
学生活动三：（师生互动，共同思考，集体回答）
为了解决这个问题，我们先来探究复数的分类。（板书：复数分类）
请看刚刚写的式子，他们都有i，说明虚部不等于0，我们称虚部不等于0的数为虚数（板书：虚数），再请看这一组数（-6i,3i，2i），他们有什么特别的地方呢？他们的实部都等于0，我们称实部等于0的虚数为纯虚数（板书：纯虚数）。那实数是复数吗？为什么？实数能写成a+bi(a,bR)，所以实数是复数。（板书：实数）接下来，我们将刚刚的探究梳理一下。（结合课件演示文稿）
1657350-130175实数
00实数
1424940-6413500
21082019875500
245808514605纯虚数
00纯虚数
234759511938000
1652905121920虚数
00虚数
2503805120650非纯虚数
00非纯虚数
如果用韦恩图来表示他们之间的关系，可以如何画呢？
41275043180复数集C
虚数集
实数集R
实数集R
纯虚数集
00复数集C
虚数集
实数集R
实数集R
纯虚数集
可以看出：R是C的真子集。（实数集是复数集的一个分支）。到现在为止，我们学了N,Z,Q,R这些数集，他们又有什么关系呢？我们同样用韦恩图来体验一下他们的扩充。
74295069850Q
N
Z
R
C
00Q
N
Z
R
C
不难看出，数系的每一次扩充，新的数集都包含原有数集，原有数集是新数集的真子集，用符号可以表示出他们有如下包含关系：.
3.复数相等
问题4：两个复数a+bi,c+di什么条件下相等?
学生活动四：（独立思考，独立回答）
生：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
即若
讲了这么多，这节课讲了些什么新知识呢？（老师带领进行知识小结）借鉴历史，我们引入了新数i,它的平方等于-1，（强调i2=-1）在此基础之上，我们概括出了复数的概念及一般形式，然后研究了复数如何分类及复数相等的充要条件。接下来，我们来体验一下他们的应用。
设计意图：本环节以问题形式吸引学生注意力，承上启下，调动学生的积极性。
本环节设计了课中新知识小结，巩固学生对知识的理解，培养学生养成反思的习惯，形成总结归纳的能力。
（三）学以致用，巩固新知
练习：写出下列复数的实部和虚部，并判断他们是实数还是虚数
（1）2+3i （2） （3） （4）（5）
点评：1.虚部是i前的系数这个位置。2.只有a+bi形式才可以判断，不是这种一般形式的需要先化成一般形式后再进行判断。
例1.实数m取何值时，复数是实数？虚数？纯虚数？
反思感悟：本题考察的知识点是复数的分类问题，注意以下三点：（1）.如果不是a+bi这种一般形式，需要先化为一般形式后再探究；（2）如果含有对数，分式，根式，一定要保证式子有意义；（3）一定要弄清相应的实部虚部满足的条件。
00
00
例2.已知求实数x,y的值。
反思感悟：本题考察了复数相等的充要条件。这个题体现了一个什么思想？本题把复数问题转化成了方程组问题，体现了转化思想。这种思想在今后会经常用到，今后常常会把复数问题转化为实数问题求解。（简言之：复数问题实数化）（板书：实数化）
设计意图：此环节，练习和例题都是让学生先独立思考，再请学生分析思考过程并反馈答案，老师给予指导评价，注意引导学生提炼到数学思想方法上来。
本节课在每个例题解答完毕后，都设计了反思的环节。引导学生反思自己发现解题念头的经历，抽取解决问题的关键，总结解题过程的经验与教训，反思提炼数学思想。通过反思，升华思考，提高能力，积淀素养。
体验了这么多，现在我们重新回头看看卡丹和邦贝利的问题有没有得到解决？
【问题回溯】
卡丹在《大术》中所要求的两个数
邦贝利的疑惑：
=
问题解决没有？解决了。看来，“虚数不虚”，不仅不虚，还有很多用处。
设计意图：回归到数学家遇见的问题，一方面让学生将所学新知识得以利用，另一方面让学生体验解决问题的成就感，还体现了首尾呼应。
【虚数之用】
雷达探测
无线电通讯
1225年，意大利数学家斐波那契在《平方数之书》中，一共用5页的篇幅证明了一个数论定理：
（温馨提示：请课后自行查资料详细了解虚数之用）
设计意图：一堂课的教学不仅仅在于课堂，还在于课堂外的延伸。在此给出虚数之用的例子并让学生自行课后查阅详细资料，充分调动学生的积极性，提升学生对知识认识的广度和深度。
（四）课堂小结
学生活动五：（小组交流，班级分享）
1.知识上：复数的概念和形式，复数的分类，复数相等条件
2.思想方法：自然语言符号化，数字字母化转化成数学语言，复数问题转化成实数问题解决问题。
3.人生感悟上：勤思；质疑；坚持真理；……
设计意图：通过课堂小结，再次深化对知识的理解，建立知识结构和体系，培养学生归纳总结的能力和表达能力。
（五）作业布置
（温馨提示：请结合自己情况合理选择）
必做题（1）阅读课本（P114-116）（2）习题1（P97）
选做题：
（1）收集整理数系扩充的历史资料。
（2）用表格、思维导图或其它形式展现出自己的收获。
3.拓展题：实践作业
（1）上网查找虚数的作用。
（2）查阅思考数系还能扩充吗？
设计意图：课外练习是课堂教学的有效延伸，可以巩固新知，检验学习效果，指引拓展视野的方向。“选做题”中设有“写自己的收获”，给学生提供了积淀所学和表现自我的机会。设计“拓展题”，激发学生探究激情。作业的设计富有梯度，尊重学生的个体差异，体现了教育的全面性和因材施教的原则。
七、板书设计
设计意图：板书以框图形式呈现，体现知识的逻辑性、整体性和结构性。