7.3复数的四则运算_课件1(1)-湘教版数学选修1-2（22张PPT）

【课标要求】
1．掌握复数代数形式的四则运算．
2．会在复数范围内解方程．
复数的四则运算
1.一般地，对任意两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，有
加法：(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
减法：(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
乘法：(a＋bi)(c＋di)＝ .
即两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)的加、减、乘运算，可以先看作以i为字母的实系数多项式的相应运算来进行，再将i2＝－1代入，将 分别合并，就得到最后的结果．
自学导引
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
实部和虚部
分母实数化
自主探究
如何在复数范围内解方程x2＝－1?
1. 若z＋3－2i＝4＋i，则z等于 (　　)
A．1＋i B．1＋3i
C．－1－i D．－1－3i
解析　z＝(4＋i)－(3－2i)＝1＋3i.
答案　B
2．若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝ (　　)
A．4＋2i B．2＋i
C．2＋2i D．3＋i
解析　z1·z2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i，故选A.
答案　A
预习测评
3． 5－(3＋2i)＝________.
答案　2－2i
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则有z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
即两个复数相加(减)，就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，由此可知：
(1)两个复数的和(差)仍是一个确定的复数．
(2)该法则可以推广到多个复数相加(减)．
(3)复数加法满足交换律与结合律，即对任意的复数z1，z2，
z3，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
要点阐释
1．复数代数形式的加、减法运算法则
2． 复数代数形式的乘法运算法则
(1)复数乘法的法则
复数的乘法与多项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部、虚部分别合并．
(2)复数乘法的运算律
对于任意的z1，z2，z3∈C，有
z1·z2＝z2·z1(交换律)，
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)，
z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(乘法对加法的分配律)．
题型一　复数的加减运算
【例1】计算(1)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
解　(1)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]
＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
(2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i
＝－a＋(4b－3)i.
点评　(1)类比实数运算，若有括号，先计算括号内的，若没有括号，可从左到右依次进行．
(2)算式中出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部和虚部，最后实部、虚部分别相加减．
典例剖析
1． (1)若z－(1＋i)＝1＋i，则z＝________.
(2)计算(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝________.
解析　(1)∵z－(1＋i)＝1＋i，
∴z＝(1＋i)＋(1＋i)＝2＋2i.
(2)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)
＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i
答案　(1)2＋2i　(2)－1－8i
题型二　复数的乘除运算
【例2】(1)设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i，若z1z2∈R，则实数x等于 (　　)．
A．－2　　　 B．－1　　　
C．1　　　 D．2
(2)复数(1＋2i)÷(3－i9)的值是________．
解析　(1)z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝x＋2i＋xi＋2i2
＝(x－2)＋(x＋2)i.因为z1z2∈R，
∴x＋2＝0，∴x＝－2.
2． 计算(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．
解：原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)
＝2(12－4i－3i＋i2)＋(28－21i－4i＋3i2)
＝2(11－7i)＋(25－25i)
＝47－39i.
【例3】求满足下列条件的复数z：
(1)z2＝－7－24i；
(2)(3－i)z＝4＋2i.
题型三　在复数范围内求解实系数一元二次方程问题
点评　求复数方程的实系数问题应特别注意利用复数相等的充要条件．
3．求3＋4i的平方根．
【例4】设z是复数，a(z)表示满足zn＝1的最小正整数n，则对虚数单位i，a(i)＝ (　　)．
A．1 B．2
C．4 D．8
[错解]　因为1的任何次幂都为1.故选A.
错因分析　对a(z)的理解不到位，未注意到z应为复数．
[正解]　因为n为正整数．
i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1.
所以a(z)应为4，故选C.
答案　C
误区警示　以偏概全思路有时不可取
纠错心得　读懂题意，明白a(z)所表示意义是关键，此外还应掌握i的有关性质．i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1，n∈N.