7.2《数系的扩充历史》课件-湘教版数学选修1-2（29张PPT）

Song from π圆周率钢琴曲
采撷精华积跬步
博观约取求拓展
普通高中数学课程标准中指出：
高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对“数学文化”的学习要求,要求数学文化尽可能有机地结合高中数学课程的内容，选择介绍一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物，要使学生初步了解数学产生与发展的过程，体会数学对人类文明发展的作用。
高中数学湘教版选修1-2 第7章
数系的扩充
与复数的概念
复数
概念
一
历史回顾 布疑激趣
1545年，意大利数学家卡丹在《大术》中提出一个问题：
“将10分成两个部分，使他们的乘积等于40。”求这两个数？
5+?15+5??15=10
?
5+?15×5??15=40
?
卡丹运用二次方程求根公式发现：
问题初现
????2?10????+40=0
?
方法：设其中一个数为x,则另一个数为10-x,得到
卡丹
(Cardano,1501--1576)
但?<0，方程没有实数解
?
哲人之惑
????3=15????+4
?
求根公式
因式分解
?????4????2+4????+1=0
?
????=?2±3
?
????=?2±3
?
或??????=4
?
或
????????+?????????????+???????????????????????= 4
?
邦贝利
？
认知冲突
没有数的平方为?15，所以对?15开方没有意义
?
没有数的平方为?121，所以对?121开方没有意义
?
旧有认知
直面矛盾
能否找到数的平方为负数？即负数开平方。
问题聚焦
?15
?
?121
?
=（?1）×15
?
=（?1）×121
?
只要-1能开平方，那么所有的负数都可以开平方。
如何让-1可以开平方呢？
如果我们想要预知数学的未来，最合适的途径是研究这门科学的历史和现状。
———亨利·庞加来
问题初现
历史回顾
整数
负整数
自然数
正整数
零
分数
有理数
无理数
实数
实 数 集
有理数集
自然数集
整 数 集
（1）在自然数集中求方程 x+1=0的解？
（2）在整数集中求方程3x-2=0的解？
（3）在有理数集中求方程x2-2=0的解？
原则：数系扩充后，新数系应遵循原数系的运算律
博观约取
启发
感悟
学贵有疑，小疑则小进，大疑则大进
复数
概念
一
二
历史回顾 布疑激趣
问题导向 探索新知
引入新知
1777年欧拉提出用“imaginary“（想象之中）一词的首字母????来表示平方为?1的数，即：
?
????2=?1
?
称????为虚数单位
?
（1）
（2）规定：实数可以与i进行四则运算，运算时原有的关于加法与乘法的运算律（包括交换律、结合律和分配律）仍然成立。
问题探究
问题2：能否概括出他们的共同的结构形式？
问题1：把新引入的数?????和-2,3像实数一样进行加减、乘法
运算， 你能得到哪些结果？
?
自然语言符号化，数字字母化
1.复数的概念
????+????????
?
(????,????∈????)
?
其中：????为复数????的实部，????为复数????的虚部
?
常用小写字母????表示复数
?
称全体复数所组成的集合为复数集
????
?
(???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????)
?
即：????=????????=????+????????,????∈????,????∈????
?
????=
?
i 称为虚数单位。
复 数 集
虚数
复数
实 数 集
有理数集
自然数集
整 数 集
整数
负整数
自然数
正整数
零
分数
有理数
无理数
实数

2.复数的分类
?
?
?
í
ì
实数
虚数
=
0
b
?
í
ì
纯虚数
非纯虚数
问题3：复数集C和实数集R之间有什么关系？
?
实数集R
虚数集
纯虚数集
N
Z
Q
R
C
N
Z
Q
韦恩图
N,Z,Q,R,C又有什么关系呢？
3.复数相等
问题4：两个复数a+bi,c+di什么条件下相等?
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
复数
概念
一
二
三
历史回顾 布疑激趣
问题导向 探索新知
学以致用 巩固新知
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
实部
虚部
实/虚
应用新知
练习：写出下列复数的实部和虚部，并判断他们是实数还是虚数
①2+3????
?
②?????+1
?
③??????
?
④????2
?
⑤????+????3
?
虚数
虚数
纯虚数
实数
2
1
0
-1
3
-1
1
?
0
=-1
实数
0
0
=0
学以致用
解: （1）当 ?????1=0，即????=1时，复数 ?????是实数．
?
即 时，复数 ???? 是纯虚数．
?
,求????与y的值.
?
典例流传
例2:已知
其中
复数相等的问题
转化
求方程组的解的问题
转化（复数问题实数化）
解:根据两个复数相等的充要条件，可得方程组
解得:
问题回溯
5+?15+5??15
?
????????+?????????????+????????????????????????? =????????+????????????+?????????????????????

?
卡丹在《大术》中所要求的两个数
邦贝利的疑惑：
32+?121+32??121?= 4
?
=5+15????+5?15????
?
=10
?
?=????(????+????)????+????(?????????)????

???????????????????=2+????+2?????=4
?
虚数之用
?雷达探测
????2+????2????2+????2=????2+????2=????2+????2
?
?1225年，意大利数学家斐波那契在《平方数之书》中，一共用5页 的篇幅证明了一个数论定理：
?无线电通讯
四、课堂小结 反思提炼
一、创设情境 布疑激趣
二、动手实践 合作探究
三、运用新知 学以致用
知识
数学思想
人生感悟
我的
收获
作业：
1.必做题（1）阅读课本（P114-116）（2）习题1（P97）。
2.选做题：
（1）收集、整理数系扩充的历史资料。
（2）用表格、思维导图或其它形式展现出自己的收获。
3.拓展题：实践作业
（1）上网查找虚数的作用。
（2）查阅思考数系还能扩充吗？
THE END
Thanks for your attention !
路漫漫其修远兮
吾将上下而求索