4.4一元线性回归案例课件-湘教版数学选修1-2（43张PPT）

一元线性回归案例
【课标要求】
1．了解线性回归模型的意义，加深对回归方程的了解，了解样本相关关系的含义．
2．了解样本相关系数与线性相关程度强弱的关系；会对两个变量作线性相关检验．
1．变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系；另一类是相关关系，它与函数关系不同，相关关系是一种 ．
非确定性关系
自学导引
(2)散点图：若两个变量x，y组成的一组样本量为n的样本或者观测数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，画出由一些离散的点组成的图象．从散点图上看，点分布从左下角到右上角的区域内，这两个变量的相关关系叫 ，点分布从左上角到右下角的区域内，这两个变量的相关关系叫
．
正相关
负相关
线性相关关系
回归直线
b叫回归直线的 ，a叫回归直线 ．
(3)回归方程y＝bx＋a中的b表示x每增加一个单位，则y就
．
斜率
在y轴上的截距
增加(b＞0)或减少(b＜0)|b|个单位
相关系数
正相关
负相关
不相关
5．从理论上讲，rxy有以下性质：
①rxy总在区间 中取值；
②rxy越接近1，x增加，y也倾向于 ，这时(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)分散在一条 的直线附近；
③rxy越接近－1，x增加，y倾向于 ，这时(x1，y1)，(x2，y2)…，(xn，yn)分散在一条 的直线附近．
[－1，1]
增加
上升
减少
下降
回归直线方程的原理和思想．
提示　由部分观测值得到回归直线方程，可以对两个变量间的线性相关关系进行估计，这实际上是将非确定性问题转化成确定性问题进行研究．由于回归直线将部分观测值所反映的规律，进行延伸，它在许多方面有广泛的应用．回归直线方程是把有联系的两组变量进行统计分析的一种线性分析，要通过学习，进一步增强应用数学解决实际问题的能力，提高对相关现象进行处理的能力．
自主探究
1．对于线性相关系数rxy，叙述正确的是 (　　)．
A．|rxy|∈(0，＋∞)，|rxy|越大，线性相关程度越大，反之，线性相关程度越小
B．|rxy|∈(－∞，＋∞)，rxy越大，线性相关程度越大，反之，线性相关程度越小
C．|rxy|≤1，|rxy|越接近1，线性相关程度越大，|rxy|越接近0，线性相关程度越小
D．以上说法都不对
解析　∵|rxy|≤1，∴A，B均错．
答案　C
预习测评
2．下列关系属线性负相关的是 (　　)．
A．父母的身高与子女身高的关系
B．农作物产量与施肥量的关系
C．吸烟与健康的关系
D．数学成绩与物理成绩的关系
答案　C
3．某学校门口的小卖部统计了最近6个月某商品的进货价x(元)与销售价y(元)之间的对应数据，如表所示
x
3
5
2
8
9
12
y
4
6
3
9
12
14
答案　6.5　8　327　482　396
4．设有一个回归方程为y＝－2.5x＋2，若变量x增加一个单位时，则y________.
答案　平均减少2.5个单位
(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量之间数量变化的一般关系进行测定，确定一个相应的数学表达式，以便从一个已知量来推测另一个未知量，为估计预测提供一个重要的方法．
(2)把相关关系(不确定性关系)转化为函数关系(确定性关系)，当两个具有相关关系的变量近似地满足一次函数关系时，所进行的回归分析叫线性回归分析，所求函数关系y＝bx＋a就是线性回归方程(回归直线方程)．
1．回归分析的意义
名师点睛
当确定两个事物之间有相关关系之后，要先作一张相关图，判断事物间是否成线性相关，然后才能计算相关系数，在相关图中，横坐标代表一个变量，纵坐标代表另一个变量，将各对数据依次用坐标点绘于图中，这个图便称为散点图．
散点图可以说明变量间有无线性相关关系、相关的方向，但不能精确地说明变量之间的密切程度，因此需要计算相关系数来描述两个变量之间关系的密切程度．
2．散点图
3．相关系数
(1)回归直线
在线性回归模型y＝bx＋a＋e中，对于随机误差e，一般假定它的均值为0，也就是期望y是x的一次函数，此时线性回归模型就变成一次函数模型，解决一元线性回归模型的方法就是求出回归直线y＝bx＋a.
