5.2.2间接证明：反证法_课件1(2)-湘教版数学选修1-2（22张PPT）

1．了解间接证明的一种基本方法——反证法．
2．了解反证法的思考过程、特点．
3．结合已经学过的数学实例，理解反证法的推理过程，证明步骤，体会直接证明与间接证明的区别与联系．
间接证明：反证法　
【课标要求】　
1．间接证明不是从正面确定论题的真实性，而是证明它的
　　 为假，或改证它的　　　　　为真，以间接地达到目的．　　　　　是间接证明的一种基本方法．
2．一般地，先假设原命题的　　　 　，从这个假设出发，经过推理，得出与已知事实相矛盾的结果，这个矛盾的结果说明原命题结论的否定不成立，从而间接肯定了原命题结论成立，像这样一种间接证法，称为 ．
自学导引
反论题
等价命题
反证法
否定成立
反证法
3．反证法证题的一般步骤：(1) ；(2) ；(3) ．
4．运用反证法的关键是 ．
反设
归谬
结论
导出矛盾
有人说，反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？
提示　这种说法是错误的，反证法是否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题为真，其命题的否定一定为假．
自主探究
1．用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少有一个大于等于60°”时，反设正确的是 (　　)
A．三个内角都小于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角中至多有一个大于60°
D．三个内角中至多有两个大于60°
解析　“至少有一个”的否定是“一个都没有”，则反设为“三个内角都小于60°”．
答案：A
预习测评
2． 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是(　　)
①与已知条件矛盾　②与假设矛盾　③与定义、公理、定理矛盾　④与事实矛盾
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
答案　D
3．“x＝0且y＝0”的否定形式为________．
答案：x≠0或y≠0
4． 用反证法证明：“△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b”的结论的否定为________．
答案　a≤b
要点阐释
典例剖析
题型一　“至多”、“至少”型问题
点评　从正面说明需分多种情况讨论，而从反面进行证明只要研究一种情况的题目，适宜用反证法．
1．若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，求证：方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．
证明　假设方程f(x)＝0在[a，b]上至少有两个实根α，β，即f(α)＝f(β)＝0.
∵α≠β，不妨设α>β.
又∵f(x)在[a，b]上为增函数，
∴f(α)>f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾．
所以f(x)＝0在[a，b]上至多有一个实根．
【例2】如图所示，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．
证明　假设AC⊥平面SOB，因为直线SO在平面SOB内，所以SO⊥AC.因为SO⊥底面圆O，所以SO⊥AB.所以SO⊥平面SAB.所以平面SAB∥底面圆O.这显然与平面SAB与底面圆O相交矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．
题型二　“否定性”“肯定性”问题　
点评　否定性的问题常用反证法，例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．
2． 若a是整数，且a2能被4整除，求证：a能被2整除．
证明　假设a不能被2整除，则a≠2n(n∈Z)，所以a2≠4n2，所以a2不一定能被4整除，这与已知相矛盾，假设不成立，即a能被2整除．
【例3】函数f(x)在R上为增函数，对命题“若a＋b≥0(a、b∈R)，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
解　(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.(真命题)下面用反证法证明：
假设a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.因为f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，与已知条件矛盾，故假设不成立，所以逆命题为真．
题型三　综合性问题　
(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0，(真命题)下面用反证法证明：
假设a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．与已知矛盾，故假设不成立，因此逆否命题为真．
点评　本题利用函数单调性进行推理论证，综合性较强．一般地，对直接证明有困难的命题的证明，可考虑用反证法．