5.1.1归纳_课件1(1)-湘教版数学选修1-2（21张PPT）

归　纳
学习目标
1.了解归纳的含义，能利用归纳进行简单的推理．
2．了解归纳在数学发现中的作用．
课前自主学案
温故夯基
an＝2n－1
1．学习等差数列时，如何推导其通项公式？
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有：
a1＝a1＋0d，a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，…，an＝a1＋(n－1)d.
2．1,3,5,7,9，…，____________.
1．归纳的定义
由一系列有限的__________得出_________的推理方法叫作归纳推理．
2．归纳的特征
归纳是由______到______，由_____到______的推理．
知新益能
特殊事例
一般结论
特殊
一般
具体
抽象
思考感悟
如何理解归纳推理的特点？
提示：(1)归纳推理是从特殊到一般，具体到抽象的推理形式．因此，由归纳所得到的结论超越了前提所包含的范围．
(2)归纳是根据若干已知的条件(现象)推断未知结论(现象)，因而，结论(现象)具有猜测的性质．
(3)归纳的前提是特殊现象，归纳是立足于观察、经验或实验的基础上的．
(4)观察和实验是进行归纳推理的最基本条件，是归纳推理的基础，通过观察和实验，为知识的总结和归纳提供依据．
(5)由归纳推理所得到的结论未必是可靠的，但是它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对于科学的发现却是十分有用的，是进行科学研究的最基本的方法之一．
课堂互动讲练
归纳在几何图形中的应用
考点突破
一般地，解决此类问题的方法为：
(1)对有限资料进行观察、归纳、整理，发现其相似性；
(2)在此基础上提出带有规律性的结论(即猜想)．
例1
在平面内观察：
凸四边形有2条对角线，
凸五边形有5条对角线，
凸六边形有9条对角线，
…
由此猜想凸n(n≥4且n∈N＋)边形有几条对角线？
【解】　凸四边形有2条对角线；
凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；
凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条；
…
于是猜想凸n边形比凸(n－1)边形多(n－2)条对角线．因此凸n边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n－2)＝n(n－3)(n≥4且n∈N＋)．
【名师点评】　对于几何图形变化有规律的问题，研究其一般结论，常有两种途径，一是数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式，该法的缺点是具体到数字后规律掩盖的太深不易观察；二是探究后一个图形中研究对象的个数与前一个图形中研究对象的个数的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式，然后再求通项公式．总之，这类问题都可转化为数列问题来解决．
自我挑战1　由两种花色组成的正六边形地板砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是(　　)
A．26　　　　　　　　B．31
C．32 D．36
解析：选B.法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.
法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为：6＋5×(6－1)＝31.
图案
1
2
3
…
个数
6
11
16
…
归纳在不等式中的应用
对于与正整数n有关的指数式与整式的大小比较，不能用作差、作商法比较，常用归纳、猜想、证明的方法，解题时对n的取值的个数要适当，太少易产生错误猜想，太多增大计算量．对有些复杂的式子的大小比较，往往通过作差后变形(通分、因式分解等)，变成比较两个简单式子的大小，即化繁为简．
例2
对任意正整数n，试归纳猜想2n与n2的大小关系．
【解】　当n＝1时，21>12；
当n＝2时，22＝22；
当n＝3时，23<32；
当n＝4时，24＝42；
当n＝5时，25>52；
当n＝6时，26>62；
…
归纳猜想，当n＝3时，2n当n∈N＋，且n≠3时，2n≥n2.
【名师点评】　本例中如果只算前4项，可能产生错误的猜想：当≥2时，2n≤n2，错误的原因在于处理的项数太少．
归纳在数列中的应用
根据数列前几项的特征，归纳出其通项公式或求和公式．
例3
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3…)
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项公式an.
【解】　(1)当n＝1时，知a1＝1，
由an＋1＝2an＋1得a2＝3，
a3＝7，a4＝15，a5＝31.
(2)由a1＝1＝21－1，
a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，
a4＝15＝24－1，
a5＝31＝25－1，
可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N＋)．
【名师点评】　猜想通项公式时，首先从整体形式上分析：整数型、分数型、根式型等，再利用两相邻项之间相减、相除、加减某常数、平方等运算寻找规律．
方法感悟
1．归纳推理具有发现新知识和探索真理的功能，在数学学习中有预测答案，探索解题思路的作用．对于较复杂的问题，当难以找到解决问题的方法时，可以通过归纳猜想的方法，预测结论，从而找到解决问题的途径．
2．根据归纳推理得出的结论不一定是正确的，要确定其正确性，还需要进一步验证．
3．一般来说，能够进行归纳推理的前提是：若干个特殊的结论具有相同的形式和结论，进而推广到所有的一般情形．