5.2.1直接证明：分析法与综合法_课件1(1)-湘教版数学选修1-2（29张PPT）

1．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程与特点．
2．结合已学过的数学实例，体会综合法的两种形象化说法：“顺推证法”或“由因导果法”；分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”．了解综合法与分析法的流程框图、思考过程及特点．
直接证明：分析法与综合法
【课标要求】
1．综合法是从数学题的 出发，经过逐步的 最后达到待证结论或需求的问题，它是由 ，即“由因导果”．
2．分析法是从数学题的　　　　　　　　　　出发，一步一步地探索下去，最后达到 　 ，它是由 ，即“执果索因”．
自学导引
已知条件
逻辑推理
已知走向求证
待证结论或需求问题
题设的已知条件
求证走向已知
综合法与分析法的优点是什么？
提示　综合法的优点：叙述简洁、直观，条理清楚；而且可使我们从已知的知识中进一步获得新的知识．
分析法的优点：更符合人们的思维规律，利于思考，思路自然，在探求问题的证明时，它可帮助我们构思．应该指出的是不能把分析法和综合法绝对分开，正如恩格斯所说“没有分析就没有综合”一样，分析与综合是相比较而存在的，它们既是对立的，又是统一的．严格地讲，分析是为了综合，综合又需根据分析，因而有时在一个命题的论证中，往往同时应用两种方法，有时甚至交错使用．
自主探究
1． 综合法是从已知条件、定义、定理、公理出发，寻求命题成立的 (　　)
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
预习测评
答案　B
2．分析法是 (　　)
A．执果索因的逆推法
B．执因导果的顺推法
C．因果分别互推的两头凑法
D．寻找结论成立的充要条件的证明办法
答案　A
答案　p≥q
4．若抛物线y＝4x2上的点P到直线y＝4x－5的距离最短，则点P的坐标为________．
1．综合法是中学数学证明中常用的一种方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法．即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．
简言之，综合法是一种由因导果的证明方法．其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法．
要点阐释
应用综合法时，应从命题的前提出发，在选定了真实性是无可争辩的出发点以后(它基于题设或已知的真命题)，再依次由它得出一系列的命题(或判断)，其中每一个都是真实的(但它们并不一定都是所需求的)，且最后一个必须包含我们要证明的命题的结论时，命题得证．并非一上来就能找到通达命题结论的思路，只是在证明的过程中对每步结论进行分析、推敲、比较、选择后才能得到．当然，在较多地积累一些经验，掌握一些证法之后，可较为顺利地得到证明的思路．而在证明的叙述时，直接叙述这条思路就够了．
2．分析法是数学中常用到的一种直接证明方法．就证明程序来讲，它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法．具体说，即先假设所要证明命题的结论是正确的，由此逐步推出保证此结论成立的必要的判断．而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证(应该强调的一点，它不是由命题的结论去证明前提)．
因此，分析法是一种执果索因的证明方法．这种证明方法的逻辑依据是三段论式的演绎推理方法．
一般来讲，分析法有两种证明途径：(1)由命题结论出发，找结论成立的充分条件，逐步推演下去；(2)由命题结论出发，找结论成立的必要条件，逐步推演下去．
应该指出，应用分析法时，并非一开始就确信由结论出发所产生的那些推断(或命题)都正确，各个推理步骤及依次考虑的概念、定理、法则等都合适．这种推理方法仅仅是建立与需要证明的命题的等效关系，因而需要从这些关系中逐个考查，逐个思索，逐个分析，逐个判断，在得到了所需的确定结论时(它们是已证的命题或已知的条件)，才知道前面各步推理的适当与否，从而找出证明的路子．
当证题不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题目，往往有效．另外对于恒等式的证明，也同样可以运用．
用分析法证“若P则Q”这个命题的模式是：
为了证明命题Q为真，
这只需证明命题P1为真，从而有……，
这只需证明命题P2为真，从而有……，
　　　…
这只需证明命题P为真．
而已知P为真，故Q必真．
【例1】设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N＋)，其中m为常数，且m≠－3.
典例剖析
题型一　综合法的应用　
点评　本题要证明数列为等差、等比数列，通过定义可寻求解题思路，在证明过程中，恰当处理递推关系是本题证明的关键．
用综合法证明时，证明思路的着眼点较难把握，一般地，靠综合分析或积累的经验，或分析法分析获得．因此用综合法证题时，要注意分析条件与结论的区别与联系．
【例2】试证：以抛物线过焦点的弦为直径的圆与抛物线的准线相切．
题型二　分析法的应用
点评　分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知．即：已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等等．
【例3】若a，b，c是三角形的三边长，试证方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0没有实根．
证明　要证方程无实根，只需证其判别式Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2＜0即可，考虑到Δ＝(b2＋c2－a2－2bc)(b2＋c2－a2＋2bc)
＝[(b－c)2－a2][(b＋c)2－a2]＝(b－c＋a)(b－c－a)(b＋c－a)(b＋c＋a)．
∵三角形任意二边之和大于第三边，故a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，从而b－c＋a＞0，b＋c－a＞0，b－c－a＜0.又a＋b＋c＞0，故Δ＜0.从而原命题成立．
题型三　分析法与综合法的综合应用
点评　本题在证明过程中，前面两步应用了分析法，后面两步用了综合法．在实际证题时，常把分析法与综合法结合起来运用．有时先用分析法探求证题思路，再用综合法书写证明．
另外，本题还可由Δ＝(b2＋c2－a2)2－4b2c2＝(2bccos A)2－4b2c2＝4b2c2(cos2 A－1)＝－4b2c2sin2A＜0直接证得．这里运用了余弦定理．
误区警示　解题过程逻辑上不严密导致失分
纠错心得　分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找它的充分条件．其理论依据是三段论推理.