5.1.1归纳_课件-湘教版数学选修1-2（23张PPT）

1．了解合情推理的含义，能利用归纳进行简单的推理．
2．了解归纳在数学发现中的作用．
归　纳
【课标要求】
由一系列有限的 事例得出 结论的推理方法叫作归纳．
归纳推理的一般步骤
1.首先，通过观察特例发现某些 或 ；然后把这种共性推广为 ；最后对所得出的一般性猜想，进行 ．
2.用归纳推理可以帮助我们从具体事例中发现 ，但是仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论 ．
自学导引
特殊
一般
共性
一般规律
一般性命题(猜想)
检验和证明
一般规律
不一定可靠
归纳推理的一般步骤是什么？
提示　(1)通过观察个别情况发现某些相同性质．
(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)．
自主探究
1． 关于归纳推理下列说法正确的是 (　　)
A．归纳推理是一般到一般的推理
B．归纳推理是一般到特殊的推理
C．归纳推理的结论一定是正确的
D．归纳推理的结论不一定正确
答案　D
预习测评
答案　D
3． 数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于________．
答案　32
解析　观察易发现：两个实数和的绝对值不大于这两个数的绝对值的和，即|x＋y|≤|x|＋|y|.
答案　|x＋y|≤|x|＋|y|
1．根据一类事物的部分对象具有的某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理，简称归纳．
2．归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理过程，其思维过程大致如下：实验观察→概括→推广→猜测一般性结论．
3．归纳推理的前提和结论不具有必然性联系，前提正确，其结论不一定正确．结论的正确性还需要理论证明或实践检验．
4．归纳推理的特点：(1)归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，因此，由归纳推理得出的结论超越了前提所包容的范围．(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论不一定真实，因此它不能作为数学证明的工具．(3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．
要点阐释
【例1】0 直线l1与l2是同一平面内的两条相交直线，它们有一个交点，如果在这个平面内再画第3条直线，那么这3条直线最多可能有________个交点，如果在这个平面内再画第4条直线，那么这4条直线最多可能有________个交点，由此可以猜想：在同一个平面内6条直线最多可有________个交点，n(n为大于1的整数)条直线最多可有________个交点(用含有n的代数式表示)．
典例剖析
题型一　归纳推理的证明
点评　虽然由归纳推理所得到的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识功能，对于数学的发现是十分有用的，观察、实验，对有限的资料作出归纳整理，提出带有规律性的猜想，是数学研究的基本方法之一．
答案　f(x)g(y)＋g(x)f(y)－g(x＋y)＝0　能
【例2】平面上有n(n≥2)条抛物线，其中每两条都相交于两点，并且每三条都不相交于同一点，试求这n条抛物线把平面分成多少个部分？
解　当n＝2时，即两条相交抛物线把平面分成5部分，记f(2)＝5＝22＋1；
当n＝3时，f(3)＝10＝32＋1；
当n＝4时，f(4)＝17＝42＋1；
当n＝5时，f(5)＝26＝52＋1；
归纳猜想：f(n)＝n2＋1(n≥2)．
题型二　运用归纳推理探索解题思路，能寻找解题方法
证明　设n条抛物线将平面分成f(n)个部分；有(n＋1)条抛物线时，由于第n＋1条抛物线与前n条抛物线共有2n个交点，这2n个交点将第n＋1条抛物线共分成2n＋1段，而每一段都把原来所在的部分分成了两部分，从而增加了2n＋1个部分，所以f(n＋1)＝f(n)＋2n＋1(n≥2)．
∴f(3)＝f(2)＋5；
f(4)＝f(3)＋7；
f(5)＝f(4)＋9；
…
f(n)＝f(n－1)＋2n－1，
以上各式相加得：
f(n)＝f(2)＋(5＋7＋9＋…＋2n－1)＝n2＋1(n≥2)．
所以满足题意的n条抛物线将平面分成n2＋1个部分．
点评　运用归纳推理需要考查部分对象的情形，从而归纳猜想出一般规律，这样往往有时计算量大，易出偏差，且内部潜在的规律性有时难于看出来，就用“递推法”取代“经验归纳法”，转向考察问题每递进一步所反映的规律，即探求递推关系，最后用初始值及递推关系来寻找一般规律，从而得出问题的结论．
点评　通过观察个别情况发现某些相同性质，从相同性质中推出一个明确表述的一般性结论，一般地，归纳个别情况越多，越具有代表性，推广的结论越可能为真．
【例4】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1,2,3，…)．
(1)求a2，a3，a4，a5；
(2)归纳猜想通项公式an.
解　(1)当n＝1时，知a1＝1，
由an＋1＝2an＋1，得a2＝3，
a3＝7，a4＝15，a5＝31
方法技巧　如何进行归纳推理
(2)由a1＝1＝21－1，
a2＝3＝22－1，
a3＝7＝23－1，
a4＝15＝24－1，
a5＝31＝25－1.
可归纳猜想，an＝2n－1(n∈N＋)．
点评　归纳推理具有从特殊到一般，由具体到抽象的认知功能，在数列问题中，常用归纳推理猜测求解数列的通项公式或前n项和公式．其具体步骤为：
(1)通过条件求得数列中的前几项；
(2)观察数列的前几项寻求项的规律，猜测数列的通项公式并加以证明．