2021-2022学年沪科版数学九年级上册21.4.2利用二次函数表达式解决抛物线形建筑问题---同步课时作业(word解析版)

第2课时　利用二次函数表达式解决抛物线形建筑问题
知识点
1　建立平面直角坐标系求有关抛物线形建筑物的表达式
1.中国贵州省内的射电望远镜(FAST)是目前世界上口径最大,精度最高的望远镜.根据有关资料显示,该望远镜的轴截面呈抛物线状,口径AB为500米,最低点C到口径面AB的距离是100米,若按图8②建立平面直角坐标系,则抛物线的函数表达式是
(　　)
图8
A.y=x2-100
B.y=-x2-100
C.y=x2
D.y=-x2
2.如图9所示的一座拱桥,当水面宽AB为12
m时,桥洞顶部离水面4
m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y=-(x-6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是　　　　　　　　　　　.?
图9
知识点
2　利用表达式由水平距离求垂直高度
3.某拱桥的截面是抛物线形,如图10所示.在图中建立的平面直角坐标系中,抛物线的表达式为y=-x2,当水面宽AB=12
m时,水面到拱桥顶点O的距离为
(　　)
图10
A.-9
m
B.6
m
C.9
m
D.36
m
4.[教材习题21.4第5题变式]
图11①是一座拱桥的示意图,相邻两支柱间的距离为10米(即HF=FG=GM=MP=10米),拱桥顶点D到桥面的距离DG=2米,将其置于如图②所示的平面直角坐标系中,抛物线的表达式为y=ax2+6.
(1)求a的值;
(2)求支柱EF的高.
图11
知识点
3　利用表达式由垂直高度求水平距离
5.河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图12②所示的平面直角坐标系,其函数表达式为y=-x2,当水面离桥拱顶的高度DO是4
m时,水面宽度AB为　　　　m.?
图12
6.如图13所示是某斜拉索大桥,主索塔呈抛物线形,主索塔底部在水面部分的宽度AB=50米,主索塔的最高点E距水面的垂直距离为100米,桥面CD距水面的高度为36米,求桥的宽度CD.
图13
7.如图14,一条隧道的截面由一段抛物线和一个矩形的三条边围成,AB为20
m,AE为2
m,抛物线的最高点C到地面EF的距离为6
m,隧道内的路面为双向行车道(正中间是一条宽2
m的隔离带).
(1)若以线段AB的中点O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立坐标系,试求出抛物线的函数表达式;
(2)现有一辆满载货物的汽车高为5
m,宽为2
m,它能安全地通过该隧道吗?请说明理由.
图14
8.如图15,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案.按照图中的平面直角坐标系,最左边的抛物线可以用y=ax2+bx来表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为
m,到墙边OA的距离分别为
m,
m.
(1)求最左边拋物线的函数表达式,并求出图案最高点到地面的距离;
(2)若该面墙的长度为10
m,则最多可以连续绘制几个这样的拋物线形图案?
图15
9.如图16,某小区在墙体OM上的点A处安装一抛物线形遮阳棚,现以地面和墙体所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系,已知遮阳棚的高度y(m)与地面水平距离x(m)之间的关系式可以用y=-x2+bx+c表示,且抛物线经过点B(2,),C(5,).
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求遮阳棚的跨度ON的长;
(3)现准备在抛物线上一点E处,安装一直角形钢架GEF对遮阳棚进行加固(点F,G分别在x轴,y轴上,且EG∥x轴,EF∥y轴),现有库存10
m的钢材是否够用?
图16
教师详解详析
1.A　[解析]
由题意可得A(-250,0),C(0,-100).
设抛物线的函数表达式为y=ax2-100,
把A(-250,0)代入,得0=62500a-100,
解得a=,
故抛物线的函数表达式为y=x2-100.
故选A.
2.y=-(x+6)2+4
3.C　
4.解:(1)根据题意可知A(-20,0),
将其代入y=ax2+6,得400a+6=0,
解得a=-.
(2)把x=-10代入y=-x2+6,
得y=-×(-10)2+6=,
∴EF=6+2-=(米).
5.20　[解析]
根据题意,得-4=-x2,
解得x1=-10,x2=10,
即A(-10,-4),B(10,-4),
∴AB=20
m.
6.解:如图,以CD所在直线为x轴,过点E与CD垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系.
根据图象可知顶点E的坐标为(0,64),点B的坐标为(25,-36).
设抛物线的函数表达式为y=ax2+64,
将点B(25,-36)代入,得-36=625a+64,
解得a=-,
∴y=-x2+64,
令y=0,得-x2+64=0,
解得x=±20,
∴C(-20,0),D(20,0),
∴CD=20-(-20)=40(米).
答:桥的宽度CD为40米.
7.解:(1)如图,以点O为坐标原点,AB所在直线为x轴建立坐标系.则点A(-10,0),B(10,0),C(0,4).
设抛物线的函数表达式为y=ax2+4,
代入A(-10,0),可得a=-0.04,
所以抛物线的函数表达式为y=-0.04x2+4.
(2)能.理由如下:
令x=3,则y=3.64.
因为3.64+2=5.64(m)>5
m,
所以能安全通过.
8.解:(1)根据题意,得B(,),C(,).
把B,C两点的坐标分别代入y=ax2+bx,得解得
∴最左边拋物线的函数表达式为y=-x2+2x,
∴图案最高点到地面的距离为=1(m).
(2)令y=0,即-x2+2x=0,
解得x1=0,x2=2.
∵10÷2=5,
∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线形图案.
9.解:(1)将点B,C的坐标代入y=-x2+bx+c,得
解得
故抛物线的函数表达式为y=-x2+x+.
(2)令y=0,得-x2+x+=0,
解得x1=-2(舍去),x2=8,
故遮阳棚的跨度ON的长为8
m.
(3)设点E(x,-x2+x+),
由题意得GE+EF=x-x2+x+=-(x-)2+.
∵-<0,
∴GE+EF的最大值为<10,
故现有库存10
m的钢材够用.