第7章 数系的扩充与复数 复习课件-湘教版数学选修1-2（36张PPT）

第7章 数系的扩充与复数
复习课件
学习目标
1.掌握复数的有关概念及复数相等的条件；
2.理解复数的几何意义；
3.掌握复数的相关运算。
知识梳理
达标检测
题型探究
内容索引
知识梳理
1.复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的
和 .若b＝0，则a＋bi为实数，若 ，则a＋bi为虚数，若_____
，则a＋bi为纯虚数.
(2)复数相等：a＋bi＝c＋di? (a，b，c，d∈R).
(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭? (a，b，c，d∈R).
(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. 叫做实轴，
叫做虚轴.实轴上的点都表示 ；除了原点外，虚轴上的点都表示
；各象限内的点都表示非纯虚数.
实部
虚部
b≠0
a＝0
且b≠0
a＝c且b＝d
a＝c，b＋d＝0
x轴
y轴
实数
纯虚数
(5)复数的模：向量 的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作 或 ，即|z|＝|a＋bi|＝________(r≥0，r∈R).
2.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
|a＋bi|
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
|z|
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝ ；
④除法：
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝
，(z1＋z2)＋z3＝ .
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
1.2i＋5的共轭复数为2i－5.(　　)
2.若m，n∈R，m＋(n－1)i＝1＋i，则m＝1，n＝2.(　　)
3.若z1，z2为复数，且z1－z2>0，则z1>z2.(　　)
4.复数z＝i(2＋i)对应的点在第二象限.(　　)
5.若|z－z1|＝r，则在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以z1的对应点为圆心，半径为r的圆.(　　)
[思考辨析 判断正误]
×
√
×
√
√
√
题型探究
(1)z是实数；
类型一　复数的概念
解答
解　由a2－a－6＝0，解得a＝－2或a＝3.
由a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.
由a2－4≠0，解得a≠±2.
要使z为实数，需a2＋2a－15＝0且a2－4≠0，
解得a＝－5或a＝3，
∴当a＝－5或a＝3时，z为实数.
(2)z是虚数；
答案
解　要使z为虚数，需a2＋2a－15≠0且a2－4≠0，
解得a≠－5且a≠3且a≠±2，
∴当a≠－5且a≠3且a≠±2时，z是虚数.
(3)z是0.
解　要使z为0，需a2－a－6＝0，且a2＋2a－15＝0，且a2－4≠0，
解得a＝3，
∴当a＝3时，z＝0.
引申探究　
本例中条件不变，若z为纯虚数，是否存在这样的实数a，若存在，求出a，若不存在，说明理由.
解答
解　由a2－a－6＝0，且a2＋2a－15≠0，且a2－4≠0，
得a无解，
∴不存在实数a，使z为纯虚数.
反思与感悟　（1）正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念（如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模）的前提.
（2）两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据.
解答
解　设方程的实数根为m，
类型二　复数的四则运算
解　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
∴z－3i＝a＋(b－3)i为实数，可得b＝3.
解答
(1)求复数z；
∴a＝－1，即z＝－1＋3i.
解答
反思与感悟　复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求z时要注意是把z看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想；当z是实数或纯虚数时注意常见结论的应用.
解　z1＝z2(2＋i)，
(3＋i)z1＝z2(2＋i)(3＋i)＝z2(5＋5i)∈R，
解答
所以z2(5＋5i)＝±50，
类型三　方程思想
解答
解　将b代入题中方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0，
整理得(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0.
则b2－6b＋9＝0，且a－b＝0，解得a＝b＝3.
例3　已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.
（1）求实数a，b的值；
解答
解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，
复数z在复平面内对应的点为Z，
则(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，
即(x＋1)2＋(y－1)2＝8.
反思与感悟　方程思想主要用来分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.在本章中方程思想主要体现在复数相等的充要条件及点的轨迹和复数方程等问题上.
解答
解　方法一　设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入已知等式中得2x－(3x2＋3y2)i＝1－3i，
达标检测
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2
3
4
A.(1,3) B.(3,1)
C.(－1,3) D.(3，－1)
答案
√
解析
所以它的实部为1，虚部为3，所以它在复平面内对应的点的坐标为(1,3).故选A.
5
答案
解析
1
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3
4
5
2.复平面内表示复数i(1－2i)的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
解析　复数i(1－2i)＝2＋i，在复平面内对应的点的坐标是(2,1)，位于第一象限.故选A.
答案
则|z|＝1.故选A.
解析
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√
解答
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＝(1＋i)2－(－1)＝1＋2i.
解答
5.已知集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.
(1)指出集合P在复平面内所对应的点集表示的图形；
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解　由|z－1|≤1可知集合M在复平面内对应的点集所表示的图形是以点E(1,0)为圆心，1为半径的圆的内部和边界，由|z－1－i|＝|z－2|可知集合N在复平面内对应的点集所表示的图形是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P表示的图形是圆E截直线l所得的一条线段AB，如图所示.
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解答
(2)求集合P中复数z的模的最大值和最小值.
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解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则圆E的方程为x2＋y2－2x＝0，直线l的方程为y＝x－1，
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规律与方法
1.复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化.
2.复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现.
3.利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题.
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