5.2.2间接证明：反证法_课件1(1)-湘教版数学选修1-2（19张PPT）

间接证明：反证法
学习目标
1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．
2.了解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
课前自主学案
温故夯基
由因导果
综合法是“___________”，而分析法则是“
___________”．它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决具体的问题时，综合运用效果会更好．
执果索因
1．间接证明
不是从正面证论题的真实性，而是证明它的
_______为假，或改证它的___________为真，以间接地达到目的．
2．反证法
假设原命题的_____成立，从假设出发，经过推理，得出与已知事实相矛盾的结论，说明原命题结论的___________，从而间接肯定了原命题结论成立，这种证明方法称为反证法．
知新益能
反论题
等价命题
否定
否定不成立
3．反证法的一般步骤
(1)反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的___________；
(2)归谬：由“______”出发，通过正确的推理，导出矛盾——与__________，_________
___、_____、_____反设及明显的事实矛盾或自相矛盾．
(3)结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“_______”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．
反面成立
反设
反设
已知条件
已知的公
理
定义
定理．
思考感悟
用反证法证明命题“若p，则q”时，为什么綈q假q就真？
提示：在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一，所以命题结论q的反面綈q错误时，q就一定正确．　
课堂互动讲练
用反证法证明否定性命题
考点突破
结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类命题的反面比较具体，适于应用反证法．
例1
如图所示，设SA，SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点．求证：AC与平面SOB不垂直．
【思路点拨】　结论是“不垂直”，呈否定性，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾，从而肯定“不垂直”．
【证明】　假设AC⊥平面SOB.
∵直线SO在平面SOB内，∴AC⊥SO.
∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB，
又AB∩AC＝A，
∴SO⊥平面ABC，∴平面ABC∥底面圆O.
这显然与AB?底面圆O矛盾，所以假设不成立．
故AC与平面SOB不垂直．
【名师点评】　反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中：第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．
自我挑战1　已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca不大于零．
证明：假设ab＋bc＋ca>0，
因为a2＋b2＋c2≥0.
则(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)>0.
所以(a＋b＋c)2>0，即a＋b＋c≠0，这与a＋b＋c＝0矛盾，所以假设不成立，故ab＋bc＋ca≤0.
用反证法证明唯一性命题
结论以“有且只有一个”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性简单明了．
例2
求证函数f(x)＝2x＋1有且只有一个零点．
【思路点拨】　含有“有且只有”字眼的命题一般先证存在性，再用反证法证唯一性．
【名师点评】　“有且仅有”的含义有两层①存在性：本题中只需找到函数f(x)＝2x＋1的一个零点即可．②唯一性：正面直接证明较为困难，故可采用反证法寻求矛盾，从而证明原命题的正确性．
当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”等指示性词语时，宜用反证法．注意“至少有一个”、“至多有一个”、“都是”的否定形式分别为“一个也没有”、“至少有两个”、“不都是”．
用反证法证明存在性问题
例3
已知a≥－1，求证三个方程：
x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实数解．
【名师点评】　反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般表现形式是：或者是A，或者是非A，即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是对的，不能有第三种情形出现．
证明：假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
则a＋b＋c≤0，
而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.
∵π－3＞0，且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，
∴a＋b＋c＞0，
这与a＋b＋c≤0矛盾．
因此，a、b、c中至少有一个大于0.
方法感悟
1．反证法适宜证明“存在性、唯一性、带有‘至少有一个’或‘至多有一个’等字样”的一些数学问题．
2．反证法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属“间接解题方法”，书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”．
3．常用正面词语的否定形式
正面词语
否定
正面词语
否定
等于
不等于
都是
不都是(至少有一个不是)
小于
不小于(大于或等于)
至多有一个
至少有两个
大于
不大于(小于或等于)
至少有一个
一个也没有
是
不是