7.1解方程与数系的扩充_课件-湘教版数学选修1-2（24张PPT）

1．了解引进虚数i的必要性，了解数集的扩充过程．
2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些
基本概念，如：虚数单位、复数、虚数、纯虚数、实
部、虚部等等．
3．理解复数相等的充要条件．
解方程与数系的扩充
复数的概念
【课标要求】
自然数系
有理数系
虚数单位
－1 　
全体复数
实部
虚部　
4.设z＝a＋bi(a，b∈R)，则当且仅当　　　　时，z为实数．当　　　时，z为虚数，当　　　　　　时，z为纯
虚数．
5.实数集R是复数集C的　　　　，即R?C.这样复数
包括 和 ．
6.a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)的充要条件是 .
b＝0
b≠0
a＝0且b≠0
真子集
实数
虚数
a＝c且b＝d
复数能比较大小吗？
提示　两个实数可以比较大小，但两个复数至少有一个为虚数时，不能比较大小．
自主探究
答案　D
复数1－i的虚部是 (　　)．
A．1 B．－1
C．i D．－i
答案　B
预习测评
2．
3．设x∈R，且(x－2)＋(x2－1)i为纯虚数，则x＝________
答案　2　
4．设x，y∈R，且(x－y)＋(x＋y)i＝2，则x·y＝________.
答案　－1　　
(1)增添了新元素．
(2)新旧元素在一起构成数集．在新的数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质(如运算定律)仍旧能够适用．
(3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系仍然保持．
(4)新的数集解决了旧的数集不能解决的矛盾．
要点阐释
1．数的概念扩充的原则
我们知道，如果b2－4ac<0，实系数一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根，这说明在代数方程的讨论中，实数集依然不够完善，在实数范围内，－1不能开平方．这样，人们在解方程的过程中，为了解决负数不能开平方的问题，引入了一个新数i，叫做虚数单位，并规定：
(1)它的平方等于－1，即i2＝－1；
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．
2．虚数单位i
(2)第二条性质是扩充数集的原则之一，这里只提加、乘运算，没有提减、除运算，并不是复数的运算对减法和除法不成立，而是为了与后面讲复数的四则运算时，只对加法和乘法法则给出规定，而分别把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算的做法相一致，在学习过程中应注意这一点．
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
3．
说明：(1)实数R和虚数集都是复数集C的真子集，且R∪{虚数}＝C，R∩{虚数}＝?.
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部是b，而不是bi.
4．复数的分类
【例1】设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z为纯虚数的必要不充分条件是 (　　)．
A．a＝0
B．a＝0且b≠0
C．a≠0且b＝0
D．a≠0且b≠0
典例剖析
题型一　复数的有关概念
解析　纯虚数的概念：当a＝0而b≠0时，复数z＝a＋bi＝bi(a，b∈R)叫做纯虚数．本题应利用它进行正确选择．
由纯虚数的概念可知：a＝0且b≠0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件．而题中要选择的是必要不充分条件．因此，我们要选择的应该是由且字连接的复合命题“a＝0且b≠0”的子命题，“a＝0”或“b≠0”．对照各选择项的情况，我们可以发现应选择A.
答案　A
点评　(1)b≠0也是z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件；(2)本题的选择项C与D及“a＝0且b＝0”均为z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的既不充分也不必要的条件．
1.对于实数a、b，下列结论正确的是 (　　)
A．a＋bi是实数　　　　　　　
B．a＋bi是虚数
C．bi是纯虚数
D．a＋bi 是复数
答案　D
点评　集合的有关运算性质，在复数C中仍然成立．
3．已知a－1＋2ai＝4i－4，求复数a.
点评　复数z＝a＋bi(a，b∈R)当且仅当为实数时，才能比较大小．若a＋bi＞0，则知b＝0，且a＞0.注意隐含条件的运用．
4．若(x2－1)＋(x＋3)(x－2)i＞3，求实数x的取值范围．
错因分析　研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件．上述解法便忽略了分母不能为0的条件，丢掉了m＋3≠0，导致错解．
纠错心得　对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识它，如复数z是实数的条件是：虚部为零，实部有意义.