4．回归直线与回归分析
(2)回归分析
所谓回归分析法，其实质是把相关关系转化为函数关系(确定性关系)．当两个具有相关关系的变量近似地满足一次函数关系时，我们所求出的函数关系式就是回归直线．
(3)线性回归分析的一般步骤
①从一组数据出发，求出两个变量的相关系数rxy，确定二者之间是否具有线性相关关系．
②如果具有线性相关关系，求出回归直线y＝bx＋a，其中a是常数项，b是回归系数．
③根据回归直线，由一个变量的值预测或控制另一个变量的值．
(1)回归直线只适用于我们所研究的样本的总体．
(2)不能期望回归直线得到的预测值就是预测变量的精确值，事实上，它是变量的可能取值的平均值．
(3)我们所建立的回归直线一般都有时间性，如不能用20世纪80年代的身高、体重数据所建立的回归直线来描述现在的身高和体重的关系．
(4)样本取值的范围会影响回归直线的适用范围．
5．线性回归分析中的注意事项
题型一　相关关系的判定
【例1】 在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x的一组数据如下表所示：
(1)画出数据的散点图．
(2)根据散点图，你能得出什么结论？
x/秒
5
10
15
20
30
40
50
60
y/微米
6
10
11
13
16
17
19
23
典例剖析
解　(1)如图所示：
(2)结论：x与y是具有相关关系的两个变量，且相应的n组观测值的n个点大致分布在一条直线附近，其中整体上与这n个点最接近的一条直线最能代表变量x与y之间的关系．
方法点评　散点图能帮助我们发现变量之间的线性关系，直观地反映了数据的变化规律．
【训练1】 如图所示的5组数据中，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关系数最大．
答案　D(3，10)
【例2】 现随机抽取了我校10名学生在入学考试中的数学成绩x与入学后的第一次考试数学成绩y，数据如下表：
请问：这10名学生的两次数学考试成绩是否具有显著性的线性相关关系？
学号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
120
108
117
104
103
110
104
105
99
108
y
84
64
84
68
69
68
69
46
57
71
方法点评　如果两个变量不具备相关关系，或者相关关系不显著，即使求出回归直线也是无意义的，用于估计和预测是不可信的．
【训练2】 某产品的广告费用支出x与销售额y之间有如下统计数据：
判断x与y之间是否具有较高的线性相关关系？
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
题型二　回归直线
【例3】 在一项调查中测得两个变量x与y的9组对应数据如下表：
试作出该数据的散点图并由图判断y与x是否存在相关关系，若有则求出回归直线．
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
xi
1.5
1.8
2.4
3.0
3.5
3.9
4.4
4.8
5.0
yi
4.8
5.7
7.0
8.3
10.9
12.4
13.1
13.6
15.3
解　散点图如图所示．
方法点评　通过作散点图也可以看出数据(xi，yi)(i＝1，2，…，9)集中在一条直线附近，设出回归直线y＝bx＋a，利用最小二乘法求出系数b与a的估计值．
【训练3】 某电脑公司有6名产品推销员，其中5名推销员的工作年限与年推销金额数据如下表：
(1)求年推销金额y关于工作年限x的回归直线；
(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额(sxy＝2，sx＝2，sy＝1.5)．
推销员编号
1
2
3
4
5
工作年限x/年
3
5
6
7
9
年推销金额y/万元
2
3
3
4
5
解　(1)设所求的回归直线为y＝bx＋a，则b＝0.5，a＝0.4，
∴年推销金额y关于工作年限x的回归直线
为y＝0.5x＋0.4.
(2)由(1)可知，当x＝11时，
y＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)，
∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．
误区警示　形式地套用公式导致不严谨
【例4】 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：
求根据一女大学生的身高预报她的体重的回归直线方程，并预报一名身高为172 cm的女大学生的体重．
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
身高x/cm
165
165
157
170
175
165
155
170
体重y/kg
48
57
50
54
64
61
43
59
[错解]　由回归系数公式得
b＝0.849，a＝－85.712，
于是得到回归直线方程：y＝0.849x－85.712.
所以当x＝172时，y＝60.316.
[错因分析]　应当先进行线性相关检验，可用散点图或用样本相关系数r进行检验．
[正解]先作出散点图：以身高作为橫坐标(单位：cm)，以体重作为纵坐标(单位：kg)如图，从图可认为这些点大致在一直线附近，再由回归系数公式进行有关计算．可求得：b＝0.849，a＝－85.712.
于是得到回归直线方程为
y＝－85.712＋0.849x.
所以当x＝172(cm)时，y＝60.316(kg)
纠错心得　在求回归直线方程之前应该进行变量相关性检验，可以用散点图进行验证，也可以用相关系数进行验证，但必须先验证才能求回归直线方程，再应用回归直线方程求解问题，否则，虽然依据求回归直线方程的方法，可以求出相应的回归直线方程，但这个回归直线方程已经不能反映这组数据的变化规律，这时求回归直线方程也就失去了意义．
谢谢！